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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Mo 02.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Aufgabe
Zeige für $ [mm] a,b_1,\ldots,b_k \in \mathbb{Z}, [/mm] $ dass $ [mm] ggT(a,b_1*..*b_k) [/mm] = 1 <=> [mm] ggT(a,b_i)=1. [/mm] $ für $ [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] k. $ |
=> Sei k ein Teiler von a, der nicht 1 oder -1 ist.
k|a, [mm] k\not=\{1,-1\}
[/mm]
da ggT(a, [mm] b_1* ..*b_k)=1 [/mm] folgt d teilt nicht [mm] \produkt_{i=1}^{k} b_i
[/mm]
weiter komme ich hier nicht.
<=
[mm] ggT(a,b_i)=1 [/mm] für [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] k
[mm] \exists x,y_i \in \IZ: [/mm] 1= ax + [mm] b_i [/mm] * [mm] y_i [/mm]
1= ( ax + [mm] b_1 [/mm] * [mm] y_1 [/mm] ) * (ax + [mm] b_2 [/mm] * [mm] y_2 [/mm] )..* (ax + [mm] b_k [/mm] * [mm] y_k [/mm] ) = [mm] \produkt_{i=1}^{k} [/mm] (a* x + [mm] b_i y_i) [/mm]
Da komme ich dann auch nicht weiter.
Danke für jede Hilfe.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mo 02.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm mal an [mm] q\ne [/mm] 1 teilt a und [mm] b_i [/mm] was folgt daraus für $ [mm] \produkt_{i=1}^{k} b_i [/mm] $?
[mm] ggt\ne1 [/mm] heisst ja es gibt mindestens ein soches [mm] q\in\IZ
[/mm]
ich denke nicht, dass dein Ansatz zum Ziel führt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 02.04.2012 | | Autor: | sissile |
Beide richtungen stimmen nicht?
war falsch ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Di 03.04.2012 | | Autor: | hippias |
Fuer voellig verfehlt halte ich Deine Ansaetze nicht: Fuer die Notwendigkeit wuerde ich speziell Primteiler in Betracht ziehen und fuer die andere Richtung solltest Du beachten, dass die $x$ bei $a$ ebenfalls von $i$ abhaengen. Wenn Du dann das Produkt ausmultiplizierst und dann so weit es geht das $a$ ausklammerst,solltest Du die Behauptung bewiesen haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Di 03.04.2012 | | Autor: | sissile |
Aber ax verändert sich doch nicht. es bleibt immer der selbe Wert der multipliziert wird.
Ich bin etwas verwirrt.
[mm] ggT(a,b_1\cdot{}..\cdot{}b_k) [/mm] = 1 => [mm] ggT(a,b_i)=1. [/mm] für $ [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] k. $
> => Sei k ein Teiler von a, der nicht 1 oder -1 ist.
> k|a, $ [mm] k\not=\{1,-1\} [/mm] $
> da ggT(a, $ [mm] b_1\cdot{} ..\cdot{}b_k)=1 [/mm] $ folgt d teilt nicht $ [mm] \produkt_{i=1}^{k} b_i [/mm] $
Wie soll ich Primfaktoren in betracht ziehen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 03.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
falls d nicht prim ist, nimm einen der Primteiler von d, der muss dann ja auch das Produkt teilen!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Di 03.04.2012 | | Autor: | hippias |
> [mm]ggT(a,b_i)=1[/mm] für [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] k
> [mm]\exists x,y_i \in \IZ:[/mm] 1= ax + [mm]b_i[/mm] * [mm]y_i[/mm]
Hier sollte [mm] $x_{i}$ [/mm] stehen, da die Zahl von [mm] $b_{i}$ [/mm] abhaengt.
> 1= ( ax + [mm]b_1[/mm] * [mm]y_1[/mm] ) * (ax + [mm]b_2[/mm] * [mm]y_2[/mm] )..* (ax + [mm]b_k[/mm] *
> [mm]y_k[/mm] ) = [mm]\produkt_{i=1}^{k}[/mm] (a* x + [mm]b_i y_i)[/mm]
> Da komme ich dann auch nicht weiter.
>
>
> Danke für jede Hilfe.
> lg
>
Wenn Du obiges Produkt ausmultiplizierst, entsteht eine Summe von Produkten; von diesen gibt es ein Produkt, das nur die [mm] $b_{i}y_{i}$ [/mm] als Faktoren enthaelt - naemlich [mm] $\produkt_{i=1}^{k} b_{i}y_{i}$ [/mm] - in allen anderen taucht der Faktor $a$ auf. Wenn man das $a$ darin ausklammert, erhaelst Du einen Ausdruck der Gestalt $1= [mm] ax'+y'\produkt_{i=1}^{k} b_{i}$.
[/mm]
Alternativ kannst Du auch einen Widerspruchsbeweis versuchen, indem Du annimmst, es gibt eine Primzahl, die gemeinsamer Teiler von $a$ und [mm] $\produkt_{i=1}^{k} b_{i}$ [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 03.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal,
> erhaelst Du einen Ausdruck der Gestalt $ 1= [mm] ax'+y'\produkt_{i=1}^{k} b_{i} [/mm] $.
was soll x' und y' sein? Wo sind die Faktoren von a, die mit den anderen teilen multipliziert werden hin verschwunden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> > erhaelst Du einen Ausdruck der Gestalt [mm]1= ax'+y'\produkt_{i=1}^{k} b_{i} [/mm].
> was soll x' und y' sein? Wo sind die Faktoren von a, die
> mit den anderen teilen multipliziert werden hin
> verschwunden?
Ich zeigs Dir mal im Falle k=2:
[mm] (ax+b_1y_1)*(ax+b_2y_2)= a^2x^2+axb_2y_2+b_1y_1ax+y_1y_2b_1b_2=a(ax^2+xb_2y_2+xb_1y_1)+y_1y_2b_1b_2=ax'+y'b_1b_2$,
[/mm]
wobei [mm] $x'=ax^2+xb_2y_2+xb_1y_1$ [/mm] und [mm] $y'=y_1y_2$
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 03.04.2012 | | Autor: | sissile |
In der vorigen post wurde ich darauf hingewiesen, dass x durch ein [mm] x_i [/mm] zu ersetzen. Was stimmt den nun?
> > Hallo nochmal,
> >
> > > erhaelst Du einen Ausdruck der Gestalt [mm]1= ax'+y'\produkt_{i=1}^{k} b_{i} [/mm].
> > was soll x' und y' sein? Wo sind die Faktoren von a, die
> > mit den anderen teilen multipliziert werden hin
> > verschwunden?
>
> Ich zeigs Dir mal im Falle k=2:
>
> [mm](ax+b_1y_1)*(ax+b_2y_2)= a^2x^2+axb_2y_2+b_1y_1ax+y_1y_2b_1b_2=a(ax^2+xb_2y_2+xb_1y_1)+y_1y_2b_1b_2=ax'+y'b_1b_2$,[/mm]
>
> wobei [mm]x'=ax^2+xb_2y_2+xb_1y_1[/mm] und [mm]y'=y_1y_2[/mm]
>
>
> FRED
Okay und das muss man dan mit Induktion verallgemeinen oder intuitiv?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 03.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja eigentlich müssen da [mm] x_i [/mm] stehen, dann machs mal für k=2 mit x1,x2 statt x jetzt selbst! und dann entweder Induktion oder die allgemeine Formel .
oder den einfacheren Widerspruchsbeweis.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 03.04.2012 | | Autor: | sissile |
hi
Okay den beweis krieg ich nicht hin, ich versuchte mich nochmal an den "einfacheren" Widerspruchsbeweis
$ [mm] ggT(a,b_i)=1 [/mm] $ für $ [mm] 1\le [/mm] $ i $ [mm] \le [/mm] $ k
Ich nehme an [mm] ggT(a,b_i)\not=1 [/mm] => [mm] \exists [/mm] d>1 [mm] \in \IZ: [/mm] d|a, [mm] d|b_i [/mm] , [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] k
[mm] d|b_i [/mm] => [mm] d|\produkt_{i=1}^{k}b_i [/mm] => [mm] ggT(a,\produkt_{i=1}^{k}b_i) [/mm] > 1
Wos sollte da der Widerspruch auftauchen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 03.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zuerst solltest du mal aufschreiben, was genau du zum Wdsp führen willst! also
Beh:...
Annahme....
daraus folgt....
im Widerspruch zur Annahme.
Ich z.b weis grade nicht um welche richtung des Beweises es geht.
denk dran, wenn p [mm] b_i [/mm] teilt, dann gilt [mm] b_i=p*c_i
[/mm]
du musst die Teilbarkeit auch benutzen!
du schreibst sie nur hin!
und nochmal hast du dir ein paar Beispiele angesehen? mit ggt=1 und mit [mm] ggt\ne1 [/mm] um zu sehen warum die beh richtig ist? Ich hab das Gefühl du gehst zu planlos und ohne Experimentieren an deine Probleme ran. auch deine schnellen Antworten lassen darauf schliessen.- du kannst in der zeit vor deiner antwort den anderen ansatz mit den [mm] x_i [/mm] unmöglich ausprobiert haben!
Gruss leduart
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