ggt von zwei Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Di 26.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
ich soll hier den ggt(p(x),q(x)), mit [mm] $p(x)=x^4-2x^3-3x-6, [/mm] q(x) = [mm] x^3+x^2+x+1,$ [/mm] bestimmen
Ich habe damit angefangen und komme irgendwie nicht weiter.
Also
[mm] $\frac{p(x)}{q(x)} =\frac{x^4-2x^3-3x-6}{q(x^3+x^2+x+1 )} [/mm] = [mm] -3x^3-x^2-4x-6 [/mm] $ ab hier komme ich nicht mehr weiter, kann jemand helfen ?
Viele Grüße
Nadia
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Hallo Nadia,
den ggt von zwei Polynomen p(x) und q(x) erhälst du, wie du bereits richtig erkannt hast (glaube ich), indem man q(x) durch p(x) teilt.
Also:
[mm] erg(x):=\bruch{p(x)}{q(x)}
[/mm]
in deinem Fall:
[mm] erg(x):=\bruch{x^4-2x^3-3x-6}{x^3+x^2+x+1}
[/mm]
Hier muss allerdings ein Polynom vom Grad 1 rauskommen, wegen 4-3=1.
Überprüfe nochmal deine Rechnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Di 26.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Hallo Nadia,
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> den ggt von zwei Polynomen p(x) und q(x) erhälst du, wie
> du bereits richtig erkannt ahst (glaube ich), wenn man q(x)
> durc p(x) teilt.
Das stimmt so nicht. Man sieht das ganz leicht daran, wenn man zwei mal das gleiche Polynom nimmt: $p(x)=q(x)=x+1$ zum Beispiel. Dann ist [mm] $\frac{p(x)}{q(x)}=1$ [/mm] aber der ggT ist ja x+1.
Du musst hier beide Polynome in ihre irreduziblen Faktoren zerlegen. Man sieht zum Beispiel, dass -1 Nullstelle beider Polynome ist, damit kannst du aus beiden den Faktor (x+1) herausteilen. Die Ergebnisse der Polynomdivision musst du dann weiter zerlegen. Der ggT ergibt sich dann aus den gemeinsamen irreduziblen Faktoren.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Di 26.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank für ihre ausführlich Hilfe,
aber woran erkenne ich irreduzible Polynome ,das verwirrt mich etwas, weil (1+x) für mich nicht irreduziebl scheint, denn für x = -1 habe ich eine Nullstelle, und soweit ich weiß, haben irreduzieble Polynome keine Nullstellen .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Di 26.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Dass irreduzible Polynome keine Nullstellen haben dürfen, gilt nur für Polynome vom Grad [mm] $\geq [/mm] 2$. Wie willst du denn $x+1$ weiter zerlegen? Polynome vom Grad 1 sind immer irreduzibel.
(Es ist zwar für diese Aufgabe nicht relevant, aber beachte, dass es auch reduzible Polynome gibt, die keine Nullstellen haben! Es hat zum Beispiel $f(x) = [mm] x^4+x^2+\overline{1} \in \IF_2[x]$ [/mm] keine Nullstelle, ist aber dennoch nicht irreduzibel, da [mm] $f(x)=(x^2+x+1)(x^2+x+1)$. [/mm] Das heißt, die Existenz einer Nullstelle sagt dir, dass ein Polynom reduzibel ist. Wenn es keine Nullstelle hat, dann heißt das noch nicht, dass es irreduzibel ist. Das nur am Rande.)
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
ja , ok
ich wollte eigentlich so vorgehen.
$ [mm] p(x)=x^4-2x^3-3x-6, [/mm] q(x) = [mm] x^3+x^2+x+1, [/mm] $
Zerlege die Polynome und erhalte
[mm] $(-6+3x-3x^2+x^3)(1+x)=(1+x^2)(1+x)$
[/mm]
Da [mm] $(1+x^2) [/mm] $ Irreduzibel ist, folgt (1+x) =ggt(p(x),q(x)), wie bestimme ich nun [mm] $r_{1},r_{2},sodass,\, r_{1}\cdot{}p_{1}+r_{2}\cdot{}p_{2}=q$ [/mm]
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> ja , ok
>
> ich wollte eigentlich so vorgehen.
>
> [mm]p(x)=x^4-2x^3-3x-6, q(x) = x^3+x^2+x+1,[/mm]
>
> Zerlege die Polynome und erhalte
>
> [mm](-6+3x-3x^2+x^3)(1+x)=(1+x^2)(1+x)[/mm]
Das ist nicht gleich! Aber links steht eine Zerlegung von p, rechts eine von q.
>
> Da [mm](1+x^2)[/mm] Irreduzibel ist, folgt (1+x) =ggt(p(x),q(x)),
Warum? Woher weißt du, dass [mm] $-6+3x-3x^2+x^3$ [/mm] nicht durch [mm] $1+x^2$ [/mm] teilbar ist?
> wie bestimme ich nun [mm]r_{1},r_{2},sodass,\, r_{1}\cdot{}p_{1}+r_{2}\cdot{}p_{2}=q[/mm]
Ich nehme an, da hat sich die Bezeichnung bei dir geändert? aus p und q wurden [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] und aus ggT(p,q) wurde q?
Du musst hier den erweiterten Euklidischen Agorithmus anwenden. Da gibts tausende Anleitungen online.
LG Lippel
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Hallo Nadia,
die gleiche Aufgabe ist kürzlich [/url=https://vorhilfe.de/read?t=787336] hier [/url] behandelt worden. Kontrollergebnis: (x+1) ist ggT.
Grüße
reverend
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