ggT und paarweise Teilerfremd < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] ggT(n^{4} [/mm] + [mm] 3n^{2} [/mm] + 1, [mm] n^{3} [/mm] + 2n) = 1 |
Hallo,
ich weiß zwar was der ggT ist und auch dass in der Aufgabenstellung wir zeigen sollen dass a = [mm] n^{4} [/mm] + [mm] 3n^{2} [/mm] + 1 und b = [mm] n^{3} [/mm] + 2n paarweise teilerfremd sind, jedoch weiß ich nicht wie genau der Beweis aussehen soll.
Es wäre nett wenn ich Denkanstösse oder Verweise kriegen könnte wie ich den Beweis aufbaue.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 So 13.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Zeigen Sie: Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt
>
> [mm]ggT(n^{4}[/mm] + [mm]3n^{2}[/mm] + 1, [mm]n^{3}[/mm] + 2n) = 1
> Hallo,
> ich weiß zwar was der ggT ist und auch dass in der
> Aufgabenstellung wir zeigen sollen dass a = [mm]n^{4}[/mm] + [mm]3n^{2}[/mm]
> + 1 und b = [mm]n^{3}[/mm] + 2n paarweise teilerfremd sind, jedoch
> weiß ich nicht wie genau der Beweis aussehen soll.
>
> Es wäre nett wenn ich Denkanstösse oder Verweise kriegen
> könnte wie ich den Beweis aufbaue.
mach mal den Euklidischen Algorithmus mit den Polynomen $f = [mm] X^4 [/mm] + 3 [mm] X^2 [/mm] + 1$ und $g = [mm] X^3 [/mm] + 2 X$. Du wirst sehen, die Polynome sind teilerfremd. Jetzt schreibe $1 = [mm] h_1 \cdot [/mm] f + [mm] h_2 \cdot [/mm] g$ mit [mm] $h_1, h_2 \in \IZ[X]$. [/mm] Dann musst du nur noch $n$ einsetzen und du bist fast fertig.
LG Felix
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danke schon mal für den tipp, ich hab nun mir aufgeschrieben:
[mm] n^{4} [/mm] + [mm] 3n^{2}+1 [/mm] = [mm] (n^{3} [/mm] + 2n) *n + [mm] \bruch{1}{n^{3} + 2n}
[/mm]
So nun häng ich fest, was meinst du mit [mm] h_{1, 2} [/mm] ? Wo soll ich denn da n einsetzen?
LG
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Hallo,
> danke schon mal für den tipp, ich hab nun mir
> aufgeschrieben:
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> [mm]n^{4}[/mm] + [mm]3n^{2}+1[/mm] = [mm](n^{3}[/mm] + 2n) *n + [mm]\bruch{1}{n^{3} + 2n}[/mm]
>
> So nun häng ich fest, was meinst du mit [mm]h_{1, 2}[/mm] ? Wo
> soll ich denn da n einsetzen?
Eulkid. Algorithmus sagt dir was?
Wieso gehst du nicht auf Felix' Tipp ein?
Es ist
[mm]x^4+3x^2+1 \ = \ x\cdot{}(\blue{x^3+2x}) \ + \ (\green{x^2+1})[/mm]
[mm]\blue{x^3+2x} \ = \ x\cdot{}(\green{x^2+1}) \ + \ \textcolor{magenta}{x}[/mm]
[mm]\green{x^2+1} \ = \ x\cdot{}\textcolor{magenta}{x} \ + \ \red{1}[/mm]
Also ist [mm]\operatorname{ggT}(x^4+3x^2+1, x^3+2x)=\red{1}[/mm]
Nun kannst du durch Rückwärtseinsetzen diesen [mm]\operatorname{ggT}[/mm] als LK der Polynome [mm]x^4+3x^2+1[/mm] und [mm]x^3+2x[/mm] schreiben ...
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Kann mir jemand sagen, wie genau das Rückwärtseinsetzen funktioniert?
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Hallo mausieux,
> Kann mir jemand sagen, wie genau das Rückwärtseinsetzen
> funktioniert?
Schlag mal "erweiterter euklidischer Algorithmus" nach. Da wirst Du schnell fündig. Entweder einfach bei google oder über die Suchfunktion hier im Forum.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Danke, habe es jetzt bis zur zweiten Gleichung geschafft und die dritte wirft mir kein richtiges Ergebnis, wo ist der Fehler?
1 = [mm] n(n^4 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 1 - [mm] n(n^3 [/mm] + 2n) - [mm] n(n^3 [/mm] + 2n)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Es fehlt noch eine Klammer in mittleren Teil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Sieht jemand den Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:52 Mo 14.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass es falsch ist sehe ich, aber nicht, wie du zu dem ergebnis kommst, also zeig deinen Rechenweg.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:54 Mo 14.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe meine Mitteilung
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mo 14.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Hallo, folgendes habe ich gerechnet:
[mm] n^4 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 1 = n [mm] (n^3 [/mm] + 2n) + [mm] (n^2 [/mm] + 1)
[mm] n^3 [/mm] + 2n = n [mm] (n^2 [/mm] + 1) + n
[mm] n^2 [/mm] + 1 = n * n + 1
1 = [mm] n^2 [/mm] + 1 - n * n
= [mm] n^2 [/mm] + 1 - n [mm] (n^3 [/mm] + 2n - n [mm] (n^2 [/mm] + 1)
= [mm] n^2 [/mm] + 1 - n * n
An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter
Bitte um Hilfe, Gruß
mausieux
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Hallo,
> Hallo, folgendes habe ich gerechnet:
>
> [mm]n^4[/mm] + [mm]3n^2[/mm] + 1 = n [mm](n^3[/mm] + 2n) + [mm](n^2[/mm] + 1)
>
> [mm]n^3[/mm] + 2n = n [mm](n^2[/mm] + 1) + n
>
> [mm]n^2[/mm] + 1 = n * n + 1
>
>
> 1 = [mm]n^2[/mm] + 1 - n * n
>
> = [mm]n^2[/mm] + 1 - n [mm](n^3[/mm] + 2n - n [mm](n^2[/mm] + 1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier aber nicht blind ausmultiplizieren!
[mm]=(\blue{n^2+1})-n(\red{n^3+2n})+n^2(\blue{n^2+1})[/mm]
[mm]=(n^2+1)\cdot{}(\blue{n^2+1})-n\cdot{}(\red{n^3+2n})[/mm]
Nun im eukl. Algorithmus aus der Zeile darüber das [mm]\blue{n^2+1}[/mm] ersetzen durch [mm](\green{n^4+3n^2+1})-n(\red{n^3+2n})[/mm] usw.
> = [mm]n^2[/mm] + 1 - n * n
>
> An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter
>
> Bitte um Hilfe, Gruß
>
> mausieux
Gruß
schachuzipus
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