ggT Fakultät < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1, die Gleichung
ggT (n!+1,(n+1)!+1)=1 gilt. |
Hallo Leute, schaut euch bitte folgenden Beweis an:
Wegen der Teilbarkeitsregel a|b ^ a|c folgt a|b-c
Weil n!+1 < (n+1)!+1 ist, setze ich b=(n+1)!+1 und c=n!+1
a|(n+1)!+1-(n!+1) => a|n!*(n+1)+1-n!-1 => a|n*n!+n!+1-n!-1
=> a|n*n!
Folgt also => a|n ^ a|n!
Jetzt muss ich aber immer noch zeigen das a=1 ist.
Da gilt ggT(a,b)=ggT(b,r)
gehts nun weiter mit ggT(n!-1,n*n!) ....aber das is ja vollkommer Müll...
Irgendwie, sieht man ja schon die Lösung, aber ich weiß nicht wieso ich das machen dürfte, weil dann verändere ich ja den Rest...
ggT(n!-1,n!)=ggT(n!-1,1)=1 Bzw dann müsste ja auch gelten und die Bedingung n>1 erklären
ggT(n!-1,n)=ggT(n!-1,n!-n-1) für n>1
Ich bin vollkommen verwirrt jetzt...^^
Könnt ihr mir bitte bitte etwas dazu sagen?^^
Liebe Grüße, die BeeRe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Fr 06.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1,
> die Gleichung
> ggT (n!+1,(n+1)!+1)=1 gilt.
> Hallo Leute, schaut euch bitte folgenden Beweis an:
>
> Wegen der Teilbarkeitsregel a|b ^ a|c folgt a|b-c
>
> Weil n!+1 < (n+1)!+1 ist, setze ich b=(n+1)!+1 und c=n!+1
>
> a|(n+1)!+1-(n!+1) => a|n!*(n+1)+1-n!-1 => a|n*n!+n!+1-n!-1
>
> => a|n*n!
>
> Hier meine erste Frage, wieso ist n*n! > n!+1
Hallo,
n+1 ist gerade mal um 1 größer als n!, während n*n! ein Vielfaches von n! ist.
Die Ungleichung ist allerdings für n=0 und n=1 falsch, aber ab n=2 gilt sie.
Gruß Abakus
> Das darf
> doch garnicht sein, das der Rest größer ist als b? >
>
> Aufjedenfall folgt => a|n ^ a|n!
>
> Jetzt muss ich aber immer noch zeigen das a=1 ist.
>
> Da gilt ggT(a,b)=ggT(b,r)
> gehts nun weiter mit ggT(n!-1,n*n!) ....aber das is ja
> vollkommer Müll...
>
> Irgendwie, sieht man ja schon die Lösung, aber ich weiß
> nicht wieso ich das machen dürfte, weil dann verändere
> ich ja den Rest...
>
> ggT(n!-1,n!)=ggT(n!-1,1)=1 Bzw dann müsste ja auch
> gelten und die Bedingung n>1 erklären
> ggT(n!-1,n)=ggT(n!-1,n!-n-1) für n>1
>
> Ich bin vollkommen verwirrt jetzt...^^
> Könnt ihr mir bitte bitte etwas dazu sagen?^^
>
> Liebe Grüße, die BeeRe
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:50 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Okay das hilft mir jetzt nicht wirklich weiter die Aufgabe zulösen. Unabhängig von meiner ersten Frage, helft mir mal bitte ein klein wenig bei dem Ende meines Beweises aus meinen Problem, welches ich erläutert habe!
Danke Schöön ;)
Und noch eine/n gute Nacht/Morgen, die BeeRe
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Hallo,
Dein Beweis krankt nicht erst am Ende:
> Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1,
> die Gleichung
> ggT (n!+1,(n+1)!+1)=1 gilt.
Sei a ein Teiler von n!+1und (n+1)!+1
> a|(n+1)!+1-(n!+1) => a|n!*(n+1)+1-n!-1 => a|n*n!+n!+1-n!-1
>
> => a|n*n!
Bis hierher stimmt's.
>
> Folgt also => a|n ^ a|n!
Diese Folgerung nicht!
Es wird 5*5!=5* 1*2*3*4*5 geteilt von 100, aber 100 teilt weder 5 noch 5!.
Wenn Du gesagt hättest, daß a eine Primzahl ist, würde folgen a|n oder a|n!, also a|n!.
Damit kommst Du weiter: a|n! und a|n!+1 ==> ???
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> Dein Beweis krankt nicht erst am Ende:
>
> > Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1,
> > die Gleichung
> > ggT (n!+1,(n+1)!+1)=1 gilt.
>
> Sei a ein Teiler von n!+1und (n+1)!+1
> > a|(n+1)!+1-(n!+1) => a|n!*(n+1)+1-n!-1 =>
> a|n*n!+n!+1-n!-1
> >
> > => a|n*n!
>
> Bis hierher stimmt's.
> >
> > Folgt also => a|n ^ a|n!
>
> Diese Folgerung nicht!
>
> Es wird 5*5!=5* 1*2*3*4*5 geteilt von 100, aber 100
> teilt weder 5 noch 5!.
>
> Wenn Du gesagt hättest, daß a eine Primzahl ist, würde
> folgen a|n oder a|n!, also a|n!.
>
> Damit kommst Du weiter: a|n! und a|n!+1 ==> ???
>
> Gruß v. Angela
>
Unter der Voraussetzung, dass ich versuche zuzeigen das a=1 ist, bin ich von a|n*n! => a|n ^ a|n! gelangt(denn sie sind ja teilerfremd). Versteh ich jetzt nicht direkt, wieso das für jede Primzahl funktionieren sollte.
Ist das hier eigentlich die "kleine" Version des Euklidsche Algorithmus? ggt(a,b)=ggt(b,a-b)=...=d?
Ok Ok, nochmal ganz ruhig und von vorne ;)
Wir sind nun zu folgendem Schluss gekommen es existieren verschiedene relevante Zähler
1. a|n!+1
2. a|n!*n 2.1. => a|n! => 2.3. a|n
Wir wenden folgendes "Rechengesetz" an:
ggT(a,b)=ggT(b,a-b)
In meinem Fall war ja a-b=n*n! Auf welcher Regel/Logik begründet darf ich argumentieren, dass ggT(n!+1,n) und ggT(n!+1,n!) durch aus mehr Sinn machen als stumpf einzusetzen ggT(b,a-b)=ggT(n!+1,n*n!).
Ich würde mich super freuen, wenn es hier heute jemand jemanden gibt, der mir eine verständliche Antwort darauf bezogen geben könnte, so dass ich sagen kann, hey ich habs verstanden weil, die Aufgabe raubt so langsam echt die Zeit! Und als kleines Geburtstaggeschenkt wärs echt nicht schlecht von euch ;)
Liebe Grüße, die BeeRe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Sa 07.11.2009 | | Autor: | wauwau |
a|nn! hast du ja schon daraus folgt, dass a|n! sein muss OK?
und a muss aber auch n!+1 teilen lt. ggt(...)
eine Zahl, die eine Zahl und das um eins erhöhte dieser Zahl teilt gibt es nicht, da ggT(m,m+1)=1
daher ist a=1
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:17 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
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> > > Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1,
> > > die Gleichung
> > > ggT (n!+1,(n+1)!+1)=1 gilt.
> >
> > Sei a ein Teiler von n!+1und (n+1)!+1
> > > a|(n+1)!+1-(n!+1) => a|n!*(n+1)+1-n!-1 =>
> > a|n*n!+n!+1-n!-1
> > >
> > > => a|n*n!
> >
> > Bis hierher stimmt's.
> > >
> > > Folgt also => a|n ^ a|n!
> >
> > Diese Folgerung nicht!
> >
> > Es wird 5*5!=5* 1*2*3*4*5 geteilt von 100, aber 100
> > teilt weder 5 noch 5!.
> >
> > Wenn Du gesagt hättest, daß a eine Primzahl ist, würde
> > folgen a|n oder a|n!, also a|n!.
> >
> > Damit kommst Du weiter: a|n! und a|n!+1 ==> ???
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Unter der Voraussetzung, dass ich versuche zuzeigen das a=1
> ist, bin ich von a|n*n! => a|n ^ a|n! gelangt(denn sie
> sind ja teilerfremd).
Hallo,
Du kannst doch nicht voraussetzen, daß a=1 ist.
Das mußt Du doch erst zeigen!
Du kannst so anfangen - und so hatte ich Dich auch verstanden:
Angenommen, a ist ein gemeinsamer Teiler von n!+1 und (n+1)!+1.
Hieraus ist dann zu folgern, daß a=1 ist.
Wie ich schon schrieb und durch ein Beispiel illustrierte : die Folgerung a|n*n! ==> a|n und a|n! ist falsch.
> Versteh ich jetzt nicht direkt,
> wieso das für jede Primzahl funktionieren sollte.
Wenn p eine Primzahl ist, kann man sie nicht, wie meine 20 im Beispiel, in zwei Faktoren [mm] \not=1 [/mm] zerlegen, und deshalb gilt für a Primzahl
a|n*n! ==> a|n oder a|n! ,
woaraus wiederum folgt: a|n!
> Ok Ok, nochmal ganz ruhig und von vorne ;)
> Wir sind nun zu folgendem Schluss gekommen es existieren
> verschiedene relevante Zähler
>
> 1. a|n!+1
> 2. a|n!*n 2.1. => a|n! => 2.3. a|n
Der letzte Schluß stimmt nicht.
Der erste Schluß stimmt für Primzahlen.
Aus a|n!+1 und a|n! kannst Du folgern: a| (n!+1)-n!.
Also ist a=1. Somit gibt es keine Primzahl, die n!+1 und (n+1)!+1 teilt, somit also keine von 1 verschiedene Zahl, die das tut. Also ist der ggT =1.
Gruß v. Angela
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Okay, gut! Soweit verstanden dass ich nun von
a|n*n! weiter argumentieren muss. Hatte mich zusehr einfach verrannt.
"Wenn p eine Primzahl ist, kann man sie nicht, wie meine 20 im Beispiel, in zwei Faktoren zerlegen, und deshalb gilt für a Primzahl
a|n*n! ==> a|n oder a|n! ,
woaraus wiederum folgt: a|n!"
Wenn es einen ggT gäbe, müsste gelten a|n UND a|n! richtig? Ist 1 nicht auch ein ggT, so dass dies gelten müsste?
Ich versteh noch nicht so ganz wie ich dies beweise, bzw wie ich für [mm] a\in [/mm] IN erstmal alles an Zahlen außer die Primzahlen ausschließen kann?
Dein Beispiel vom Anfang hat mir noch nicht den richtigen Funken bescherrt. Schuldige.
lg BeeRe
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Hallo,
laß uns die Sache nochmal ganz vom Anfang her aufrollen.
Was ist der ggT zweier Zahlen?
Er ist erstens ein gemeinsamer Teiler, und zweitens der größte dieser gemeinsamen Teiler.
Zeigen möchtest Du doch nun, daß der ggTvon n!+1 und (n+1)!+1 gerade =1 ist,
daß es also überhaupt keinen von 1 verschiedenen gemeinsamen Teiler gibt.
Dies kann man zeigen, indem wir annehmen, sie haben einen gemeinsamen von 1 verschiedenen Teiler, und dies zum Widerspruch führen.
Sei also t ein gemeinsamer, von 1 verschiedener, Teiler von n!+1 und (n+1)!+1. (Irgendein Teiler, nicht unbedingt der größte.)
Ist [mm] t\not=1, [/mm] so gibt es eine Primzahl p, die n!+1 und (n+1)!+1 teilt.
Warum ist das so? Stichwort: Primfaktorzerlegung.
Beispiel: teilt 30 irgendeine Zahl, z.B. 510, so teilt jeder ihrer Primfaktoren diese Zahl, also wird die Zahl auf jeden Fall von 2,3,5 geteilt.
Wir haben also: es gibt eine Primzahl p, die n!+1 und (n+1)!+1 teilt.
Dann teilt sie auch die Differenz n*n!.
Nun gilt: p Primzahl und p|ab ==> p|a oder p|b.
Damit bekommt man p|n oder p|n!, also p|n!. (denn wenn p|n, dann ja auch 1*2*...*n).
Und nun folgt der Schluß, den ich schon vorgemacht habe:
Daraus, daß p sowohl n> als auch n!+1 teilt, folgt nun, daß p auch die Differenz (=1) teilt.
Der einzige Teiler von 1 ist aber 1.
Also ist p=1, im Widerspruch zu unserer Annahme, daß p eine Primzahl ist.
> "Wenn p eine Primzahl ist, kann man sie nicht, wie meine 20
> im Beispiel, in zwei Faktoren zerlegen, und deshalb gilt
> für a Primzahl
> a|n*n! ==> a|n oder a|n! ,
> woaraus wiederum folgt: a|n!"
>
> Wenn es einen ggT gäbe, müsste gelten a|n UND a|n!
> richtig?
Nein.
Zumindest folgt dies nicht aus aus den bisher angestellten teilbarkeitsüberlegungen.
> Ist 1 nicht auch ein ggT, so dass dies gelten
> müsste?
1 teilt natürlich jede nat. Zahl.
Aber bis auf weiteres wissen wir ja nicht, daß a=1 ist.
> Ich versteh noch nicht so ganz wie ich dies beweise, bzw
> wie ich für [mm]a\in[/mm] IN erstmal alles an Zahlen außer die
> Primzahlen ausschließen kann?
Nein, nein.
Der gemeinsame Teiler könnte zunächst irgendeine beliebige Zahl sein.
Die Überlegung ist nun die: wenn es einen gemeinsamen Teiler gibt, dann gibt es auch einen Primteiler.
Und mit diesem kann man viel besser arbeiten.
Nirgends wird gesagt, daß nur Primzahlen als Teiler infrage kommen!
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> laß uns die Sache nochmal ganz vom Anfang her aufrollen.
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> Was ist der ggT zweier Zahlen?
> Er ist erstens ein gemeinsamer Teiler, und zweitens der
> größte dieser gemeinsamen Teiler.
>
> Zeigen möchtest Du doch nun, daß der ggTvon n!+1 und
> (n+1)!+1 gerade =1 ist,
> daß es also überhaupt keinen von 1 verschiedenen
> gemeinsamen Teiler gibt.
>
>
> Dies kann man zeigen, indem wir annehmen, sie haben einen
> gemeinsamen von 1 verschiedenen Teiler, und dies zum
> Widerspruch führen.
>
> Sei also t ein gemeinsamer, von 1 verschiedener, Teiler
> von n!+1 und (n+1)!+1. (Irgendein Teiler, nicht unbedingt
> der größte.)
>
> Ist [mm]t\not=1,[/mm] so gibt es eine Primzahl p, die n!+1 und
> (n+1)!+1 teilt.
>
> Warum ist das so? Stichwort: Primfaktorzerlegung.
> Beispiel: teilt 30 irgendeine Zahl, z.B. 510, so teilt
> jeder ihrer Primfaktoren diese Zahl, also wird die Zahl auf
> jeden Fall von 2,3,5 geteilt.
>
> Wir haben also: es gibt eine Primzahl p, die n!+1 und
> (n+1)!+1 teilt.
>
> Dann teilt sie auch die Differenz n*n!.
> Nun gilt: p Primzahl und p|ab ==> p|a oder p|b.
Wieso ist das so? Woher weiss man das es entweder nur auf jeden Fall nur p|a oder p|b in Frage kommt? (In wie fern hat das mit dem Primteiler zutun???)
Wenn p|ab gilt, dann muss doch auf jeden Fall gelten [mm] \bruch{a}{p}*b [/mm] und gleichzeitig [mm] \bruch{b}{p}*a [/mm] Das ist doch begründet durch Teilbarkeitsgesetze!?
> Damit bekommt man p|n oder p|n!, also p|n!. (denn wenn
> p|n, dann ja auch 1*2*...*n).
Das wäre mir klar wenn dieses doofe oder mir klar wäre :(
>
> Und nun folgt der Schluß, den ich schon vorgemacht habe:
>
> Daraus, daß p sowohl n> als auch n!+1 teilt, folgt nun,
> daß p auch die Differenz (=1) teilt.
> Der einzige Teiler von 1 ist aber 1.
Daraus, daß p sowohl n> als "n!+1"? auch n!+1 teilt?
>
> Also ist p=1, im Widerspruch zu unserer Annahme, daß p
> eine Primzahl ist.
>
>
>
> > "Wenn p eine Primzahl ist, kann man sie nicht, wie meine 20
> > im Beispiel, in zwei Faktoren zerlegen, und deshalb gilt
> > für a Primzahl
> > a|n*n! ==> a|n oder a|n! ,
> > woaraus wiederum folgt: a|n!"
> >
> > Wenn es einen ggT gäbe, müsste gelten a|n UND a|n!
> > richtig?
>
> Nein.
> Zumindest folgt dies nicht aus aus den bisher angestellten
> teilbarkeitsüberlegungen.
>
> > Ist 1 nicht auch ein ggT, so dass dies gelten
> > müsste?
>
> 1 teilt natürlich jede nat. Zahl.
> Aber bis auf weiteres wissen wir ja nicht, daß a=1 ist.
>
> > Ich versteh noch nicht so ganz wie ich dies beweise, bzw
> > wie ich für [mm]a\in[/mm] IN erstmal alles an Zahlen außer die
> > Primzahlen ausschließen kann?
>
> Nein, nein.
> Der gemeinsame Teiler könnte zunächst irgendeine
> beliebige Zahl sein.
> Die Überlegung ist nun die: wenn es einen gemeinsamen
> Teiler gibt, dann gibt es auch einen Primteiler.
> Und mit diesem kann man viel besser arbeiten.
> Nirgends wird gesagt, daß nur Primzahlen als Teiler
> infrage kommen!
>
> Gruß v. Angela
Danke für diese Top-Erklärung. Bis auf dieses verflixte [mm] \underline{oder} [/mm] ist mir alles klar! :)
Lg, Daniel
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> Danke für diese Top-Erklärung. Bis auf dieses verflixte
> [mm]\underline{oder}[/mm] ist mir alles klar! :)
Hallo,
wen das so ist, dann geh es doch einfach fürs bessere Verständnis mal so an, daß Du einfach an ein paar Beispielen testest, ob die Aussage p|ab ==> p|a oder p|b wirklich stimmt.
Nehmen wir mal p=3.
Los geht's.
3| 15* 20. Stimmt's, daß 3|15 oder 3| 20 ?
3| 34* 51. Und?
3| 21*300
usw.
Du kannst mal versuchen, Zahlen a und b zu finden mit 3|ab, so daß 3 aber keine der Zahlen a und b teilt. (Du wirst kläglich scheitern, aber die Aussage, die Dir unheimlich ist, verstehen.)
Gruß v. Angela
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Hey
Du sagtest "Daraus, daß p sowohl n> als auch n!+1 teilt"
Könntest du das bitte ein wenig anders formulieren?
Oh man, jetzt bin ich wieder bei meinem AnfangsErrorGedanken gelandet, verflucht ;(.
Mir ist jetzt dank eurer Hilfe bewusst, dass ich nicht folgern darf ohne weiteres d|ab => d|a und d|b. OK
Aber bezogen auf p|n*n! kann man doch argumentieren wenn p|n gilt, gilt auch p|n! weil der Faktor n auch in n! enthalten ist. Hm dann folgt nämlich direkt mein anderer doofer Gedanke: Gilt ggT(a,b)=ggT(b,r) müsste ja auch gelten [mm] ggT(b,r)=ggT(b,r_{1})=ggT(b,r_{2}=1 [/mm]
[mm] r_{1}=n [/mm]
[mm] r_{2}=n!
[/mm]
Also ggT(n!-1,n!-1-n*n!)=ggT(n!-1,n!-1-n)=ggT(n!-1,1)=1
Ich hoffe ich erhitze nicht euere sanften Gemüter ;)
Grüße, BeeRe
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> Hey
> Du sagtest "Daraus, daß p sowohl n> als auch n!+1 teilt"
> Könntest du das bitte ein wenig anders formulieren?
>
Hallo,
gerne. Wahrscheinlich reicht's, wenn ich einfach das schreibe, was ich sagen wollte:
Daraus, daß p sowohl [mm] n\red{!} [/mm] als auch n!+1 teilt, folgt, daß auch die Differenz von p geteilt wird.
> Oh man, jetzt bin ich wieder bei meinem
> Mir ist jetzt dank eurer Hilfe bewusst, dass ich nicht
> folgern darf ohne weiteres d|ab => d|a und d|b. OK
Ja.
>
> Aber bezogen auf p|n*n! kann man doch argumentieren wenn
> p|n gilt, gilt auch p|n! weil der Faktor n auch in n! enthalten ist.
Ja.
> Hm dann folgt nämlich direkt mein anderer
> doofer Gedanke:
> Gilt ggT(a,b)=ggT(b,r) müsste ja auch
> gelten [mm]ggT(b,r)=ggT(b,r_{1})=ggT(b,r_{2}=1[/mm]
> [mm]r_{1}=n[/mm]
> [mm]r_{2}=n![/mm]
Wie folgt das genau? Unmittelbar zu sehen ist es jedenfalls nicht.
Welche Sätze benutzt Du?
Mir ist Deine Argumentationskette nicht klar - kann ja gut sein, daß Du Sachen über den ggT verwendest, die mir nicht aus dem Stand geläufig sind.
Meine Argumentation geht ja gar nicht über den ggT, sondern über einen beliebigen Teiler.
(Hast Du meine Argumentation jetzt eigentlich komplett verstanden? Wir scheinen im Moment ja über zwei Sachen gleichzeitig zu reden.)
Gruß v. Angela
> Also ggT(n!-1,n!-1-n*n!)=ggT(n!-1,n!-1-n)=ggT(n!-1,1)=1
>
> Ich hoffe ich erhitze nicht euere sanften Gemüter ;)
>
> Grüße, BeeRe
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Ich glaube, mir gehen gerade richtig viele Lampen auf...
Ich hoffe, ich komme noch dazu eine ordentliche Nachricht heute zuschreiben und den ganzen Hokuspokus aufzulösen :) ! Unglaublich wenn das stimmt was gerade durch meinen Kopf rattert...^^
Trotzdem schon mal vielen vielen Dank an alle und, vorallem an die liebe Angela! Sonst wär ich wohl noch früher oder später in einer endlosen gedanklich Rekursion gefangen gewesen ohne flux :D
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Guten Morgen!
> > Hm dann folgt nämlich direkt mein anderer
> > doofer Gedanke:
> > Gilt ggT(a,b)=ggT(b,r) müsste ja auch
> > gelten [mm]ggT(b,r)=ggT(b,r_{1})=ggT(b,r_{2}=1[/mm]
> > [mm]r_{1}=n[/mm]
> > [mm]r_{2}=n![/mm]
>
> Wie folgt das genau? Unmittelbar zu sehen ist es jedenfalls
> nicht.
> Welche Sätze benutzt Du?
Hm, die hab ich mir selber ausgedacht...Das Problem bei mir bestand darin, dass ich ohne argumentieren weiter "rechnen" wollte...
> Mir ist Deine Argumentationskette nicht klar - kann ja gut
> sein, daß Du Sachen über den ggT verwendest, die mir
> nicht aus dem Stand geläufig sind.
Mir ist dieses Argumentationskette jetzt unbequem, das würde mich viel zu sehr an den Sachverhalt binden ;) Also vergessen wir das mal! War höchstwahrscheinlich auch noch falsch.
> Meine Argumentation geht ja gar nicht über den ggT,
> sondern über einen beliebigen Teiler.
>
> (Hast Du meine Argumentation jetzt eigentlich komplett
> verstanden? Wir scheinen im Moment ja über zwei Sachen
> gleichzeitig zu reden.)
>
> Gruß v. Angela
>
So schauen wir mal ob ich deine Argumentation, jetzt, bis ins kleinste Detail verstanden habe:
Argumentation, die erste!
ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1
Wir gehen davon aus, dass es einen beliebigen Primteiler gibt, mit [mm] d\in [/mm] IN.
dann gilt d|n!+1 ^ d|(n+1)!+1 => d|n*n! (d teilt die Differenz)
d|ab => d|a oder d|b als auch d|ab; Je nach Fall, okay.
d (haben wir definitiert) teilt die Differenz n*n! und weil in n! der Faktor n drinsteckt, teilt d sowohl n als auch n! => also d|n und d|n!
Jetzt wissen wir also zusammengefasst 4 Dinge:
(1) d|n!+1 (2) d|(n+1)!+1 (3) d|n (4) d|n!
Und wiederkehrend wenden wir folgenden Satz aus der Teilbarkeitslehre an:
t|a ^ t|b => t|a-b
Und der Einzige Weg, wie es scheint, um nach Rom zu gelangen, ist in unserem Falle, die Differenz von n!+1 und n!.
Grob betrachtet ist unsere Argumentationskette, also wie folgt
ggT(n!+1,(n+1)!+1)=ggT(n!+1,n!)=ggT(n!+1,1)=d
Wir sehen d|1 => d=1 => teilerfremd, es gibt keinen Primteiler!(Für diese Aufgabe hätte man doch auch normale Teiler benutzen können, wieso hast du mir das gezeigt?)
ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1
Gnade, bitte bitte lass es richtig sein ;D
Aber ich erwarte natürlich wieder einen Blitz von euch ;)
Nun ich hoffe, ich hab überall die richtigen Worte gewählt.
Grüße, die BeeRe
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> So schauen wir mal ob ich deine Argumentation, jetzt, bis
> ins kleinste Detail verstanden habe:
>
> Argumentation, die erste!
>
> ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1
>
> Wir gehen davon aus, dass es einen beliebigen Primteiler
> gibt, mit [mm]d\in[/mm] IN.
Hallo,
ja. Wenn die beiden einen gemeinsamen, von 1 erschiedenen Teiler haben, haben sie auch einen Primteiler d.
>
> dann gilt d|n!+1 ^ d|(n+1)!+1 => d|n*n! (d teilt die
> Differenz)
Genau.
>
> d|ab => d|a oder d|b
Ja. Weil d eine Primzahl ist, ist das so.
> als auch d|ab;
das ist ja vorausgesetzt.
> Je nach Fall, okay.
>
> d (haben wir definitiert) teilt die Differenz n*n!
Ja.
> und weil
> in n! der Faktor n drinsteckt, teilt d sowohl n als auch n!
Nein.
d ist eine Primzahl, und zunächst folgt daraus, daß d|n oder d|n!.
Weil nun aber in n! der Faktor n bereits mit drinsteckt, reduziert sich das zu d|n!.
Darüber, ob n von d geteilt wird, wissen wir nichts. Vielleicht ja, vielleicht nein...
> => also d|n und d|n!
Nein.
Letzendlich folgt d|n!.
>
> Jetzt wissen wir also zusammengefasst 4 3Dinge:
>
> (1) d|n!+1 (2) d|(n+1)!+1 (3) d|n (4) d|n!
>
> Und wiederkehrend wenden wir folgenden Satz aus der
> Teilbarkeitslehre an:
>
> t|a ^ t|b => t|a-b
>
> Und der Einzige Weg, wie es scheint, um nach Rom zu
> gelangen, ist in unserem Falle, die Differenz von n!+1 und
> n!.
Zumindest ist es ein bequemer reiseweg, ob der einzige, weiß ich nicht.
>
> Grob betrachtet ist unsere Argumentationskette, also wie
> folgt
>
> ggT(n!+1,(n+1)!+1)=ggT(n!+1,n!)=ggT(n!+1,1)=d
Den größten gemeinsamen Teiler haben wir gar nicht verwendet.
Die Argumentation:
Wenn n!+1 und (n+1)!+1 einen gemeinsamen Teiler [mm] \not=0 [/mm] haben, haben sie einen gemeinsamen Primteiler d.
Dann teilt d auch nn!, woraus sich ergibt d|1.
Solch eine Primzahl gibt es nicht, also führt die Annahme, daß n!+1 und (n+1)!+1einen gemeinsamen Teiler [mm] \not=1 [/mm] haben, zum Widerspruch.
Also haben sie nur den gemeinsamen Teiler 1, welcher dann natürlich auch der größte der gemeinsamen Teiler ist.
>
> Wir sehen d|1 => d=1 => teilerfremd, es gibt keinen
> Primteiler!
Achso, hier steht's ja!
> (Für diese Aufgabe hätte man doch auch normale
> Teiler benutzen können,
Jedenfalls nicht auf dem von mir eingeschlagenene Weg.
Mit "normalen" Teilern t hätte man nicht folgern können
t|ab ==> t|a oder t|b. (Da? das nicht geht, hatte ich am Beispiel vorgemacht.)
> wieso hast du mir das gezeigt?)
>
> ggT(n!+1,(n+1)!+1)=1
>
> Gnade, bitte bitte lass es richtig sein
Vieles richtig, manches nicht ganz richtig.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaub ich habe dein Missverständnis gesehen. Du siehst das oder als ausschlissliches oder also teilt entweder a, oder teilt b aber nicht beides.
Gemeint ist das einfache, einschliessliche oder: teilt a oder b oder auch beide.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Okay, puh, danke für diesen Kommentar Leduart.
Ich hab noch nie etwas über eine solche "oder oder"- Definition gehört ;)
Okay "oder auch" hört sich super an ;)
Lg
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