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| Aufgabe | a) Sei [mm] I\subset\IR [/mm] ein Intervall und sei f : [mm] I\to\IR [/mm] eine gleichmäßig stetige Funktion.
Weiter sei [mm] (xn)n\in\IN [/mm] eine Cauchy-Folge in I. Zeigen Sie, dass [mm] (f(xn))n\in\IN [/mm] auch
eine Cauchy-Folge ist.
b) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit:
i)log(x) auf (0,1).
ii)log(x) auf [mm] [1,\infty). [/mm] |
Hallo, brächte bischen Hilfe bei der Aufgabe, da ich nicht mal einen vernünftigen Ansatz weiß, wie ich sie lösen soll. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Sei [mm]I\subset\IR[/mm] ein Intervall und sei f : [mm]I\to\IR[/mm] eine
> gleichmäßig stetige Funktion.
> Weiter sei [mm](xn)n\in\IN[/mm] eine Cauchy-Folge in I. Zeigen
> Sie, dass [mm](f(xn))n\in\IN[/mm] auch
> eine Cauchy-Folge ist.
sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann existiert ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] I$ mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] schon
$$|f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon$$
[/mm]
folgt.
Weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge in [mm] $I\,$ [/mm] ist, kannst Du aber sagen (und das schreibe mal formal sauber auf):
Es gilt, dass alle [mm] $x_n \in [/mm] I$ sind und vor allem: Ab einem gewissen Index, der von [mm] $\delta [/mm] > 0$ abhängt, liegen alle Folgenglieder, die einen Index hinter diesem [mm] "$\delta$-Index" [/mm] haben, auch näher als [mm] $\delta$ [/mm] beieinander - erfüllen also die [mm] "$\delta$-Nähe" [/mm] der gleichmäßigen Stetigkeit. Was heißt das nun für deren Bilder? (Du wirst es sofort sehen, wenn Du schreibst:
Für ein (zu dem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ aus der glm. Stetigkeit gefundenen) [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $N=N_\delta=N_\epsilon\,,$ [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ auch .... etc. pp. )
> b) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf
> gleichmäßige Stetigkeit:
> i)log(x) auf (0,1).
> ii)log(x) auf [mm][1,\infty).[/mm]
> Hallo, brächte bischen Hilfe bei der Aufgabe, da ich
> nicht mal einen vernünftigen Ansatz weiß, wie ich sie
> lösen soll. Danke!
Zu b)i):
Da kann man doch sicher eine einfache Cauchy-Nullfolge hinschreiben, und dann Teil a) benutzen. Bei b)ii):
Hier könntest Du mit Lipschitzstetigkeit (beschränkte Ableitung!) die glm. Stetigkeit insbesondere folgern!
Falls unbekannt: Versuch' halt, mit geeigneten Abschätzungen die glm. Stetigkeit nachzuweisen. Falls alle Stricke reißen:
Mache es mit dem Mittelwertsatz (womit Du dann, je nach Ausführung, eigentlich nichts anderes machst, als das, was ich oben geschrieben habe).
Gruß,
Marcel
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Hallo,
a) also sry aber bei der a hast mir gerade das gesagt was ich auch wusste, das genauere problemm bei der a bei mir es irgendwie vernünftig aufzuschreiben.
b) Wie meinst du das mit einfach eine Nullfolge holen und wie komm ich dann auf das log?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> a) also sry aber bei der a hast mir gerade das gesagt was
> ich auch wusste, das genauere problemm bei der a bei mir es
> irgendwie vernünftig aufzuschreiben.
wenn Du es verstanden hattest, solltest Du es auch aufschreiben können. Vor allem die Frage, was mit den Bildern passiert, müßtest Du wenigstens in Worten beantworten können. Nun gut:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen der gleichm. Stetigkeit können wir zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta(\epsilon) [/mm] > 0$ finden, so dass
$$x,y [mm] \in [/mm] I [mm] \text{ mit }|x-y| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Da [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge in [mm] $I\,$ [/mm] ist, finden wir zu dem (von [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ abhängigen [mm] $\delta$ [/mm] aus der glm. Stetigkeit) ein [mm] $N=N_{\delta}=N_{\delta(\epsilon)}=N_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$|x_n-x_m| [/mm] < [mm] \delta\,.$$
[/mm]
Für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt somit
[mm] $$|x_n-x_m| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x_n)-f(x_m)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$ [/mm]
Damit ist [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] Cauchy!
> b) Wie meinst du das mit einfach eine Nullfolge holen
Wäre [mm] $\ln_{|(0,1)}: [/mm] (0,1) [mm] \to \IR\,,\;x \mapsto \ln(x)$ [/mm] glm. stetig, so müßte wegen Teil a) auch [mm] $(\ln(1/(n+1)))_n$ [/mm] Cauchyfolge sein - denn:
Für jedes $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] gilt $0 < 1/(n+1) <1$ und offensichtlich
[mm] $\frac{1}{n+1} \to 0\;\;\;(n \to \infty)\,,$
[/mm]
also ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n:=1/(n+1)$ [/mm] als in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge auch Cauchyfolge.
Berechne mal
[mm] $$\left|\ln\left(\frac{1}{m+1}\right)-\ln\left(\frac{1}{n+1}\right)\right|$$ [/mm]
mit o.E. $m > [mm] n\,.$ [/mm] Dann setze etwa speziell $m:=2n$ und lasse $n [mm] \to \infty$ [/mm] streben. Kann dann [mm] $(\;\ln(1/(n+1))\;)_n$ [/mm] noch Cauchy sein?
> und
> wie komm ich dann auf das log?
Auf welches log? Ich verstehe hier unter [mm] $\log=\ln\,.$ [/mm] Wenn [mm] $\log$ [/mm] etwas anderes meint, etwa [mm] $\log=\log_{10}\,,$ [/mm] dann kann man mit [mm] $\log_{10}(x)=\ln(x)/\ln(10)$ [/mm] alles auf obigen Fall zurückführen.
Bei b)ii) habe ich Dir zwei Tipps gegeben. Wenigstens die Idee mit dem MWS solltest Du umsetzen können (außerdem wird sie Dir dann später mal im Gedächtnis sein, wenn ihr beweist, dass gewisse "Funktionen mit beschränkter Ableitung Lipschitzstetig und damit insbesondere glm. stetig sind").
Gruß,
Marcel
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