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gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Di 13.11.2007
Autor: engel

Hallo!

8x-3 = [mm] -x^4 [/mm] - 6x²

Wie kann ich hier die Nullstellen bestimmen?

Ich komme einfach nicht weiter...

        
Bezug
gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Di 13.11.2007
Autor: M.Rex

Hallo.

> Hallo!
>  
> 8x-3 = [mm]-x^4[/mm] - 6x²
>  
> Wie kann ich hier die Nullstellen bestimmen?
>  
> Ich komme einfach nicht weiter...

Du meinst die Schnittstellen?

Hier bleibt nur die Polynomdivision.

[mm] x^{4}+6x²+8x-3=0 [/mm]

Wobei es hier schwer ist, die ersten Nullstellen durch Probieren herauszufinden.

Hast du vielleicht irgendeinen Hinweis gegeben, z.B. über einen schon vorhandenen Schnittpunkt.

Sowas wäre z.B (Passt auch zu der Aufgabe):

Bestimmen sie den weiteren Schnittpunkt der Wendetangente mit der Funktion f. Dann hast du ja schon einen Kandidaten für die Schnittstelle, nämlich [mm] x_{w}. [/mm]
Also müsstest du die Polyn.-div. mit [mm] (x-x_{w}) [/mm] durchführen

Marius

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gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Di 13.11.2007
Autor: engel

Hallo!

Schnittpunkt ist bei 1.

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gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Di 13.11.2007
Autor: M.Rex

Hallo.

Dann mach mal die Polynomdivision:

[mm] (x^{4}+6x²+8x-3):(x-1)=... [/mm]

Dann hast du schonmal einen Term nur noch dritten Grades. Bei dem musst du dann wieder die Polyn.-div. anwenden, um eine Funktion 2 Grades (also ax²+bx+c)zu bekommne, die dun dann per p-q-Formel/Mitternachtsformel/Quadr. Ergänznug lösen kannst.

Marius

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gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Di 13.11.2007
Autor: engel

hab da jetzt:

[mm] x^3 [/mm] + x² - 5x + 3 raus.

durch was nun polynomdivision?

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gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Di 13.11.2007
Autor: M.Rex


> hab da jetzt:
>  
> x³ + x² - 5x + 3 raus.
>  
> durch was nun polynomdivision?

Du musst nun wieder eine Nullstelle erraten (oder auf eine Zeichnung schauen, []Funkyplot Zeichnet dir den Graphen)

Dann siehst du, dass
x³+x²-5x+3 eine Nullstelle bei -3 hat und eine bei 1

Somit kannst du nun entweder durch (x+3) uder durch (x-1) teilen.

Ein Tipp zum Erraten der Nullstellen:
Schau dir mal die letzte Zahl, also die Zahl ohne x an. Die Nullstelle, die du erraten musst, muss ein Teiler dieser Zahl sein. Also blieben hier (bei 3) nur [mm] \pm1 [/mm] und [mm] \pm3 [/mm] übrig.

Hättest du eine letzte Zahl 8 blieben nur [mm] \pm1,\pm2,\pm4 [/mm] und [mm] \pm8 [/mm] als "erratbare" Lösungen.

Marius

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gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Di 13.11.2007
Autor: engel

Hallo!

Schonmal danke. Aber ich glaube, jetzt kommt der "Hammer":

Gegeben ist die Parbelschwar mit der Gleichung y = 1 + ax².

BNestimme die Parabel der schwar, die mit Graph f genau 2 gemeinsame Punkte besitzt.

Wie geht das denn nun?

Ich habe mal meinen Graph: 6x² - [mm] x^4 [/mm] gleich 1 + ax² gesetzt, aber wie geht es dann weiter?



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gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 13.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo, sind das zwei Aufgaben, oder eine Aufgabe, poste bitte mal den kompletten Wortlaut der Aufgabe, Steffi


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gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Di 13.11.2007
Autor: engel

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]  

Hallo!

also das hier ist die Aufgabe (siehe Anhang) und ich muss die d) noch machen, den Rest habe uch mitlerweile. Könntet ihr mich dabei unterstützen? Danke!

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Bezug
gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Di 13.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo, wir können dir leider nicht helfen, in Aufgabe b) ist die Stelle x= .....???? nicht zu lesen, die ist unbedingt nötig, schreibe doch mal bitte die Aufgabe ab, dass alles leserlich ist; Steffi

Bezug
                                                                        
Bezug
gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Di 13.11.2007
Autor: M.Rex

Hallo Steffi.

> Hallo, wir können dir leider nicht helfen, in Aufgabe b)
> ist die Stelle x= .....???? nicht zu lesen, die ist
> unbedingt nötig, schreibe doch mal bitte die Aufgabe ab,
> dass alles leserlich ist; Steffi

Nicht nötig, Teil b) war schon gelöst, Die grosse Frage mit der Polyn.-div. war zu Teil c), wo man Teil b brauchte

Und Teil d) ist durch die Rückfrage auch schon hier gepostet.

Marius

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gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Di 13.11.2007
Autor: M.Rex

Hallo.

Wenn du die beiden Funktionen gleichsetzt ergibt ich:

[mm] -x^{4}+(6+a)x²+1=0 [/mm]

Wenn du jetzt substituierst ergibt sich:

-z²+(6+a)z+1=0
[mm] \gdw z_{1,2}=\bruch{6+a}{2}\pm\wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1} [/mm]

Da ja gilt x²=z [mm] \gdw x=\pm\wurzel{z} [/mm] und es nur zwei Lösungen für x geben soll, darf es nur eine Lösung für z geben.
Sonst gäbe es 4 Lösungen für x.
[mm] (x_{1}=\wurzel{\bruch{6+a}{2}+\wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1}}, [/mm]
[mm] x_{2}=\wurzel{\bruch{6+a}{2}-\wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1}}, [/mm]
[mm] x_{3}=-\wurzel{\bruch{6+a}{2}+\wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1}} [/mm]
[mm] x_{4}=-\wurzel{\bruch{6+a}{2}-\wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1}}) [/mm]

Somit muss gelten [mm] z_{1}=z_{2} [/mm]

das geht aber nur, wenn die rot markierte Wurzel =0 ist.
[mm] \bruch{6+a}{2}\pm\red{\wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1}} [/mm]

Also muss gelten:

[mm] \wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1}=0 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{(6+a)²}{4}+1=0 [/mm]

Daraus berechnest du jetzt die beiden Möglickeiten für a

Marius


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Bezug
gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Di 13.11.2007
Autor: engel

Hallo!

schonmal vielen dank, aber wie kommt ihr auf diese Zeile:


$ [mm] \gdw z_{1,2}=\bruch{6+a}{2}\pm\wurzel{\bruch{(6+a)²}{4}+1} [/mm] $

Bezug
                                                                
Bezug
gleichung: p/q-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Di 13.11.2007
Autor: Loddar

Hallo engel!


Hier wurde die MBp/q-Formel auf die quadratische Gleichung [mm] $z^2-(6+a)*z-1 [/mm] \ = \ 0$ angewandt.

Setze $p \ := \ -(6+a)$  sowie  $q \ := \ -1$ .


Gruß
Loddar


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Bezug
gleichung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:10 Di 13.11.2007
Autor: engel

Hallo!

a = +/- Wurzel 2

Würde das hinkommen? Das wäre ja toll ;-)

Bezug
                                                                
Bezug
gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Di 13.11.2007
Autor: engel

Also + / - Wurzel2 müsste dann ja noch quadriert werden!?

Bezug
                                                                
Bezug
gleichung: siehe unten!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Di 13.11.2007
Autor: Loddar

Hallo engel!


Da hat sich leider ein Fehler in der genannten Lösung eingeschlichen.

Wie es richtig geht, kannst Du hier lesen.


Gruß
Loddar


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Bezug
gleichung: Vorzeichenfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Di 13.11.2007
Autor: Loddar

Hallo Marius!


Da hats ich aber leider ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Es muss heien:
[mm] $$6x^2-x^4 [/mm] \ = \ [mm] 1+a*x^2$$ [/mm]
[mm] $$-x^4+6x^2-a*x^2-1 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$-x^4+(6-a)*x^2-1 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$x^4+(a-6)*x^2+1 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$z^2+(a-6)*z+1 [/mm] \ = \ 0$$

Damit ergibt sich auch folgende MBp/q-Formel:
[mm] $$z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{a-6}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{a-6}{2}\right)^2-1}$$ [/mm]

Die zu lösende Gleichung des Wurzelterms:
[mm] $$\left(\bruch{a-6}{2}\right)^2-1 [/mm] \ = \ 0$$

Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Di 13.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo Loddar, du bist leider schneller als ich gewesen, ich hatte den Fehler auch schon entdeckt, da ich die Aufgabe noch beendet habe, war die Eingabe leider zu lange, naja, Hauptsache der Fehler ist raus, Steffi

Bezug
                                                        
Bezug
gleichung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 19:58 Di 13.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo Marius, ein kleiner Vorzeichenfehler mit Folgen

[mm] 6x^{2}-x^{4}=1+ax^{2} [/mm]

[mm] 0=x^{4}-6x^{2}+ax^{2}+1 [/mm]

[mm] 0=x^{4}+(a-6)x^{2}+1 [/mm] Substitution: [mm] x^{2}=z [/mm]

[mm] 0=z^{2}+(a-6)z+1 [/mm]

[mm] z_1_2=- \bruch{a-6}{2}\pm\wurzel{\bruch{(a-6)^{2}}{4}-1} [/mm]

jetzt muß gelten:

[mm] \wurzel{\bruch{(a-6)^{2}}{4}-1}=0 [/mm]

[mm] (a-6)^{2}=4 [/mm]

[mm] a_1=8 [/mm]

[mm] a_2=4 [/mm]

jetzt Untersuchung für a=8

z=- [mm] \bruch{8-6}{2} [/mm]

z=-1 Rücksubstitution: [mm] x^{2}=-1 [/mm] keine reelle Lösung

jetzt Untersuchung für a=4

z=- [mm] \bruch{4-6}{2} [/mm]

z=1 Rücksubstitution: [mm] x^{2}=1 [/mm] somit [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm]

Ergebnis:

Parabel lautet: [mm] y=1+4x^{2} [/mm]

Schnittstellen beider Funktionen: [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm]

Schnittpunkte beider Funktionen: [mm] P_1(-1; [/mm] 5) und [mm] P_2(1; [/mm] 5)

Steffi


Bezug
                        
Bezug
gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Di 13.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo, Schnittpunkt bei 1 kann aus zweierlei Hinsicht nicht stimmen, 1. ein Punkt hat zwei Koordinaten, 2. Meinst du die Schnittstelle x=1, so kann es nicht stimmen, 8-3=-1-6 ist ja wohl eine falsche Aussage, zur Lösung führt hier das Newton-Verfahren, [mm] x_1=0,304421935079097, [/mm]

Steffi


Bezug
                        
Bezug
gleichung: Hä?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Di 13.11.2007
Autor: Zwerglein

Hi, engel,

wie kommst Du denn auf 1? Das passt doch NIE!

mfG!
Zwerglein

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