globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 29.09.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Gegeben sei die Fkt. [mm] f(x,y):=2x^{3}-3x^{2}+2y^{3}+3y^{2}, x,y\in\IR.
[/mm]
a) f besitzt genau ein lok. Max. und genau ein lok. Min. in [mm] \IR^{2}.
[/mm]
b) Besitzt f auch globale Extrema? Begründe die Antwort. |
part. Abl. nach x
[mm] =6x^{2}-6x
[/mm]
nullstellen:
I) x=0
II) x=1
part. Abl nach y
[mm] =6y^{2}+6y
[/mm]
nullstellen:
III) y=0
IV) y=-1
Det. mit I und III=-36 <0 -->Sattelpunkt
Det. mit I und IV= 36 --> rel. Max. bei (0,-1)
Det mit II und III=36 --> rel. Min. bei (1,0)
Det. mit II und IV= -36 --> Sattelpunkt
Dürfte so weit stimmen glaub ich??!
wie jetzt aber beweisen, dass global oder nich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mi 29.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Fkt. [mm]f(x,y):=2x^{3}-3x^{2}+2y^{3}+3y^{2}, x,y\in\IR.[/mm]
>
> a) f besitzt genau ein lok. Max. und genau ein lok. Min. in
> [mm]\IR^{2}.[/mm]
> b) Besitzt f auch globale Extrema? Begründe die Antwort.
Dann müsste an dieser Stelle der Funktionswert größer/kleiner sein als alle anderen Funktionswerte im Definitionsbereich.
Das dürfte dann schwer werden, wenn in irgendeiner Richtung des DefBereichs die Funktionswerte gegen [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] gehen.
Gruß Abakus
>
>
> part. Abl. nach x
> [mm]=6x^{2}-6x[/mm]
> nullstellen:
> I) x=0
> II) x=1
>
> part. Abl nach y
> [mm]=6y^{2}+6y[/mm]
> nullstellen:
> III) y=0
> IV) y=-1
>
> Det. mit I und III=-36 <0 -->Sattelpunkt
> Det. mit I und IV= 36 --> rel. Max. bei (0,-1)
> Det mit II und III=36 --> rel. Min. bei (1,0)
> Det. mit II und IV= -36 --> Sattelpunkt
>
> Dürfte so weit stimmen glaub ich??!
> wie jetzt aber beweisen, dass global oder nich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 29.09.2010 | | Autor: | perl |
Da [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{3}(2-0+0+0)= \infty
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}x^{3}(2-0+0+0)=- \infty
[/mm]
und für [mm] \limes_{y\rightarrow+/-\infty} [/mm] analog.
Daraus folgt, der Wertebereich geht von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty. [/mm] Damit kann es sich nur um lokale Max. Min. handeln, da dadurch größere/kleinere Funktionswerte ex.
Ist das richtig?
DANKE!
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Hallo,
so ist es.
Du solltest vielleicht deutlicher notieren, dass Du bei Deiner Grenzwertbetrachtung die x-Achse entlangläufst, also y=0 setzt. Andererseits ist wohl jedem klar, wenn es mir schon klar ist...
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Do 30.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Da [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^{3}(2-0+0+0)= \infty[/mm]
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}x^{3}(2-0+0+0)=- \infty[/mm]
>
> und für [mm]\limes_{y\rightarrow+/-\infty}[/mm] analog.
Hallo perl,
mir ist klar, was Du meinst, wie auch unserem reverend, dennoch ist das oben fürchterlich notiert und streng genommen falsch. In einer Klausur wirst Du dafür höchstwahrscheinlich nicht einen einzigen Punkt ernten.
Am einfachsten geht es so: es gilt $f(x,x) = [mm] 4x^3 \to \pm \infty$ [/mm] für $x [mm] \to \pm \infty$
[/mm]
Somit hat f kein globales Max./Min
FRED
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> Daraus folgt, der Wertebereich geht von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]+\infty.[/mm] Damit kann es sich nur um lokale Max. Min.
> handeln, da dadurch größere/kleinere Funktionswerte ex.
>
> Ist das richtig?
>
> DANKE!
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