gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 08.02.2011 | | Autor: | sqrt25 |
| Aufgabe | [mm] f:\IR \setminus\left\{ 3 \right\}\rightarrow\IR [/mm]
x [mm] \rightarrow\bruch{1}{x-3}
[/mm]
zz.: f ist nicht gleichmäßig stetig. |
Die Lösung der Aufgabe liegt mir vor:
zz. [mm] \exist \epsilon [/mm] sodass [mm] \forall \delta \exist \x_\delta,y_\delta \in \IR\setminus\left\{ 3 \right\} [/mm] mit [mm] |x_\delta-y_\delta|<\delta [/mm] und [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon. \left( \* \right)
[/mm]
Wähle: [mm] \epsilon=1/2, x=3-\delta/4,y=3+\delta/4
[/mm]
[mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|=|\bruch{1}{3-\bruch{\delta}{4}-3}-\bruch{1}{3+\bruch{\delta}{4}-3}|=|-\bruch{4}{\delta}-\bruch{4}{\delta}|=|8/\delta| [/mm] und [mm] 8/\delta>1/2 [/mm] für alle [mm] 16>\delta. \left( 1 \right)
[/mm]
Im Weiteren muss man dann noch testen, dass die Bedingung [mm] \left( \* \right) [/mm] auch für alle [mm] \delta>16 [/mm] erfüllt ist [mm] \left( 2 \right).
[/mm]
Den Teil [mm] \left( 1 \right) [/mm] verstehe ich leider nicht ganz. Wenn ich mir die Rechnung anschaue, müsste doch aus [mm] \delta>16 [/mm] laut dieser Überlegung folgen, dass [mm] \left( \* \right) [/mm] nicht erfüllt ist und [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|<\epsilon [/mm] (wenn man Beweisteil [mm] \left( 2 \right) [/mm] noch nicht geführt hat). Wenn man sich den Graphen der Funktion anguckt, sieht man das aber nicht ein. Wählt man dann z.B. [mm] \delta=20, [/mm] folgt x=-2 und y=8. In diesem Intervall ist f aber noch nicht mal stetig. Darf ich meine [mm] x_\delta,y_\delta [/mm] denn eigentlich genau um die Unstetigkeitsstelle herum wählen?
Vielen Dank =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Di 08.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR \setminus\left\{ 3 \right\}\rightarrow\IR[/mm]
> x [mm]\rightarrow\bruch{1}{x-3}[/mm]
> zz.: f ist nicht gleichmäßig stetig.
> Die Lösung der Aufgabe liegt mir vor:
Wer hat denn die fabriziert ?
> zz. [mm]\exist \epsilon[/mm] sodass [mm]\forall \delta \exist \x_\delta,y_\delta \in \IR\setminus\left\{ 3 \right\}[/mm]
> mit [mm]|x_\delta-y_\delta|<\delta[/mm] und
> [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon. \left( \* \right)[/mm]
Das ist doch Quatsch !
Zu zeigen: es gibt ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit: zu jedem [mm] \delta> [/mm] 0 gibt es [mm] x_\delta [/mm] , [mm] y_\delta \in \IR\setminus\left\{ 3 \right\} [/mm] so, dass
[mm] |x_\delta-y_\delta|<\delta, [/mm] aber [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon.
[/mm]
> Wähle: [mm]\epsilon=1/2, x=3-\delta/4,y=3+\delta/4[/mm]
>
> [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=|\bruch{1}{3-\bruch{\delta}{4}-3}-\bruch{1}{3+\bruch{\delta}{4}-3}|=|-\bruch{4}{\delta}-\bruch{4}{\delta}|=|8/\delta|[/mm]
> und [mm]8/\delta>1/2[/mm] für alle [mm]16>\delta. \left( 1 \right)[/mm]
???????????????
> Im
> Weiteren muss man dann noch testen, dass die Bedingung
> [mm]\left( \* \right)[/mm] auch für alle [mm]\delta>16[/mm] erfüllt ist
> [mm]\left( 2 \right).[/mm]
?????????????????
Von wem hast Du diesen Schwachsinn ???
FRED
>
> Den Teil [mm]\left( 1 \right)[/mm] verstehe ich leider nicht ganz.
> Wenn ich mir die Rechnung anschaue, müsste doch aus
> [mm]\delta>16[/mm] laut dieser Überlegung folgen, dass [mm]\left( \* \right)[/mm]
> nicht erfüllt ist und [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|<\epsilon[/mm]
> (wenn man Beweisteil [mm]\left( 2 \right)[/mm] noch nicht geführt
> hat). Wenn man sich den Graphen der Funktion anguckt, sieht
> man das aber nicht ein. Wählt man dann z.B. [mm]\delta=20,[/mm]
> folgt x=-2 und y=8. In diesem Intervall ist f aber noch
> nicht mal stetig. Darf ich meine [mm]x_\delta,y_\delta[/mm] denn
> eigentlich genau um die Unstetigkeitsstelle herum wählen?
>
> Vielen Dank =)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Di 08.02.2011 | | Autor: | sqrt25 |
UAAAA, da ist aber was schief gelaufen beim Verfassen, editieren kann ich ja jetzt nicht mehr, sorry, das hab ich da natürlich falsch aufgeschrieben, es muss heißen:
zz.: [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] sodass [mm] \forall \delta>0 \exists x_\delta, y_\delta \in \IR\setminus \left\{ 3 \right\} [/mm] mit [mm] |x_\delta-y_\delta|<\delta [/mm] und [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon
[/mm]
Der Rest (Teil [mm] \left( 1 \right). [/mm] Ist der falsch?) entstammt einer Musterlösung zu der Aufgabe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Di 08.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: (so stehts oben)
Wähle: $ [mm] \epsilon=1/2, x=3-\delta/4,y=3+\delta/4 [/mm] $
$ [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|=|\bruch{1}{3-\bruch{\delta}{4}-3}-\bruch{1}{3+\bruch{\delta}{4}-3}|=|-\bruch{4}{\delta}-\bruch{4}{\delta}|=|8/\delta| [/mm] $ und $ [mm] 8/\delta>1/2 [/mm] $ für alle $ [mm] 16>\delta. \left( 1 \right) [/mm] $
ich würde es so aufschreiben:
Sei [mm] \epsilon=1/2. [/mm] Sei [mm] \delta [/mm] <16. Wähle [mm] x-\delta=3-\delta/4,y_\delta=3+\delta/4 [/mm] $
Dann ist
$ [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta>1/2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Di 08.02.2011 | | Autor: | sqrt25 |
> ich würde es so aufschreiben:
>
> Sei [mm]\epsilon=1/2.[/mm] Sei [mm]\delta[/mm] <16. Wähle
> [mm]x-\delta=3-\delta/4,y_\delta=3+\delta/4[/mm] $
>
> Dann ist
>
> [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta>1/2[/mm]
Okay, das macht auch Sinn, aber für [mm] \delta>16 [/mm] müsste doch gerade der Ansatz [mm] \left( 1 \right) [/mm] fehlschlagen. Wenn ich somit [mm] \epsilon=1/2, \delta=20, [/mm] x=-2, y=8 wähle, müsste in dieser Situation folgen [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta<1/2[/mm].
Ich hab mir den Graphen der Funktion zeichnen lassen und betrachte den [mm] \delta=20 [/mm] Streifen zwischen -2 und 8. Ein Epsilon-Schlauch der Breite 1/2 erfasst aber nicht alle Funktionswerte des delta-Streifens. Das müsste doch aber (laut Rechnung) der Fall sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Do 10.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > ich würde es so aufschreiben:
> >
> > Sei [mm]\epsilon=1/2.[/mm] Sei [mm]\delta[/mm] <16. Wähle
> > [mm]x-\delta=3-\delta/4,y_\delta=3+\delta/4[/mm] $
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta>1/2[/mm]
>
> Okay, das macht auch Sinn, aber für [mm]\delta>16[/mm] müsste doch
> gerade der Ansatz [mm]\left( 1 \right)[/mm] fehlschlagen.
Wieso denn? Dadurch wird die Aussage doch nicht falsch. Auch wenn du [mm] $\delta [/mm] > 16 $ wählst, bleibt immer noch die Aussage für diejenigen Werte von x und y, die in dem kleineren Bereich liegen. Du kannst z.B. [mm] $x_\delta=-1$ [/mm] und [mm] $y_\delta=7$ [/mm] wählen.
Viele Grüße
Rainer
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