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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 So 17.02.2008 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | a) Betrachte <5x+1, 2x+3>, gibt es einen ggT in [mm] \IQ [/mm] und in [mm] \IZ? [/mm]
b) Sei [mm] (G,\*) [/mm] Gruppe, [mm] N\subset [/mm] G ein Normalteiler, [mm] M\subset [/mm] G ein Normalteiler und [mm] M\subset [/mm] N. Was ist der Unterschied zwischen N*M und N/M? |
Hallo alle zusammen,
zu a) würde ich gerne wissen, ob es einen ggT gibt und wenn ja, wie man ihn berechnet, es wäre wirklich nett, wenn mir das jemand vorrechnen könnte, damit ich Schritt für Schritt sehe, wie so etwas gemacht wird.
Bei der b) würde ich gerne wissen, ob es da einen Unterschied zwischen den beiden Mengen gibt?
Danke im Vorraus
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 So 17.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Docy
> a) Betrachte <5x+1, 2x+3>, gibt es einen ggT in [mm]\IQ[/mm] und in
> [mm]\IZ?[/mm]
> b) Sei [mm](G,\*)[/mm] Gruppe, [mm]N\subset[/mm] G ein Normalteiler, [mm]M\subset[/mm]
> G ein Normalteiler und [mm]M\subset[/mm] N. Was ist der Unterschied
> zwischen N*M und N/M?
>
> Hallo alle zusammen,
> zu a) würde ich gerne wissen, ob es einen ggT gibt und
> wenn ja, wie man ihn berechnet, es wäre wirklich nett, wenn
> mir das jemand vorrechnen könnte, damit ich Schritt für
> Schritt sehe, wie so etwas gemacht wird.
Sagt dir Euklidischer Algorithmus etwas? Damit kannst du den ggT in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] ausrechnen. Wenn du dazu Fragen hast, stell sie bitte explizit! Wenn ihr den Algorithmus nicht hattet, kannst du hier auch `von Hand' vorgehen.
Ein gemeinsamer Teiler von $5x+1$ und $2x+3$ muss Grad 1 oder 0 haben. Was passiert, wenn er Grad 1 hat? Dann muss er $-1/5$ und $-3/2$ als Nullstellen haben (warum?), kann das sein? Was bedeutet es, wenn er Grad 0 hat?
Dann musst du dir noch ueberlegen, ob dieser ggT auch ein ggT in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist. Dazu rechnest du einfach die ggT-Eigenschaft nach: nimm dir einen Teiler von $5x+1$ und von $2x+3$ in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] -- das ist dann auch ein Teiler in [mm] $\IQ[x]$, [/mm] also ist er ein Teiler vom ggT in [mm] $\IQ[x]$. [/mm] Was sagt dir das ueber den gemeinsamen Teiler aus?
> Bei der b) würde ich gerne wissen, ob es da einen
> Unterschied zwischen den beiden Mengen gibt?
Ja, sie koennen nie gleich sein. Warum verrate ich dir jetzt aber nicht. Schau dir doch bitte mal die Definitionen von beiden Mengen an! Was sind jeweils die Elemente?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo nochmal,
ich wollte nochmal genauer nachfragen ^^. Also, bei der b) ist es doch so, dass [mm] U*N=\{u*n|u\in U, n\in N\} [/mm] und [mm] U\N=\{u*N|u\in U\}, [/mm] das bedeutet im letzteren sind die Elemente Mengen, wo hingegen im ersten die Elemente keine Mengen sind, ist das richtig?
Zu der a) also in [mm] \IZ[x] [/mm] wäre dann (5x+1):(2x+3)=2 mit Rest x-5, dann (2x+3):(x-5)=2 mit Rest 13, dann (x-5):(13)=??? was mache ich denn jetzt hier???
In [mm] \IQ[x] [/mm] wäre dann [mm] (5x+1):(2x+3)=\bruch{5}{2} [/mm] mit Rest [mm] \bruch{-13}{2}, [/mm] dann [mm] (2x+3):(\bruch{-13}{2})=\bruch{-4x}{13} [/mm] mit Rest 3, dann [mm] \bruch{-13}{2}:3=\bruch{-6}{13} [/mm] mit Rest 0, damit wäre dann 3 der ggT oder???
Wäre wirklich nett, wenn mir hier nochmal geholfen werden könnte
Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Di 19.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Docy
> ich wollte nochmal genauer nachfragen ^^. Also, bei der b)
> ist es doch so, dass [mm]U*N=\{u*n|u\in U, n\in N\}[/mm] und
> [mm]U/N=\{u*N|u\in U\},[/mm] das bedeutet im letzteren sind die
> Elemente Mengen, wo hingegen im ersten die Elemente keine
> Mengen sind, ist das richtig?
Genau. Deswegen sind $U * N$ und $U/N$ immer verschieden. (Sie koennen aber isomorph sein; etwa wenn $N = [mm] \{ e \}$ [/mm] ist, dann sind sie sogar kanonisch isomorph.)
> Zu der a) also in [mm]\IZ[x][/mm] wäre dann (5x+1):(2x+3)=2 mit
> Rest x-5, dann (2x+3):(x-5)=2 mit Rest 13, dann
> (x-5):(13)=??? was mache ich denn jetzt hier???
Schauen wir uns doch erstmal [mm] $\IQ[x]$ [/mm] an. (Der Euklidische Algorithmus funktioniert nur in Euklidischen Ringen, und [mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist keiner!)
> In [mm]\IQ[x][/mm] wäre dann [mm](5x+1):(2x+3)=\bruch{5}{2}[/mm] mit Rest
> [mm]\bruch{-13}{2},[/mm] dann
> [mm](2x+3):(\bruch{-13}{2})=\bruch{-4x}{13}[/mm] mit Rest 3, dann
> [mm]\bruch{-13}{2}:3=\bruch{-6}{13}[/mm] mit Rest 0, damit wäre dann
> 3 der ggT oder???
Ja, 3 ist ein ggT. Und ebenso 1.
Versuch doch mal zu zeigen, dass 1 auch ein ggT von den beiden Polynomen in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 24.02.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo nochmal,
ich komme da irgendwie nicht drauf, wie man zeigt, dass 1 der ggT in [mm] \IZ[x] [/mm] von den beiden Polynomen ist. Warum ist denn [mm] \IZ[x] [/mm] kein euklidischer Ring?
Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 24.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Docy
> ich komme da irgendwie nicht drauf, wie man zeigt, dass 1
> der ggT in [mm]\IZ[x][/mm] von den beiden Polynomen ist.
Sei $d [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] ein gemeinsamer Teiler von $5 x + 1$ und $2 x + 3$. In [mm] $\IQ[x]$ [/mm] ist es damit ebenfalls ein gemeinsamer Teiler, womit $d [mm] \mid [/mm] ggT(5 x + 1, 2 x + 3) = 1$ sein muss: also ist $d$ konstant, also $d [mm] \in \IZ$.
[/mm]
So. Jetzt musst du zeigen, dass $d [mm] \mid [/mm] 1$ in [mm] $\IZ$ [/mm] gilt, also dass $d = [mm] \pm [/mm] 1$ ist. Wenn es das nicht waere, waer $d$ dann immer noch ein gemeinsamer Teiler von $2 x + 3$ und $5 x + 1$?
> Warum ist denn [mm]\IZ[x][/mm] kein euklidischer Ring?
Wie willst du denn $x = (2 x) [mm] \cdot [/mm] p + q$ schreiben mit $p, q [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] und [mm] $\deg [/mm] q < [mm] \deg [/mm] (2 x) = 1$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 24.02.2008 | | Autor: | Docy |
Alles klar felixf, danke für die Geduld ^^
Gruß Docy
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