gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR_{\ge0} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{x}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass für a > 0 die Einschränkung von f auf [a, [mm] \infty) [/mm] gleichmäßig stetig ist.
b) Zeigen Sie, dass die Wurzelfunktion auch auf [0, 1] gleichmäßig stetig ist und folgern Sie mit dem a-Teil, dass f auf ganz [mm] \IR_{\ge0} [/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe beim b-Teil der Aufgabe. Ich habe gezeigt, dass die Wurzelfunktion auf [0, 1] gleichmäßig stetig ist (wegen der Stetigkeit der Umkehrfunktion...) und weiß nicht, wie ich das mit dem Ergebnsi aus a) dazu verbinden kann, dass die Wurzel auf [0, [mm] \infty) [/mm] gleichmäßig stetig ist.
Kann mir jemand da vielleicht irgendwie helfen? Freue mich über alle Tipps =)
VG, Christof
|
|
| |
|
Huhu,
du hast bei b) gezeigt, dass die Wurzelfunktion auf [0,1] glm. stetig ist.
Bei a) hast du gezeigt, dass die Wurzelfunktion auf [mm] [a,\infty) [/mm] glm stetig ist.
Setze nun a=1, dann ist die Wurzelfunktion sowohl wo als auch wo glm. stetig? Und damit wo insgesamt?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gono,
Ja dann habe ich die gleichmäßige Stetigkeit der Wurzel auf [1, [mm] \infty) [/mm] und auf [0, 1], aber kann ich dann einfach so sagen dass sie deswegen auf ganz
[mm] \IR_{\ge0} [/mm] gleichmäßig stetig ist? Mein Übungsleiter meinte dass man bei dem Teil der Aufgabe nochmal etwas "arbeiten" müsste.
VG, Christoph
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ja dann habe ich die gleichmäßige Stetigkeit der Wurzel
> auf [1, [mm]\infty)[/mm] und auf [0, 1], aber kann ich dann einfach
> so sagen dass sie deswegen auf ganz
> [mm]\IR_{\ge0}[/mm] gleichmäßig stetig ist?
ja, eigentlich kannst du das schon, mach dir aber mal klar, warum.
Was bedeutet denn glm. Stetigkeit in Formeln?
Wenn du dir nun noch klar machst, dass wenn du ein [mm] $\delta$ [/mm] für das Stetigkeitskriterium gefunden hast, du dir auch jedes kleinere nehmen könntest, was das dann ebenfalls erfüllt.
Und daraus folgt dann sofort, dass du dein [mm] $\delta_{[0,\infty)} [/mm] = [mm] \min\{\delta_{[0,1]},\delta_{[1,\infty)}\}$ [/mm] wählen kannst und schon ist alles gut.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Okay, also ich denke so langsam habe ich die Lösung:
Ich wähle [mm] \delta_{[0, \infty)} [/mm] = min{ [mm] \delta_{[0, 1]}, \delta_{[1, \infty)} [/mm] } und habe damit die Situation, dass für alle x, x' aus [0, 1] mit |x -x'| < [mm] \delta_{[0, \infty)} [/mm] auch [mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{x'}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist. Dazu kommt, dass auch für alle x, x' aus [1, [mm] \infty) [/mm] mit |x -x'| < [mm] \delta_{[0, \infty)} [/mm] auch [mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{x'}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist. Bleibt der Fall zu erledigen, dass
x [mm] \in [/mm] [0, 1] und x' [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty) [/mm] oder umgekehrt. In diesem Fall setze ich
[mm] \delta [/mm] = min{ [mm] \delta_{[0, 1]}}, \delta_{[1, \infty)}, \varepsilon [/mm] . Sei x [mm] \in [/mm] [0, 1] und x' [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty). [/mm] Dann ist der Ausdruck [mm] (\wurzel{x}+\wurzel{x'}) \ge [/mm] 1.
Damit ergibt sich [mm] |\wurzel{x}-\wurzel{x'}| \le |\wurzel{x}+\wurzel{x'}||\wurzel{x}-\wurzel{x'}| [/mm] = |x - x'| < [mm] \delta \le \varepsilon [/mm] für beliebige x, x' aus [0, [mm] \infty) [/mm] mit |x - x'| < [mm] \delta. [/mm] Damit wäre dann die Aufgabe gelöst. Stimmt das soweit?
MfG, Christof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 So 22.01.2012 | | Autor: | Peter_Pan2 |
okay, vielen dank für die hilfe!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
