globales Minimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Di 03.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Funktion [mm] f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2) [/mm] in (0,0) kein globales Minimum, dass sie aber auf allen Geraden durch (0,0) isolierte Minima hat. |
Hallo,
also ich habe:
[mm] f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2) [/mm] = [mm] y^2-3x^2y+2x^4.
[/mm]
Definition globales Minimum: [mm] f(x_0) \le [/mm] f(x)
lokales Minimum: In I=(a,b) ex ein [mm] x_0 [/mm] sodass [mm] f(x_0)\le [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I ist
Nun muss ich doch einmal die partielle Ableitung nach x und y machen.
[mm] \frac{\partial f(x,y)}{x}=8x^3-6xy \gdw x(8x^2-6y) \gdw x_1= \sqrt{\frac{8x^2}{6}} [/mm] v [mm] x_2 -\sqrt{\frac{8x^2}{6}}
[/mm]
[mm] \frac{\partial f(x,y)}{y}=2y-3x^2 \gdw 2y=3x^2 \gdw y=\frac{3x^2}{2}
[/mm]
Stimmt das so? Und wenn ja, wie muss ich nun weitermachen?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Di 03.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] \frac{\partial f(x,y)}{x}=8x^3-6x$
[/mm]
ist falsch. richtig ist:
$ [mm] \frac{\partial f(x,y)}{x}=8x^3-6xy [/mm]
die Geraden durch 0 kriegst du, indem du y=mx setzt.
Wie habt ihr gezeigt, dass was ein globales Min ist?
immer erst skript oder Buch ansehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 03.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo also hätte ich:
[mm] 8x^3-6xy \gdw x(8x^2-6y) [/mm]
y=mx+b (hier b=0) [mm] \gdw 6y=8x^2 \gdw y=\frac{8x^2}{6} [/mm] = [mm] \frac{4x^2}{3} [/mm] > 0 !
globales Minimum liegt vor, wenn [mm] f(x_0) \le [/mm] f(x) [mm] \forall x\in [/mm] U
Für die partielle Ableitung nach y ergibt sich:
y=mx [mm] \gdw 2y=3x^2 \gdw y=\frac{3x^2}{2} [/mm] > 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Die ganze Ableiterei kann man sich doch bei dieser Aufgabe sparen !
1. Es ist $ [mm] f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2) [/mm] $ Für x [mm] \not=0 [/mm] ist
$f(x, [mm] \bruch{3}{2}x^2) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] < 0 = f(0,0) < [mm] 2x^4 [/mm] = [mm] f(x,3x^2)$
[/mm]
Daran sieht man: f hat in (0,0) kein Minimum.
2.
a) Wir betrachten die Gerade x=0. f(0,y) = [mm] y^2. [/mm] f hat also auf dieser Geraden in (0,0) ein globales Minimum.
b) Wir betrachten die Gerade y=0. f(x,0) = [mm] 2x^4. [/mm] f hat also auf dieser Geraden in (0,0) ein globales Minimum.
c) Wir betrachten die Gerade y=mx (mit m [mm] \not= [/mm] 0)
Setze [mm] g_m(x) [/mm] = f(x,mx)
Dann ist [mm] $g_m'(0) [/mm] = 0$ und [mm] $g_m''(0) [/mm] = [mm] 2m^2 [/mm] > 0$
f hat also auf dieser Geraden in (0,0) ein lokales Minimum.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 03.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Die ganze Ableiterei kann man sich doch bei dieser Aufgabe
> sparen !
>
> 1. Es ist [mm]f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)[/mm] Für x [mm]\not=0[/mm] ist
>
> [mm]f(x, \bruch{3}{2}x^2) = - \bruch{1}{4}x^4 < 0 = f(0,0) < 2x^4 = f(x,3x^2)[/mm]
>
[mm] [\red [/mm] Wie kommst du hier auf die [mm] 3x^2/2 [/mm] bzw. auf die -1/4 [mm] x^4 [/mm] ? Ich habe die [mm] \frac{3x^2}{2} [/mm] raus, nachdem ich f(x,y) nach y abgeleitet habe.]
> Daran sieht man: f hat in (0,0) kein Minimum.
>
> 2.
>
> a) Wir betrachten die Gerade x=0. f(0,y) = [mm]y^2.[/mm] f hat also
> auf dieser Geraden in (0,0) ein globales Minimum.
>
OK!
> b) Wir betrachten die Gerade y=0. f(x,0) = [mm]2x^4.[/mm] f hat also
> auf dieser Geraden in (0,0) ein globales Minimum.
>
OK!
> c) Wir betrachten die Gerade y=mx (mit m [mm]\not=[/mm] 0)
>
> Setze [mm]g_m(x)[/mm] = f(x,mx)
>
> Dann ist [mm]g_m'(0) = 0[/mm] und [mm]g_m''(0) = 2m^2 > 0[/mm]
>
> f hat also auf dieser Geraden in (0,0) ein lokales
> Minimum.
>
> FRED
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Hallo Bodo0686,
> > Die ganze Ableiterei kann man sich doch bei dieser Aufgabe
> > sparen !
> >
> > 1. Es ist [mm]f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)[/mm] Für x [mm]\not=0[/mm] ist
> >
> > [mm]f(x, \bruch{3}{2}x^2) = - \bruch{1}{4}x^4 < 0 = f(0,0) < 2x^4 = f(x,3x^2)[/mm]
>
> >
>
> [mm][\red[/mm] Wie kommst du hier auf die [mm]3x^2/2[/mm] bzw. auf die -1/4
> [mm]x^4[/mm] ? Ich habe die [mm]\frac{3x^2}{2}[/mm] raus, nachdem ich f(x,y)
> nach y abgeleitet habe.]
Hier ist die Gleichung [mm]f_{y}\left(x,y\right)=0[/mm] nach y aufgelöst worden.
Dieser Wert [mm]y=\bruch{3}{2}x^{2}[/mm] ist in [mm]f\left(x,y\right)[/mm] eingesetzt worden.
So ist dann der Funktionswert [mm]-\bruch{1}{4}x^{4}[/mm] erhalten worden.
>
> > Daran sieht man: f hat in (0,0) kein Minimum.
> >
> > 2.
> >
> > a) Wir betrachten die Gerade x=0. f(0,y) = [mm]y^2.[/mm] f hat also
> > auf dieser Geraden in (0,0) ein globales Minimum.
> >
>
> OK!
>
> > b) Wir betrachten die Gerade y=0. f(x,0) = [mm]2x^4.[/mm] f hat also
> > auf dieser Geraden in (0,0) ein globales Minimum.
> >
>
> OK!
> > c) Wir betrachten die Gerade y=mx (mit m [mm]\not=[/mm] 0)
> >
> > Setze [mm]g_m(x)[/mm] = f(x,mx)
> >
> > Dann ist [mm]g_m'(0) = 0[/mm] und [mm]g_m''(0) = 2m^2 > 0[/mm]
> >
> > f hat also auf dieser Geraden in (0,0) ein lokales
> > Minimum.
> >
> > FRED
>
Gruss
MathePower
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