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| Aufgabe | | Seien f,g: D --> R gleichmäßig stetig. Zeigen Sie: Sind f,g beschränkt, so ist [mm] f\times [/mm] g gleichmäßig stetig. |
Ich habe bei dieser Aufgabe angefangen, aber ich bin nicht sicher, ob meine Argumentation so ganz sauber ist. Ich schreibe euch einfach mal auf, was ich schon gemacht habe:
also, dass f beschränkt ist heißt ja, dass es ein M gibt, mit [mm] f(x)\leM [/mm] für alle [mm] x\inD. [/mm] Dass g beschränkt ist heißt ja, dass es ein N gibt, mit [mm] g(x)\leN [/mm] für alle [mm] x\inD. [/mm] sei > 0.
Ich muss ja zeigen, dass |f(x)g(x)-f(y)g(y)| < mit | x-y | < [mm] \delta.
[/mm]
|f(x)g(x)-f(y)g(y)| = |((f(y)-f(x))((g(x)-g(y))- f(x)g(y) - f(y)g(x)| [mm] \le [/mm] |f(y)-f(x)||g(x)-g(y)| - |f(x)g(y)+f(y)g(x)| (laut dreiecksungleichung). Wähle = Wurzel aus
f(y)-f(x) ist aber kleiner als Wurzel aus . g(x) - g(y) ist ebenfall kleiner als Wurzel aus , da wir ja wissen dass f,g stetig sind. Das heißt (f(y)-f(x))(g(x)-g(y)) wird schon mal kleiner als und wenn ich etwas abziehe, was beschränkt ist, wird das erst recht noch kleiner. Oder kann ich auch so argumentierten, dass f(x) ja kleiner/ gleich M ist und g(x) ja auch kleiner als N ist, dass dann da steht Betrag von MN-MN und das kürzt sich ja weg.
Danke schon mal für eure Hilfe,
Melanie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Fr 30.01.2009 | | Autor: | max3000 |
Die Abschätzung ist nicht so ganz richtig.
Der richtige Ansatz wäre:
Umformen wie folgt:
$|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)*(g(x)-g(y))+g(y)*(f(x)-g(y))|$
Dreiecksungleichung:
[mm] \le|f(x)*(g(x)-g(y))|+|g(y)*(f(x)-g(y))|
[/mm]
Betrag trennen:
$=|f(x)|*|(g(x)-g(y))|+|g(y)|*|(f(x)-g(y))|$
Durch die Beschränktheitskonstanten abschätzen
[mm] $\le [/mm] K*|(g(x)-g(y))|+K*|(f(x)-g(y))|$
Und durch [mm] \epsilon [/mm] abschätzen
[mm] $\le2*K*\epsilon$
[/mm]
und fertig.
Dabei ist [mm] K:=max\{\parallel f \parallel_\infty, \parallel g \parallel_\infty\}
[/mm]
Wie du das mit den Konstanten machst ist eigentlich egal.
Das wichtigste ist nur die Abschätzung und Umstellung.
Ach ja, und die Dreiecksungleichung hast du nicht richtig angewendet. Auch wenn im Betrag - steht, muss nach der Abschätzung + stehen, z.b.
[mm] |a-b|\le|a|+|b|
[/mm]
Schönen Gruß
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Hey,
ich danke dir schon mal ganz ganz herzlich für diese Hilfe. Ich hätte nur ne kleine Anmerkung... muss da nicht beim zweiten betrag f(y) mal f(x) -g(y) stehen? weil sonst kriegt man ja nicht f(y) mal g(y) hin wenn man ausmultipliziert oder doch??
Lg,
melanie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Sa 31.01.2009 | | Autor: | max3000 |
Ja stimmt.
Hast recht.
Verschrieben :)
Is ja auch klar.
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