globales lokales Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 01.07.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
Ich hab ein Problem bei folgender Aufgabe:
Ich soll die funktion [mm] f:[-\bruch{1}{2}, [/mm] 1] [mm] \to [/mm] R, [mm] f(x)=x³e^{-x} [/mm] auf lokale und globale extremstellen berechnen.
zu den lokalen Extrema: hier berechne ich zuerstmal die 1. und2. Ableitung: [mm] f'(x)=3x²e^{-x}+x³*(-e^{-x})
[/mm]
[mm] f''(x)=6xe^{-x}+3x²*(-e^{-x})+3x²*(-e^{-x})+x³e^{-x}
[/mm]
Ich suche die Nullstellen zu f´(x) und finde als einzige Nullstelle [mm] x_{1}=0. [/mm] Diese setze ich in die 2.Ableitung ein und erhalte f´´(o)=0.
Daher würde ich sagen das es kein lokales extrema an der Stelle [mm] x_{1}=0 [/mm] gibt.Außredem untersuche ich noch das grenzwertverhalten von f(x) an den Intervallgrenzen..UNtersuche ich hier [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x) [/mm] oder [mm] \limes_{x\rightarrow-\bruch{1}{2}}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1}f(x) [/mm] ?
mfg mempys
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Hallo,
deine Ableitungen sind falsch. Du erhältst die erste Ableitung mit der Produktregel. Damit ergibt sich:
[mm] f'(x)=3x^{2}*e^{-x}-x^{3}*e^{-x}
[/mm]
[mm] =e^{-x}(-x^{3}+3x^{2})
[/mm]
Da [mm] e^{-x} [/mm] nicht null wird, reduziert sich dein Problem auf die Lösung der folgenden Gleichung:
[mm] -x^{3}+3x^{2}=0
[/mm]
Löse diese, berechne die zweite Ableitung neu und überprüfe dann erneut auf Extrema. Dein Vogehen bei den globalen Extrema ist richtig!
Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 01.07.2008 | | Autor: | mempys |
hmm...mein Intervall geht ja aber nur bis 1,daher ist es doch uninteressant ob 3 noch ne nullstelle ist!
Daher hatte ich sie nicht angegeben da sie außerhalb des Intervalls liegt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 01.07.2008 | | Autor: | Floid |
Denk daran, das x=0 auch eine Nullstelle ist, wenn du die 2. Ableitung neu berechnest, gilt evtl. nicht mehr f''(0) = 0 und somit hättest du bei x=0 ein lokales Extrema. Ist dies nicht der Fall, so wird es im Intervall wohl keine lok. Extremstelle geben.
Gruß Flo
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> hmm...mein Intervall geht ja aber nur bis 1,daher ist es
> doch uninteressant ob 3 noch ne nullstelle ist!
> Daher hatte ich sie nicht angegeben da sie außerhalb des
> Intervalls liegt
>
Hallo,
untersuche jetzt, ob Du bei x=0 einen Extremwert oder einen Sattelpunkt hast.
Bilde dazu entweder noch die dritt Ableitung, oder guck Dir die erste Ableitung genau an. Wenn sie nämlich rechts und links von 0 positiv ist, kann ja bei 0 kein Extremwert sein.
Nun schau die Intervallgrenzen -1/2 und 1 an und berechne die Funktionswerte.
Die Grenzwerte gegen [mm] \pm\infty, [/mm] die Du im Eingangspost ansprichst, interessieren hier nicht.
Gruß v. Angela
P.S.: Es heißt "ein Extremum" und "viele Extrema". Wenn Du's Dir nicht merken kannst, nimm "Extremwert(e)" .
Für Minimum/minima, Maximum/Maxima genauso.
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