ggT und Matrix < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) Seinen a,b [mm] \in \IZ, [/mm] sodass ggT(a,b)=1.
Zeigen Sie, dass es c,d [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in SL_2(\IZ) [/mm] gibt.
ii) Seien [mm] a_1, a_2, a_3 \in \IZ [/mm] mit [mm] ggT(a_1, a_2, a_3)=1. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] g=\pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ * & * &* \\ *&*&* } \in SL_3 (\IZ) [/mm] gilt. |
Hi,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen??
Ich verstehe irgendwie die Aufgabenstellung gar nicht, und weiß nicht, was die damit sagen wollen .....
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Hallo,
was ist denn die [mm] $SL_{n}(\IK)$ [/mm] für einen Körper [mm] $\IK$. [/mm] Welche Matrizen sind denn da drin? Schlag das das mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach.
Finde das erstmal heraus.
Viele Grüße
Blascowitz
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hmmmm,
ich verstehe aber irgendwie immer noch nicht, was das mit Zahlentheorie zu tun hat? Das ist ja eher Algebra, oder nicht? komm da irgendwie nicht weiter....
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Wer außer dir sagt denn es sei Zahlentheorie?^^
Abgesehen davon gibt es ja eine ganz einfache Formel für die Determinante einer 2x2-Matrix und dann hast du keine Matrix mehr sondern nur noch eine Gleichung in [mm]\IZ[/mm]; und das kann wenn du lustig bist als Zahlentheorie durchgehen.
Such dir mal die Formel für die Determinante eine 2x2-Matrix, verwende dann noch http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus (falls du den schon hattest) und die erste Aufgabe ist so gut wie fertig.
Bei der Matrix g weiß ich grad nicht was du mit den Punkten meinst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wer außer dir sagt denn es sei Zahlentheorie?^^
> Abgesehen davon gibt es ja eine ganz einfache Formel für
> die Determinante einer 2x2-Matrix und dann hast du keine
> Matrix mehr sondern nur noch eine Gleichung in [mm]\IZ[/mm]; und das
> kann wenn du lustig bist als Zahlentheorie durchgehen.
Es hat schon was mit Zahlentheorie zu tun: hast du eine Matrix $g = [mm] \pmat{ a & b & c \\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast }$ [/mm] mit $g [mm] \in SL_3(\IZ)$, [/mm] so gilt $ggT(a, b, c) = 1$ (sieht man mit Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile). Hier soll man nun zeigen, dass die teilerfremden Dreitupel gerade die Dreitupel ganzer Zahlen sind, die als erste Zeile einer Matrix in [mm] $SL_3(\IZ)$ [/mm] auftreten.
(Bei der ersten Aufgabe das entsprechende mit [mm] $SL_2(\IZ)$. [/mm] Und man kann das ganze natuerlich weiterspinnen allgemein fuer [mm] $SL_n(\IZ)$ [/mm] mit $n > 1$.)
Man kann das Ergebnis auch arithmetisch auffassen: zu jedem Vektor [mm] $(a_1, \dots, a_n) \in \IZ^n$ [/mm] mit [mm] $ggT(a_1, \dots, a_n)$ [/mm] gibt es eine (positiv orientierte) [mm] $\IZ$-Basis [/mm] von [mm] $\IZ^n$, [/mm] die mit diesem Vektor anfaengt.
> Bei der Matrix g weiß ich grad nicht was du mit den
> Punkten meinst...
Ich vermute mal sowas wie "es gibt Elemente aus [mm] $\IZ$, [/mm] die man anstelle der Punkte einsetzen kann, so dass die Matrix in [mm] $SL_3(\IZ)$ [/mm] liegt".
LG Felix
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Hi,
also die i) habe ich dann so gelöst:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]
Ich berechne die Determinante und erhalte:
Det=ad-cb
da der ggT(a,b)=1 folgt mit dem E.A. dass
ad-cb=1, mit c,d [mm] \in \IZ [/mm]
gelten muss. So wie zeige ich aber jetzt, dass das [mm] \in SL_2(\IZ) [/mm] ist???
Was heißt eigentlich [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in SL_2(\IZ)???
[/mm]
Bei ii)
Was die Punkte genau bedeuten, weiß ich auch nicht. Ist halt nur so in der Aufgabenstellung gegeben. Wie kann man den ii) Teil jetzt angehen??
Grüße
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http://de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_lineare_Gruppe
[mm] \pmat{ a & b \\
c & d } \in SL_2(\IZ) [/mm] heißt also im Endeffekt nur, dass diese Matrix mit Einträgen aus [mm]\IZ[/mm] Determinante 1 hat.
Und zum E.A.:
Es muss nicht ad - cb = 1 für [mm]c,d \in \IZ[/mm] gelten sondern es gibt [mm]c,d \in \IZ[/mm], sodass ad - cb = 1 gilt (immer schön sauber formulieren^^)
Zum zweiten Teil:
Nehmen wir mal an die Punkte sollen heißen, dass es irgendwelche Werte aus [mm]\IZ[/mm] an dieser Stelle gibt, sodass die Aussage gilt.
Dann solltest du - wie felixf schon meinte - eine Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile machen und das Ergebnis bestaunen.^^
Dann musst du also nurnoch unter dem Wissen, dass ggT(a,b,c) = 1, zeigen, dass du irgendwelche Zahlen in [mm]\IZ[/mm] für die Punkte findest, sodass die durch die Laplace-Entwicklung errechnete Determinante den Wert 1 hat...
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HI nochmal,
ich habe mich jetzt mal nochmal an die ii) gewagt.
g = [mm] \pmat{ a & b & c \\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast } [/mm]
Muss ich hier die Det mit der Laplace-Entwicklung machen? Denn ich habe es mal mit der Regel von Sarrus probiert, und da komme ich irgendwie auf 0 :-/
[mm] det(g)=a_1\ast^2+a_2\ast^2+a_3\ast^2-a_3\ast^2-a_2\ast^2-a_1\ast^2=0
[/mm]
Und nun???
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Du solltest den Sternen am besten mal ein paar Namen geben.
Nenn sie [mm]x_1,...,x_6[/mm] oder wie auch immer, so ist das nur verwirrend.
Du musst bedenken, dass die Sterne nicht alle für die selbe Zahl stehen müssen, kann ja sein, dass da jeder eine andere Zahl darstellt...
Und natürlich kannst du das mit dem Sarrus machen wenn du willst; ist ja eine 3x3-Matrix. ;)
Und dann musst du zeigen, dass es [mm]x_1,...,x_6 \in \IZ[/mm] gibt, so dass die Determinante 1 ist.
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Hi,
ich glaube, ich habe hier eine Lösung gefunden.
[mm] det(g)=a_1\pmat{ \ast & \ast \\ \ast & \ast } [/mm] - [mm] a_2\pmat{ \ast & \ast \\ \ast & \ast } [/mm] + [mm] a_3\pmat{ \ast & \ast \\ \ast & \ast }
[/mm]
So, bei den [mm] \pmat{ \ast & \ast \\ \ast & \ast } [/mm] betrachte ich einfach die Einheitsmatrix immer, also [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] Müsste doch möglich sein, da ich die [mm] \ast [/mm] frei wählen kann, oder??
So, dann erhalte ich:
[mm] det(g)=a_1-a_2+a_3, [/mm] mit [mm] ggT(a_1,a_2,a_3)=1 [/mm] und [mm] a_1,a_2,a_3 \in \IZ
[/mm]
bekomme ich für [mm] a_1=3, a_2=2 [/mm] und [mm] a_3=0 [/mm] die Determinante 1.
Reicht das dann so??
Grüße
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> Hi,
>
> ich glaube, ich habe hier eine Lösung gefunden.
>
> [mm]det(g)=a_1\pmat{ \ast & \ast \\
\ast & \ast }[/mm] - [mm]a_2\pmat{ \ast & \ast \\
\ast & \ast }[/mm] + [mm]a_3\pmat{ \ast & \ast \\
\ast & \ast }[/mm]
In der Form ist das noch ein wenig falsch...
Du hast jetzt links eine Zahl stehen, die die Determinante sein soll; rechts aber eine Matrix (denn du addierst bzw. subtrahierst ja rechts drei Matrizen).
Du müsstest also um die Matrizen rechts noch eine Determinante machen.
Davon abgesehen fürchte ich aber du verstehst die Aufgabe gerade etwas falsch...
Du sollst nicht eine Möglichkeit für die Sterne und eine für [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] finden, sondern du sollst zeigen, dass du für ALLE [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] mit ggT([mm]a_1,a_2,a_3[/mm]) = 1 du [mm]x_1,...,x_6[/mm] (also die Sterne) findest.
Also wie gesagt, ich würde dir raten die Sterne mit [mm]x_1,...,x_6[/mm] durchzunummerieren, dann die Determinante allgemein zu berechnen und dann zu zeigen, dass du [mm]x_1,...,x_6[/mm] findest, sodass die Determinante 1 ergibt. (was dann wieder ein zahlentheoretisches Problem ist; um auf deine Frage im dritten Post zurückzukommen^^)
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Oh ja,
das habe ich nicht richtig aufgeschrieben.
Aber denn, wenn ich in der Matrix mal [mm] x_1,...,x_6 [/mm] reinschreibe für die [mm] \ast, [/mm] also
g = [mm] \pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 }
[/mm]
Dann komme ich auf:
[mm] det(g)=a_1x_2x_6+a_2x_3x_4+a_3x_1x_5-a_3x_2x_4-a_2x_1x_6-a_1x_3x_5
[/mm]
jetzt sehe ich immer noch nicht die Zahlentheorie und vielmehr auch nicht, was ich mit dieser Det. jetzt anfangen kann :-//
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Nun, es ist ja gefordert, dass diese Determinante gleich 1 ist.
also:
Du hast die Aussage: ggT([mm]a_1,a_2,a_3[/mm]) = 1
Und du musst daraus folgern: Es gibt [mm]x_1,...,x_6 \in \IZ[/mm], sodass [mm]a_1x_2x_6+a_2x_3x_4+a_3x_1x_5-a_3x_2x_4-a_2x_1x_6-a_1x_3x_5 = 1[/mm] gilt.
Versuch diese Gleichung auf eine Form zu bringen, sodass du den euklidschen Algorithmus (oder eine abgewandelte Form davon) verwenden kann würde ich dir raten... (mag auch anders gehen, probier ein wenig rum ;) )
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> Nun, es ist ja gefordert, dass diese Determinante gleich 1
> ist.
> also:
> Du hast die Aussage: ggT([mm]a_1,a_2,a_3[/mm]) = 1
> Und du musst daraus folgern: Es gibt [mm]x_1,...,x_6 \in \IZ[/mm],
> sodass
> [mm]a_1x_2x_6+a_2x_3x_4+a_3x_1x_5-a_3x_2x_4-a_2x_1x_6-a_1x_3x_5 = 1[/mm]
> gilt.
>
> Versuch diese Gleichung auf eine Form zu bringen, sodass du
> den euklidschen Algorithmus (oder eine abgewandelte Form
> davon) verwenden kann würde ich dir raten... (mag auch
> anders gehen, probier ein wenig rum ;) )
>
>
wahrscheinlich muss man ja die gleichung so sortieren, dass immer + und - im wechsel kommen, oder?? also
[mm] x_2(a_1x_6-a_3x_5)+x_3(a_2x_4-a_1x_5)+x_1(a_3x_5-a_2x_6)=1
[/mm]
Was kann ich mit dieser Gleichung jetzt noch machen??
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Und wie kommst du darauf, dass du sie so sortieren musst?
Ich würde sie so sortieren, dass du hast:
[mm]a_1*() + a_2*() + a_3*() = 1[/mm]
Denn über [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] weißt du etwas, und dann kannst du vielleicht auch Aussagen über die Zahlen in den Klammern treffen...
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hi nochmal,
ok. ich komme dann auf
[mm] a_1\cdot{}(x_2x_6-x_3x_5) [/mm] + [mm] a_2\cdot{}(x_3x_4-x_1x_6) [/mm] + [mm] a_3\cdot{}(x_1x_5-x_2x_4) [/mm] = 1
jetzt wissen wir ja, dass [mm] ggT(a_1,a_2,a_3)=1.
[/mm]
Gilt der E.A. eigentlich auch bei drei Zahlen?? Also z.B. so:
[mm] ggT(a,b,c)=s\cdot{}a+t\cdot{}b+y\cdot{}c???
[/mm]
Weil wenn das gilt, dann ist die Aufgabe ja eigentlich schon gelöst, denn in den Klammern haben wir ja immer ganze Zahlen, da die Differenz von ganzen Zahlen auch eine ganze Zahl ist. Ist hat nur die frage, ob das oben geht. denn in der literatur habe ich immer nur sowas gefunden.
[mm] ggT(a,b)=s\cdot{}a+t\cdot{}b
[/mm]
Grüße
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Ich kenne ihn auch nur für zwei Zahlen....
Problem könnte sein, dass die Zahlen nicht unbedingt paarweise teilerfremd sein müssen.
Also zB ggT(2,4,5) = 1 , aber ggT(2,4) = 2 [mm] $\not=$ [/mm] 1
Ich lasse die Frage nochmal offen, es findet sich sicher jemand der das ganz sicher weiß. ;)
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Hi nochmal,
aber wenn [mm] ggT(a,b,c)=s\cdot{}a+t\cdot{}b+y\cdot{}c [/mm] nicht gilt, wie kann ich denn jetzt die Aufgabe zu Ende führe?
Ich bin ja nun bei
> $ [mm] a_1\cdot{}(x_2x_6-x_3x_5) [/mm] $ + $ [mm] a_2\cdot{}(x_3x_4-x_1x_6) [/mm] $ + $ [mm] a_3\cdot{}(x_1x_5-x_2x_4) [/mm] $ = 1
> jetzt wissen wir ja, dass $ [mm] ggT(a_1,a_2,a_3)=1. [/mm] $
angelangt, weiß aber noch nicht, wie ich begründen kann, dass die obige Gl. 1 sein muss. Vielleicht nochmal ein Paar Tipps?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mi 29.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Do 23.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich kenne ihn auch nur für zwei Zahlen....
Er gilt auch fuer drei Zahlen. Und ebenso fuer $n$ Zahlen.
> Problem könnte sein, dass die Zahlen nicht unbedingt
> paarweise teilerfremd sein müssen.
> Also zB ggT(2,4,5) = 1 , aber ggT(2,4) = 2 [mm]\not=[/mm] 1
Ja. Aber $ggT(2, 4, 5) = ggT(ggT(2, 4), 5)$.
Jetzt gibt es $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $ggT(2, 4) = a [mm] \cdot [/mm] 2 + b [mm] \cdot [/mm] 4$, und dann gibt es $c, d [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $ggT(ggT(2, 4), 5) = c [mm] \cdot [/mm] ggT(2, 4) + d [mm] \cdot [/mm] 5$.
Wenn du beide Gleichungen kombinierst, erhaelst du $ggT(2, 4, 5) = [mm] \hat{a} \cdot [/mm] 2 + [mm] \hat{b} \cdot [/mm] 4 + [mm] \hat{c} \cdot [/mm] 5$ mit [mm] $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c} \in \IZ$.
[/mm]
Bei [mm] $ggT(a_1, \dots, a_n)$ [/mm] macht man das halt induktiv (also auf [mm] $ggT(a_1, \dots, a_{n-1})$ [/mm] zurueckfuehren mit obigen Trick, bis $n = 2$ ist).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Do 23.06.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hi Felix,
aber dann müsste ja meine Aufgabenteil b) so auch gelöst sein, oder??
da ja [mm] ggT(a_1,a_2,a_3)=1, [/mm] garantiert der E.A. dann, dass die Det. oben 1 sein muss??
Grüße
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Ja, deine Aufgabe ist gelöst, aber der E.A. garantiert das nicht...
Der E.A. sagt dir, dass es ganze Zahlen [mm] $x_1,...,x_6$ [/mm] gibt, sodass die Determinante 1 ist.
Also die Determinante muss nicht 1 sein, aber es ist möglich dass sie 1 ist; und genau das sollst du zeigen. ;)
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