glm. und punktweise konvergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 17.11.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Für $n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ sei
[mm] $f_n [/mm] : [mm] \IR\to\IR,x\mapsto f_n(x):= \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$
[/mm]
Zeigen sie,dass die Funktionenfolge$ [mm] f_n [/mm] $ auf [mm] $\IR [/mm] $ punktweise konvergiert und bestimmen sie die Grenzwertfunktion $f$ . Untersuchen sie ferner,ob auf den Intervallen $I = [0,2]$ bzw. $J= [mm] [2,\infty) [/mm] $die Konvergenz gleichmäßig ist. |
Mein ansatz zur punktweisen konvergenz ist jener
def.
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)= [/mm] f(x)$
Ich betrachte die Fälle$ |x|=1 , |x|<1, |x|>1$
jedoch weiss ich nicht so recht wie ich jetzt mit diesen Fällen weiter machen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]n \in \mathbb N[/mm] sei
>
> [mm]f_n : \IR\to\IR,x\mapsto f_n(x):= \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}[/mm]
>
> Zeigen sie,dass die Funktionenfolge[mm] f_n[/mm] auf [mm]\IR[/mm] punktweise
> konvergiert und bestimmen sie die Grenzwertfunktion [mm]f[/mm] .
> Untersuchen sie ferner,ob auf den Intervallen [mm]I = [0,2][/mm]
> bzw. [mm]J= [2,\infty) [/mm]die Konvergenz gleichmäßig ist.
> Mein ansatz zur punktweisen konvergenz ist jener
>
> def.
>
> [mm]\forall x \in \IR[/mm] gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)= f(x)[/mm]
>
> Ich betrachte die Fälle[mm] |x|=1 , |x|<1, |x|>1[/mm]
>
> jedoch weiss ich nicht so recht wie ich jetzt mit diesen
> Fällen weiter machen soll?
Für |x|<1 konv. [mm] (x^{2n}) [/mm] gegen 0.
Für |x|=1 ist [mm] x^{2n}=1
[/mm]
Für |x|>1 ist [mm] f_n(x)=\bruch{1}{\bruch{1}{x^{2n}}+1}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 17.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo Fred,
danke dir für deine Antwort
mit Für |x|<1 konv. $ [mm] (x^{2n}) [/mm] $ gegen 0.
Für |x|=1 ist $ [mm] x^{2n}=1 [/mm] $
Für |x|>1 ist $ [mm] f_n(x)=\bruch{1}{\bruch{1}{x^{2n}}+1} [/mm] $
kann ich doch sagen, dass die punktweise konvergent ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Mo 17.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst den GW ff(x) ür die 2 Teile angben und explizit zeigen also [mm] |f_n(x_0)-f(x_0)|< \epsilon [/mm] für [mm] n>N_0
[/mm]
aber du meinst wohl das richtige.
Gru0 leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke dir für deine Antwort
>
> mit Für |x|<1 konv. [mm](x^{2n})[/mm] gegen 0.
>
> Für |x|=1 ist [mm]x^{2n}=1[/mm]
>
> Für |x|>1 ist [mm]f_n(x)=\bruch{1}{\bruch{1}{x^{2n}}+1}[/mm]
>
> kann ich doch sagen, dass die punktweise konvergent ist
> oder?
Oder ? Natürlich nicht. Du machst es Dir einfach !
Bestimme [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] im Falle |x|<1,
bestimme [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] im Falle |x|=1
und
bestimme [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] im Falle |x|>1.
Wie lautet dann die Grenzfunktion f ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 18.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hi
mein kumpel und ich haben eben in der Uni nochmal über die Aufgabe gesprochen und zum Ergebnis gekommen,dass die Grenzfunktion
[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{1+x^{2n}}, & \mbox{für } |x|>1 \\ \frac{1}{2} & \mbox{für }|x|=1 ,& 0 \mbox{für } |x|<1 \end{cases}$
[/mm]
wir haben da irgendwie nicht formal hingekriegt sind dann immer gescheiert. aber haben uns das irgendwie so gedacht,kann da einer irgednwie helfen?. Sorry im voraus wenn sie mir in den Vorherigen Beiträgen Hinweise geben wollte, ich hab diese wahrscheinlich dann nicht realisieren bzw. verstehen können...:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 18.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi
>
> mein kumpel und ich haben eben in der Uni nochmal über die
> Aufgabe gesprochen und zum Ergebnis gekommen,dass die
> Grenzfunktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{1}{1+x^{2n}}, & \mbox{für } |x|>1 \\ \frac{1}{2} & \mbox{für }|x|=1 ,& 0 \mbox{für } |x|<1 \end{cases}[/mm]
in der Grenzfunktion darf doch ken n mehr vorkommen
was ist denn [mm] f_{10^{199}} [/mm] (2) wogegen konvergiert das wenn n noch größer wird, ?
für x=1 richtig, für x<1 stz mal z.B x=0.1 und n=1000 ein ist das Ergebns nahe bei 0??
formal musst du zeigen, es gibt ein n sodass für n>N [mm] |f_n-f|<\epsilon
[/mm]
z-B, für x>1 f=0 denn [mm] 1/(1+x^{2n}) <\epsilon [/mm] falls [mm] 1<\epsilon*(1+x^{2n}) <\epsilon*2x^n [/mm] also [mm] 2x^{2n}>1/\epsilon
[/mm]
[mm] 2n*|ln(2x)|>ln1(\epsilon.
[/mm]
daraus [mm] N(x,\epsilon)
[/mm]
> wir haben da irgendwie nicht formal hingekriegt sind dann
> immer gescheiert.
gescheiert ist schön!
dass ihr aber nicht seht, wohin für große n die f:n gehen ist schon schlecht da sollte man schon mal sich ein Bsp vornehmen, wie eben ein konkretes x un n=10 und 100 und 1000 damit weiss man dann wohin das (fast sicher) läuft.
ob man dann benutzen kann dass [mm] y^n [/mm] gegen 0 geht für x<1 und gegen [mm] \infty [/mm] für x>1 oder das konkret mit Angeben von [mm] N(\epsilon,x) [/mm] beweisen muss hängt von dem ab, was ihr schon gezeigt habt.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Leduart:
Was habe ich Dir gesagt ? Das:
"Für |x|<1 konv. $ [mm] (x^{2n}) [/mm] $ gegen 0.
Für |x|=1 ist $ [mm] x^{2n}=1 [/mm] $
Für |x|>1 ist $ [mm] f_n(x)=\bruch{1}{\bruch{1}{x^{2n}}+1} [/mm] $"
Damit haben wir für |x|<1:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=0
[/mm]
Für |x|=1 ist [mm] f_n(x) [/mm] =1/2 für alle n. Folglich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=1/2 [/mm] für |x|=1
Nun zum Fall |x|>1:
Wegen [mm] \bruch{1}{x^{2n}}=(\bruch{1}{x^{2}})^n [/mm] und [mm] \bruch{1}{x^{2}}<1 [/mm] haben wir
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x^{2}})^n [/mm] =0.
Also gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=1.
[/mm]
Fazit: die Grenzfunktion f lautet:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } |x|>1 \\ \frac{1}{2} & \mbox{für }|x|=1 ,\\ 0 & \mbox{für } |x|<1 \end{cases} [/mm] $
Ich habe fertig !
FRED
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