glm. und pkt. Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 22.06.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | Bestimme jeweis den Grenzwert bezg. punktweiser Konvergenz und entscheide ob sie gleichmäßig konvergiert.
[mm] f_k [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{x^2 + \bruch{1}{k}}
[/mm]
[mm] g_k [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \summe_{i=0}^{k} \bruch{x^i}{i!} [/mm] |
Also mein Hauptproblem ist, dass ich zwar den unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz verstanden habe, aber ich nie so genau weiss wie ich es zeigen soll, schon allein weil ich ständig andere Beweismöglichkeiten sehe und ich erkenn auch nie so richtig, ob die Funktion jetzt punktweise oder gleichmäßig konvergiert. Gibt es da vielleicht irgendeine Regel oder so...
Ich hab mir das so gedacht:
zu [mm] f_k:
[/mm]
zuerst den Grenzwert berechnen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{x^2 + \bruch{1}{k}} [/mm] = [mm] \wurzel{x^2 } [/mm] =|x|
also konvergiert [mm] f_k [/mm] gegen |x| bzgl der punktweisen Konvergenz.
Und hier schonmal meine erste Frage, warum bzgl der Punktweisen konvergenz. Habe ich dadurch schon gezeigt das die [mm] f_k [/mm] punktweise konvergiert.
Um zu zeigen das [mm] f_k [/mm] auch gleichmäßig konvergiert, betrachte
[mm] |f_k(x) [/mm] - f(x)| [mm] =|\wurzel{x^2 + \bruch{1}{k}}- \wurzel{x^2 }| [/mm] = [mm] \bruch{x^2 + 1/k - x^2}{\wurzel{x^2 + \bruch{1}{k} + \wurzel{x^2 }}} \le \bruch{1/k}{1/ \wurzel{k}} [/mm] = 1/ [mm] \wurzel{k}
[/mm]
davon muss ich dann den Limes ausrechnen fuer k [mm] \to \infty [/mm] und da kriege ich dann 0 raus. Dies bedeuted doch nun, dass es ein n gibt, sodass 1/ [mm] \wurzel{k} [/mm] < Epsilon ist. Nur warum genau, dass versteh ich noch nicht so genau.... Weil daraus kann ich ja dann folgern, dass
[mm] |f_k(x) [/mm] - f(x)| < Epsilon ist und somit ist [mm] f_k [/mm] gleichmäßig konvergent.
zu [mm] g_k:
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{k} \bruch{x^i}{i!} [/mm] = [mm] e^x [/mm]
das ist ja klar so nur wieso weiss ich jetzt, dass es Punktweise konbergent ist. Wir haben das zwar auch bewiesen, aber immer nur wenn es in dem Intervall [0,1] war ich dachte man muss bei punktweiser konvergenz immer zeigen, dass es gegen die Nullfunktion konvergiert....
Um zu zeigen ob es gleichmäßig ist, was in diesem Fall nicht zutrifft, könnte ich doch wie oben machen.
[mm] |f_k(x) [/mm] - f(x)| = | [mm] \summe_{i=0}^{k} \bruch{x^i}{i!} [/mm] - [mm] e^x [/mm] | und jetzt komm ich nicht mehr weiter... wie könnte ich denn jetzt weitermachen.... weil es gilt ja zu zeigen, dass es kein Epsilon > 0 gibt wofuer diese Gleichung gilt.
Es wäre echt super nett wenn mir jemand helfen könnte
lg xxxx
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> Bestimme jeweis den Grenzwert bezg. punktweiser Konvergenz
> und entscheide ob sie gleichmäßig konvergiert.
>
> [mm]f_k[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \wurzel{x^2 + \bruch{1}{k}}[/mm]
>
> [mm]g_k[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \summe_{i=0}^{k} \bruch{x^i}{i!}[/mm]
>
> Also mein Hauptproblem ist, dass ich zwar den unterschied
> zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz
> verstanden habe, aber ich nie so genau weiss wie ich es
> zeigen soll, schon allein weil ich ständig andere
> Beweismöglichkeiten sehe und ich erkenn auch nie so
> richtig, ob die Funktion jetzt punktweise oder gleichmäßig
> konvergiert. Gibt es da vielleicht irgendeine Regel oder
> so...
Eher nicht: aber in jedem Falle wirst Du zuerst einmal punktweise Konvergenz untersuchen wollen: zu diesem Zweck hältst Du ein $x$ fest und lässt den Folgenindex gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen. Ist punktweise Konvergenz gezeigt, dann versuchst Du zu zeigen, dass [mm] $k_0$, [/mm] mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] $k\geq k_0$ [/mm] die Abweichung vom punktweisen Limes kleiner als ein vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist, sogar unabhängig von $x$ gewählt werden kann. Ist dies möglich, so liegt sogar gleichmässige Konvergenz vor.
> Ich hab mir das so gedacht:
>
> zu [mm]f_k:[/mm]
> zuerst den Grenzwert berechnen:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{x^2 + \bruch{1}{k}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{x^2 }[/mm] =|x|
>
> also konvergiert [mm]f_k[/mm] gegen |x| bzgl der punktweisen
> Konvergenz.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und hier schonmal meine erste Frage, warum bzgl der
> Punktweisen konvergenz. Habe ich dadurch schon gezeigt das
> die [mm]f_k[/mm] punktweise konvergiert.
Ja. Du hast für ein beliebiges, aber festgehaltenes $x$ gezeigt, dass [mm] $\lim_{k\rightarrow \infty}f_k(x)=|x|$ [/mm] ist. Also ist die Funktion $f(x)=|x|$ der punktweise Limes dieser Funktionenfolge.
>
> Um zu zeigen das [mm]f_k[/mm] auch gleichmäßig konvergiert,
> betrachte
>
> [mm]|f_k(x)[/mm] - f(x)| [mm]=|\wurzel{x^2 + \bruch{1}{k}}- \wurzel{x^2 }|[/mm]
> = [mm]\bruch{x^2 + 1/k - x^2}{\wurzel{x^2 + \bruch{1}{k} + \wurzel{x^2 }}} \le \bruch{1/k}{1/ \wurzel{k}}[/mm]
> = 1/ [mm]\wurzel{k}[/mm]
(hier hast Du einen kleinen Schreibfehler im Nenner mit der grossen Wurzel, aber von der Grundidee her scheint dies richtig zu sein)
>
> davon muss ich dann den Limes ausrechnen fuer k [mm]\to \infty[/mm]
> und da kriege ich dann 0 raus. Dies bedeuted doch nun, dass
> es ein n gibt, sodass 1/ [mm]\wurzel{k}[/mm] < Epsilon ist.
> Nur
> warum genau, dass versteh ich noch nicht so genau....
Was Du für gleichmässige Konvergenz zeigen musst ist doch, dass, für vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] ein [mm] $k_0$ [/mm] existieren muss, so dass für alle [mm] $k\geq k_0$ [/mm] und alle $x$ die Abweichung von [mm] $f_k(x)$ [/mm] von $f(x)$ kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist. Wähle hier also etwa [mm] $k_0 [/mm] := [mm] \lceil 1/\varepsilon^2\rceil$.
[/mm]
>Weil
> daraus kann ich ja dann folgern, dass
> [mm]|f_k(x)[/mm] - f(x)| < Epsilon ist und somit ist [mm]f_k[/mm] gleichmäßig
> konvergent.
>
> zu [mm]g_k:[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{k} \bruch{x^i}{i!}[/mm]
> = [mm]e^x[/mm]
> das ist ja klar so nur wieso weiss ich jetzt, dass es
> Punktweise konbergent ist.
Wieder: Du hast für festehaltenes $x$ gezeigt, dass [mm] $\lim_{k\rightarrow \infty}g_k(x)=\mathrm{e}^x$. [/mm] Also liegt zumindest punktweise Konvergenz der [mm] $g_k(x)$ [/mm] gegen $g(x):= [mm] \mathrm{e}^x$ [/mm] vor.
> Wir haben das zwar auch
> bewiesen, aber immer nur wenn es in dem Intervall [0,1] war
> ich dachte man muss bei punktweiser konvergenz immer
> zeigen, dass es gegen die Nullfunktion konvergiert....
Diese Bemerkung verstehe ich leider nicht.
>
> Um zu zeigen ob es gleichmäßig ist, was in diesem Fall
> nicht zutrifft, könnte ich doch wie oben machen.
>
> [mm]|f_k(x)[/mm] - f(x)| = | [mm]\summe_{i=0}^{k} \bruch{x^i}{i!}[/mm] - [mm]e^x[/mm]
> | und jetzt komm ich nicht mehr weiter... wie könnte ich
> denn jetzt weitermachen.... weil es gilt ja zu zeigen, dass
> es kein Epsilon > 0 gibt wofuer diese Gleichung gilt.
Der Trick ist eben, dass Du, nachdem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $k_0$ [/mm] schon festgelegt sind, immer noch an $x$ so herumschrauben kannst, dass dieser Betrag der Abweichung von [mm] $g_k(x)$ [/mm] von $g(x)$ grösser als [mm] $\varepsilon$ [/mm] gemacht werden kann. Denn es ist ja, für positives $x$: [mm] $|g_k(x)-g(x)|=\sum_{i=k+1}^\infty \frac{x^i}{i!}\geq \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$.
[/mm]
Es lässt sich doch sicherlich ein $x>0$ finden, so dass, für festgehaltenes [mm] $k\geq k_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}>\varepsilon$ [/mm] ist. Diese untere Schranke [mm] $\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ [/mm] für die Abweichung von [mm] $g_k(x)$ [/mm] von $g(x)$, kann, durch geeignete Wahl von $x$, sogar beliebig gross gemacht werden. Damit ist gleichmässige Konvergenz widerlegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 22.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Ach so, ich glaub ich habe es jetzt fast verstanden....
Wenn ich also zuerst auf punktweise Konvergenz ueberpruefe, muss ich einfach nur den Limes ausrechnen, ist es egal was da darauskommt... oder muss da ein x im Ergebnis sein
Und wenn ich dann auf gleichmäßige Konvergenz ueberpruefe, benutze ich einfach [mm] |f_k(x) [/mm] - f(x)| (hier ist doch mein f(x) der Grenzwert oder, ich verwechsel das alles ständig) und dann kann ich doch einfach eine Gleichung aufstellen, in diesem Fall war das ja
[mm] 1/\wurzel{k} [/mm] < Epsilon und dann könnte ich das doch einfach nach k auflösen und dann krieg ich doch dadurch mein [mm] k_0 [/mm] wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe oder.... und dann muss ich halt nur noch schauen ob das möglich ist....
vielen lieben Dank fuer deine Hilfe uebrigens, ich hab auf jedenfall verstanden wie es abläuft und jetzt hoffe ich, dass ich es auch richtig verstanden habe 
lg xxxx
Ps: kennst du dich zufällig auch mit Konvergenz in Metriken aus, z.B sei [mm] a_n [/mm] eine Folge, zeige ob sie bzgl der Metrik d(x,y) = |x-y| konvergiert....
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> Ach so, ich glaub ich habe es jetzt fast verstanden....
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> Wenn ich also zuerst auf punktweise Konvergenz ueberpruefe,
> muss ich einfach nur den Limes ausrechnen, ist es egal was
> da darauskommt... oder muss da ein x im Ergebnis sein
Nein, keineswegs. Der Limes kann z.B. auch eine Konstante sein. Um ein besonders langweiliges Beispiel anzuführen: die Funktionen [mm] $f_k(x) [/mm] := [mm] \sin(x)/k$ [/mm] konvergieren punktweise (und sogar gleichmässig) gegen die Grenzfunktion $f(x)=0$ (d.h. konstant 0).
>
> Und wenn ich dann auf gleichmäßige Konvergenz ueberpruefe,
> benutze ich einfach [mm]|f_k(x)[/mm] - f(x)| (hier ist doch mein
> f(x) der Grenzwert
Richtig, $f(x)$ ist die punktweise Grenzfunktion. Der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmässiger Konvergenz einer Folge von Funktionen besteht ja nicht in der Grenzfunktion $f(x)$ gegen die diese Folge konvergiert, sondern nur in der "Art und Weise", wie diese Folge gegen die Grenzfunktion konvergiert. D.h. ob die Geschwindigkeit dieser Konvergenz von $x$ abhängig ist oder nicht (falls nicht: dann liegt gleichmässige Konvergenz vor).
> oder, ich verwechsel das alles ständig)
> und dann kann ich doch einfach eine Gleichung aufstellen,
> in diesem Fall war das ja
>
> [mm]1/\wurzel{k}[/mm] < Epsilon und dann könnte ich das doch einfach
> nach k auflösen und dann krieg ich doch dadurch mein [mm]k_0[/mm]
> wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe oder.... und
> dann muss ich halt nur noch schauen ob das möglich ist....
Nur weil diese obere Grenze [mm] $1/\sqrt{k}$ [/mm] von $x$ unabhängig gilt, können wir [mm] $k_0$ [/mm] alleine bei Kenntnis von [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] wählen und brauchen also gar nicht zu wissen, für welches $x$ die Abweichung von [mm] $f_k(x)$ [/mm] von $f(x)$ kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein soll. Diese Abweichung wird dann effektiv für alle [mm] $k\geq k_0$ [/mm] und alle $x$ (im Definitionsbereich von $f(x)$) kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein.
>
> vielen lieben Dank fuer deine Hilfe uebrigens, ich hab auf
> jedenfall verstanden wie es abläuft und jetzt hoffe ich,
> dass ich es auch richtig verstanden habe
>
> lg xxxx
>
> Ps: kennst du dich zufällig auch mit Konvergenz in Metriken
> aus, z.B sei [mm]a_n[/mm] eine Folge, zeige ob sie bzgl der Metrik
> d(x,y) = |x-y| konvergiert....
Stelle einfach bei Bedarf weitere Fragen in diesem Forum. Falls ich Deine Frage nicht beantworten kann wird dies vermutlich ein anderes Mitglied tun. Wer genau auf Deine Fragen antwortet, ist allerdings auch in erheblichem Masse vom Zufall abhängig.
Achte aber darauf, dass Deine Frage genügend klar und richtig formuliert ist, andernfalls kann es Dir im schlimmsten Fall geschehen, dass Deine Frage einfach ignoriert wird.
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