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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 10.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
mir ist folgendes zufällig bei einer extremalaufgabe aufgefallen
egal ob ich die Zielfunktion
[mm] x*(\bruch{-1}{4}x^2+4)=f(x)
[/mm]
[mm] 2x*(\bruch{-1}{4}x^2+4)=f(x)
[/mm]
[mm] 3x*(\bruch{-1}{4}x^2+4)=f(x)
[/mm]
habe die Nullstellen, der Ableitung bleiben komplett identsich 2,3..... woran liegt das denn??
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> Hallo,
> mir ist folgendes zufällig bei einer extremalaufgabe
> aufgefallen
> egal ob ich die Zielfunktion
> [mm]x*(\bruch{-1}{4}x^2+4)=f(x)[/mm]
> [mm]2x*(\bruch{-1}{4}x^2+4)=f(x)[/mm]
> [mm]3x*(\bruch{-1}{4}x^2+4)=f(x)[/mm]
>
> habe die Nullstellen, der Ableitung bleiben komplett
> identsich 2,3..... woran liegt das denn??
Falls [mm] $f(x)=c\cdot [/mm] g(x)$ ist, wobei $c$ eine Konstante [mm] $\neq [/mm] 0$, dann haben $f(x)$ und alle Ableitungen von $f(x)$ dieselben Nullstellen wie $g(x)$.
Dies liegt zum einen an der "Faktorregel" für die Ableitung: [mm] $f'(x)=\left(c\cdot g(x)\right)'=c\cdot [/mm] g'(x)$, ja allgemein [mm] $f^{(n)}(x)=c\cdot g^{(n)}(x)$, [/mm] wobei hier [mm] $f^{(n)}$ [/mm] bzw. [mm] $g^{(n)}$ [/mm] die $n$-te Ableitung von $f$ bzw. $g$ bezeichnet.
Zum anderen aber auch daran, dass, wenn man eine Gleichung (z.B. eine Nullstellengleichung) beidseitig mit einer Zahl $c$ ungleich $0$ multipliziert bzw. durch eine solche Zahl dividiert, sich die Lösungsmenge der Gleichung (die Zahl der Nullstellen der betreffenden Funktion) nicht ändert (sog. Äquivalenzumformung).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 10.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
ja oaky das ist klar weil 0*2 ja 0 ist . Aber das mit der FAkorregel hab ich net ganz verstanden wie leitet man diese gleichung dne nach der fakorregel ab kannst du es mal am beispiel machen ??
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> okay das mit der faktorregel ist klar aber das zwiete nicht
> ganz.
> mir ist schon klar dass wenn ich jetzt hab
> 3x+5=7
> oder
> 6x+10=14
> genau das gleiche für x rauskommt , aber in meinem fall
> sind das ja keien gleichungen sondern funktionen
Ich dachte, Du Dich hätte irritiert, dass die Funktion $f(x)$ und alle ihre Ableitungen unabhängig von einem zusätzlichen Faktor [mm] $c\neq [/mm] 0$ dieselben Nullstellen hätten wie zuvor. Diese Nullstellen sind ja Lösungen von Gleichungen der Form $f(x)=0$ bzw. $f'(x)=0$ usw. Deshalb sprach ich in meiner Antwort auf Deine Frage von Gleichungen und deren Lösungsmengen. Die Funktionswerte werden natürlich durch den zusätzlichen Faktor [mm] $c\neq [/mm] 0$ sehr wohl beeinflusst (ausser gerade bei den Nullstellen, weil [mm] $c\cdot [/mm] 0=0$ bleibt).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 10.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
Du kannst es auch einfacher machen, indem Du für $f(x) \ = \ c*f(x)$ die  Faktorregel anwendest:
$$g'(x) \ = \ c*f'(x)$$
Gruß
Loddar
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