globales Minimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Di 26.06.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | Für x,y [mm] \in \IR [/mm] sei
[mm]f(x,y) = -y^4 - e^{-x^2} + 2y^2 \wurzel{e^x + e^{-x^2}}.[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm] genau einen kritischen Punkt hat, und dass f dort lokal minimal ist. Zeigen Sie außerdem, dass dieses lokale Minimum kein globales ist. |
Guten Abend zusammen!
Also ich bin hier schon ziemlich weit und hab nur eine kleine Frage zum globalen Minimum:
Ich habe bereits gezeigt, dass der Punkt (0,0) der einzige kritische Punkt der Funktion ist. Außerdem hab ich über die Hesse-Matrix gezeigt, dass in diesem Punkt ein lokales Minimum vorliegt.
Wenn ich jetzt (0,0) in f einsetze bekomme ich -1. Jetzt soll ich zeigen, dass dieser Punkt "nur" ein lokales und kein globales Minimum ist. Reicht es wenn ich einfach zeige, dass wenn ich z.B. (0,-10) einsetze ich einen geringeren Wert als -1 bekomme und somit (0,0) wirklich nur lokal ist, oder muss ich das allgemein zeigen, dass die Funktion theoretisch kleinere Werte als -1 annehmen kann?
Gruß Myth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für x,y [mm]\in \IR[/mm] sei
>
> [mm]f(x,y) = -y^4 - e^{-x^2} + 2y^2 \wurzel{e^x + e^{-x^2}}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm] genau einen
> kritischen Punkt hat, und dass f dort lokal minimal ist.
> Zeigen Sie außerdem, dass dieses lokale Minimum kein
> globales ist.
> Guten Abend zusammen!
>
> Also ich bin hier schon ziemlich weit und hab nur eine
> kleine Frage zum globalen Minimum:
>
> Ich habe bereits gezeigt, dass der Punkt (0,0) der einzige
> kritische Punkt der Funktion ist. Außerdem hab ich über
> die Hesse-Matrix gezeigt, dass in diesem Punkt ein lokales
> Minimum vorliegt.
>
> Wenn ich jetzt (0,0) in f einsetze bekomme ich -1. Jetzt
> soll ich zeigen, dass dieser Punkt "nur" ein lokales und
> kein globales Minimum ist. Reicht es wenn ich einfach
> zeige, dass wenn ich z.B. (0,-10) einsetze ich einen
> geringeren Wert als -1 bekomme und somit (0,0) wirklich nur
> lokal ist, oder muss ich das allgemein zeigen, dass die
> Funktion theoretisch kleinere Werte als -1 annehmen kann?
was heißt denn dieses "theoretisch kleinere Werte annehmen kann"? Das hast Du schon gezeigt, wenn Du zeigst, dass $f((0,-10)) < [mm] -1\,.$
[/mm]
Die Sache ist doch relativ logisch: Du hast bisher nachgewiesen, dass deine Funktion an [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ein lokales Minimum annimmt. Wäre es auch global, so müßte [mm] $f((x,y))=f(x,y)\ge [/mm] f(0,0)$ für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] gelten. Wenn Du nun nur ein Paar [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $f(x_0,y_0) [/mm] < f(0,0)$ angeben kannst - und natürlich darfst Du da die berechneten Wert einsetzen und vergleichen und auch [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] konkret angeben - so kann doch [mm] $f\,$ [/mm] an $(0,0)$ kein globales Minimum haben - somit kann es nur lokal sein. (Beachte übrigens: Während nicht jede lokale Minimalstelle auch eine globale ist, ist eine globale Minimalstelle stets auch eine lokale!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Di 26.06.2012 | | Autor: | Myth |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Dieses "theoretisch kleinere Werte annehmen" war vielleicht etwas ungeschickt ausgedrückt. Wir haben das bei uns im Skript immer alles ganz aufwendig und ausführlich mit ähnlichen Funktionen verglichen und dann gesagt, dass f(x,y) einen gewissen Wert nicht überschreiten/unterschreiten kann, deswegen war ich mir nicht sicher, ob das was ich gemacht hab wirklich reicht, weil es eben so einfach war im Gegensatz zu unserem Skript.
Gruß Myth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Dieses "theoretisch kleinere Werte annehmen" war
> vielleicht etwas ungeschickt ausgedrückt. Wir haben das
> bei uns im Skript immer alles ganz aufwendig und
> ausführlich mit ähnlichen Funktionen verglichen und dann
> gesagt, dass f(x,y) einen gewissen Wert nicht
> überschreiten/unterschreiten kann, deswegen war ich mir
> nicht sicher, ob das was ich gemacht hab wirklich reicht,
> weil es eben so einfach war im Gegensatz zu unserem
> Skript.
das war sicher eher, wenn man zeigen wollte, dass eine lokale Extremstelle auch global ist. Natürlich kannst Du auch "theoretisch" nachrechnen, dass $f(0,-10) < -1$ ist:
Einfach ein paar Abschätzungen benutzen! (z.B. sowas wie [mm] $\sqrt{2} \ge [/mm] 1$).
Aber ich würd hier auch das Ergebnis eines Taschenrechnereinsatz akzeptieren! (Also einen gerundeten Funktionswert mit Rundung ohne Nachkommastelle - muss dann halt ersichtlich sein, dass der Funktionswert dann eindeutig $< [mm] -1\,$ [/mm] ist.)
Gruß,
Marcel
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