gradlinig fliegende flugzeuge < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein >Flugezeug F1 startet im Punkt O ((0/0/0) und fliegt gradlinig mit 300km/h in richtung [mm] \vec{u}= [/mm] (1/2/2). Beim start von F1 befindet sich ein flugzeug f2 im punkt R(-5/-4/5) und fliegt geradlinig mit 450km/h in rihctung [mm] \vec{v} [/mm] = (8/4/1).(koordinatenangaben in km)
wieviele minuten nach dem start von F1 kommen sich die flugzeuge am nächsten?Wie weit sind sie in diesem augenblick voneinander entfernt? |
hallo nochmal,
bei dieser aufgabe habe ich den ansatz,dass man doch jeweils eine geradengleichung für F1 und eine für F2 aufstellen muss und da den parameter t für die zeit einfügt.
also vielleicht:
F1= (0/0/0) +t *300km/h * (1/2/2) und dasgleiche jeweils mit F2!
aber wenn das stimmt,was mach ich danach?? gleichsetzen und nach t auflösen`? oder bin ich komplett auf einem falschen weg??
danke im voraus
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Hallo!!
hoff, du bist mit der andern Flugzeugaufgabe klargekommen... 
Also.. hier musst du ersteinmal 2 Funktionen aufstellen, deren Graphen die Flugbahnen der beiden Flugzeuge repräsentieren.
[mm] G_f_1 [/mm] sei der Graph von [mm] f_1 \Rightarrow [/mm] Flugbahn F1
[mm] G_f_2 [/mm] sei der Graph von [mm] f_2 \Rightarrow [/mm] Flugbahn F2
[mm] f_1: \vec{x}=\alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] (Ist eine Ursprungsgerade)
[mm] f_2: \vec{x}=\vektor{-5 \\ -4 \\ 5}+\beta*\vektor{8 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
.... der Parameter der Geschwindigkeit darf nicht in diese beiden Funktionen mit hinein!!!...
Damit man überhaupt einen Abstand zwischen 2 Geraden berechnen kann, muss man erst zeigen, [mm] f_1\parallel f_2 [/mm] oder, dass [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] windschief zueinander sind.
Da [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ 1}=k*\vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] für k keine Lösung hat, sind beide Richtungsvektoren zueinander linear unabhängig. [mm] \Rightarrow f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] sind entweder windschef zueinander oder schneiden sich..
...In der Hoffnung, dass sie sich nicht schneiden , suchen wir einen Schnittpunkt.
Damit ein Schnittpunkt existiert muss folgende Gleichung, die sich aus Gleichsetzung beider Funktionen ergibt, eine Lösung besitzen:
[mm] \alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+\beta*\vektor{-8 \\ -4 \\ -1}=\vektor{-5 \\ -4 \\ 5}
[/mm]
Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Variablen....
I: [mm] \alpha-8*\beta=-5
[/mm]
II: [mm] 2*\alpha-4*\beta=-4
[/mm]
III: [mm] 2*\alpha-\beta=5
[/mm]
aus I ergibt sich: [mm] \alpha=8*\beta-5
[/mm]
...eingesetzt in II...
es ergibt sich für II: [mm] 16*\beta-10-4\beta=-4 \gdw \beta=\bruch{1}{2}
[/mm]
...eingesetzt in I...
es ergibt sich für I: [mm] \alpha=8*\bruch{1}{2}-5=-1
[/mm]
Jetzt setzen wir [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] in III ein
es ergibt sich für III: 2*(-1)+4=5 [mm] \gdw [/mm] 2=5 ... falsche Aussage..
Also hat das Gleichungssystem keine Lösung [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert kein Schnittpunkt [mm] \Rightarrow [/mm] de Geraden sind windschief zueinander!!
Jetzt brauchen wir eine Abstandsberechnug:
Für den minimalen Abstand der Graphen zueinander gilt:
...Wir brauchen den allg. Ortsvektor für [mm] \vec {x}\in f_2
[/mm]
[mm] \vec {x}=\vektor{8*\beta-5 \\ 4*\beta-4 \\ \beta+5}
[/mm]
...Wir brauchen den allg. Ortsvektor für [mm] \vec {x}\in f_1
[/mm]
[mm] \vec {x}=\vektor{\alpha \\ 2*\alpha \\ 2*\alpha}
[/mm]
Für den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] zwischen diesen beiden Punkten gilt:
[mm] \vec {a}=\vektor{8*\beta-5-\alpha \\ 4*\beta-4-2*\alpha \\ \beta+5-2*\alpha}
[/mm]
Der Abstand d ist der Betrag dieses Vektors:
[mm] \left| \vec {a}=\vektor{8*\beta-5-\alpha \\ 4*\beta-4-2*\alpha \\ \beta+5-2*\alpha} \right|=\wurzel( (8*\beta-5-\alpha)^2+(4*\beta-4-2*\alpha)^2+(\beta+5-2*\alpha)^2)
[/mm]
[mm] \gdw d^2=81*\beta^2-102*\beta+66-36*\alpha*\beta+6*\alpha+9*\alpha^2
[/mm]
Wir müssen nun [mm] \alpha [/mm] durch einen von [mm] \beta [/mm] abhängigen Term ersetzen...
Das geht so:
für F1 gilt:
[mm] t=\bruch{s}{v} [/mm] (Formel für gleichmäßige Bewegung)
[mm] \gdw t=\bruch{\left| \overrightarrow{OX} \right|}{300*\bruch{km}{h}}=\bruch{\alpha}{100*\bruch{km}{h}}
[/mm]
für F2 gilt:
[mm] t=\bruch{s}{v} [/mm] (Formel für gleichmäßige Bewegung)
[mm] \gdw t=\bruch{\left| \vektor{8*\beta-5 \\ 4*\beta-4 \\ \beta+5}-\vektor{-5 \\ -4 \\ 5} \right|}{450*\bruch{km}{h}}=\bruch{9*\beta}{450*\bruch{km}{h}}
[/mm]
Da wir den Abstand bei ein und demselben t berechnen können wir diese beiden Terme gleichsetzen:
es ergibt sich....
[mm] \bruch{\alpha}{100*\bruch{km}{h}}=\bruch{9*\beta}{450*\bruch{km}{h}}
[/mm]
[mm] \gdw \alpha=2*\beta
[/mm]
dieses [mm] \alpha [/mm] kann ich nun in meine Abstandsformel einsetzen:
es ergibt sich...
[mm] d^2=81*\beta^2-102*\beta+66-36*2*\beta*\beta+6*2*\beta+9*(2*\beta)^2
[/mm]
[mm] \gdw d(\beta)=\wurzel(45*\beta^2-90*\beta+66)
[/mm]
Gesucht sei nun das absolute Minimum von [mm] d(\beta):
[/mm]
Berechnen wir nun die 1. und die 2. Ableitung von [mm] d(\beta):
[/mm]
[mm] d^{'}(\beta)=\bruch{90*\beta-90}{2*\wurzel(45*\beta^2-90*\beta+66)}=\bruch{45*\beta-45}{\wurzel(45*\beta^2-90*\beta+66)}
[/mm]
[mm] d^{''}(\beta)=\bruch{945}{(45*\beta^2-90*\beta+66)^\bruch{3}{2}}=945*(45*\beta^2-90*\beta+66)^\bruch{2}{3}
[/mm]
Nullstellen von [mm] d^{'}(\beta) [/mm] geben mögliche Extremstellen an.....also...
[mm] d^{'}(\beta)=0 \gdw \bruch{45*\beta-45}{\wurzel(45*\beta^2-90*\beta+66)}=0
[/mm]
[mm] \gdw 45*\beta-45=0 \gdw \beta=1 [/mm]
...Dies ist eine mögliche Extremstelle
[mm] d^{''}(1)=945*(45*1^2-90*1+66)^\bruch{2}{3}=945*21^bruch{2}{3} [/mm] > 0 .... [mm] d(\beta) [/mm] hat also bei 1 ein lokales Minimum
[mm] d(1)=\wurzel21
[/mm]
Grenzwertuntersuchung für [mm] d(\beta)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\pm\infty}d(\beta)=\infty
[/mm]
Da also [mm] d(1)=\wurzel21<\limes_{n\rightarrow\pm\infty}d(\beta)=\infty [/mm] ist bei 1 auch das gesuchte absolute Minimum!!
[mm] d(1)=\wurzel21 [/mm] ist der gesuchte minimale Abstand der Flugzeuge.
Man setzt jetz nun [mm] \beta=1 [/mm] in [mm] t=\bruch{9*\beta}{450*\bruch{km}{h}} [/mm] ein
[mm] \gdw [/mm] t=0.02h=1min 12s ist die gesuchte Zeit.
Mit lieben Grüßen
Andreas
P.S.: Müsste jetzt richtig sein als korrigierte Fassung Danke für den Hinweis!!
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:31 Di 03.04.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Andreas,
ich glaube du hast dir das rechnen durch einen kleinen Fehler unnötig schwer gemacht.
In dem Schritt, in dem du t in Abhängigkeit von [mm] \beta [/mm] berechenst, hast du nicht den bisher zurückgelegten Weg durch die Geschwindigkeit geteilt, sondern den Abstand zum Ursprung zum Zeitpunkt t.
Richtig müsste es heißen:
[mm] t=\bruch{ \vmat{ \vektor{8 \beta -5 \\ 4 \beta -4 \\ \beta +5} - \vektor{-5 \\ -4 \\ 5} } }{450 \bruch{km}{h} } [/mm] = [mm] \bruch{ 9 \beta }{ 450 \bruch{km}{h} }
[/mm]
Dann ist deine restliche Rechnung auch einfacher.
Ich hoffe, das hilft euch weiter,
Vreni
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hallo ,
danke für die ausführliche lösung und deine mühe!
hab es auf jeden fall besser verstanden...
so jetzt hab ich meinen lehrer per e-mail auch gefragt und von ihm hab ich diegleich lösung bekommen, nur sein rechenweg ist kürzer.leider versteh ich einen schritt nicht ganz!
also seine lösung:
Zeit, zu der sich die Flugzeuge am nächsten sind:
Es ist [mm] \vec{u} [/mm] = (1/2/2); [mm] I\vec{u}I [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1+4+4}=3
[/mm]
und [mm] \vec{v} [/mm] = (8/4/1); [mm] I\vec{v}I [/mm] = ...=9
ist t die vergangene zeit nach dem start von F1, so bewegt sicg F1 azf der geraden
h: [mm] \vec{x} [/mm] = t*300* [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * (1/2/2)= t*100*(1/2/2)
und F2 auf der geraden
k: [mm] \vec{x} [/mm] (-5/45/5) + [mm] t*450*\bruch{1}{9} [/mm] * (8/4/1)= (-5/-4/5)+ t*50* (8/4/1)
sind P und Q die Orte der Flugzeuge so gilt:
P(100t/200t/200t); Q(-5+400t/-4+200t/5+50t).
gesucht ist der wert für t, für den betrag des vektors [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] miinimal wird:
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = (-5+300t/-4/5-150t);
[mm] I\overrightarrow{PQ}I [/mm] = [mm] \wurzel[n]{(-5+300t)^2 +16+ (5-150t)^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel[n]{112500t^2-4500t+66}
[/mm]
zur bestimmung der extremstelle kann man die ersatzfunktion
[mm] d(t)=112500t^2-4500t+66 [/mm] benutzen.
mit d'(t) = 225000t-4500 erhält man tmin aus 225000t-4500=0
tmin= [mm] \bruch{4500}{225000} [/mm] = 45/2250=0,02
--> damit kommen sich die flugzeuge 0,02std. d.h. 1min und 12 sekunden nach dem start am nächsten!
so meine frage bezieht sich jetzt auf den ersten teil der rechnung zur aufstellung der geraden:
wie kommt man auf 1/3 und 1/9 ?? hat das was mit u und v zu tun??
danke im voraus
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Hallo!!
erstmal *schulterklopf*, dass ich nach meinem Rechengewusel, dasselbe Ergebnis wie dein Lehrer hab.
3 ist die Länge des Richtungsvektors von F1
9 ist die Länge des Richtungsvektors von F2
DIe Stützvekotren die er benutzt sind analog zu [mm] s_0
[/mm]
in dieser Gleichung [mm] s=v*t+s_0
[/mm]
(Vllt. teilt er durch de jeweilige Länge des RVs um nachher, den Betrag des RV auf 1 zu normieren... ist aber nur eine Vermutung..)
wieso er nun in den Gleichungen durch die Länge des jeweiligen Rvs teilt, kann ich dir bs jetzt nicht genau sagen....
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
auch wenn es komisch ist, wenn ich zu meiner Antwort eine Frage stell....
Stand ja auch schon in der Antwort, dass ich nicht genau die Funktionen für F1 F2 vom Lehrer versteh.
Irgendwas schwebt mir im Kopf, von wegen Normierung des RVs auf die Länge 1.. sowas kenn ich aber nur bei Hesseform vin Ebenen..
Kann jemand meine Gedanken sortieren??
Danke und liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Di 03.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi Andreas,
deine Frage war ja, warum man den Richtungsvektor normiert.
Es ist ja so, wenn du die Flugbahnen einfach so als normale Geradengleichung betrachtest, dann ist es ja völlig egal, welche Länge die Richtungsvektoren etc haben.
In deinem Fall aber, möchtest du ja deinen Parameter, der in der Geradengleichung steckt, als Zeit nach dem Abflug definieren, damit du zb für t=1 einsetzten kannst, und dann sagen kannst: Jo, nach einer Minute ist er da und da, indem du einfach die 1 in die Parameterform der Geradengleichung einsetzt.
Damit du für deinen Parameter aber "einfach" die Zeit einsetzen kannst, musst du dafür sorgen, dass dein Flugzeug, welches ja auch eine gewisse Geschwindigkeit v hat, innerhalb dieser einen Minute die Strecke s=v*t zurückgelegt hat.
Deshalb normierst du einfach den Richtungsvektor, so dass dein Flugzeug dann innerhalb einer Minute, also für t=1 die Strecke s=1 zurückgelegt hat.
Da es aber die Strecke s=v*t zurückgelegt hat, normierst du einfach den Richtungsvektor, und multiplizierst diesen dann wieder mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges.
Damit hast du dann dafür gesorgt, dass dein Flugzeug innerhalb deiner Zeit, meinetwegen für t=1 die Strecke s=v*1 zurückgelegt hat.
Denn sonst würde dein Flugzeug ja nicht die richtige Geschwindigkeit haben, oder sonst könntest du nicht sagen, dass dein Parameter für die Zeit steht.
Viele Grüße,
Kroni
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Hallo,
tut mir leid, aber irgendwie komm ich damt noch nicht klar.
Ich versteh immer noch nicht, wieso wir um t als Parameter der Zeit definieren zu können, durch die Länge des RVs teilen müssen.
Ist t ohne diese Normierung nicht Parameter für die Zeit?
"Damit du für deinen Parameter aber "einfach" die Zeit einsetzen kannst, musst du dafür sorgen, dass dein Flugzeug, welches ja auch eine gewisse Geschwindigkeit v hat, innerhalb dieser einen Minute die Strecke s=v*t zurückgelegt hat. " ....wieso diese Strecke?
Die Funktion gibt mir doch die Position nach einer Zeit t an und nicht die geflogene Srecke oder?
"Da es aber die Strecke s=v*t zurückgelegt hat, normierst du einfach den Richtungsvektor, und multiplizierst diesen dann wieder mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges.
Damit hast du dann dafür gesorgt, dass dein Flugzeug innerhalb deiner Zeit, meinetwegen für t=1 die Strecke s=v*1 zurückgelegt hat. "
.... tut mir Leid irgendwie habe ich da grad nen Aussetzer.
Liebe Grüße
Andras
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 03.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hey, kein Problem, liegt wohl an meiner Formulierung.
Also: Dein Flugzeug hat eine bestimmte Geschwindigkeit, zB. v=2m/s.
Wenn wir nun wissen wollen, wo genau sich das Flugzeug nach z.B. t=1 befindet, so wissen wir doch sicher, dass es die Strecke s=2m/s * 1s = 2m geflogen ist.
D.h., wenn wir uns mal die Flugbahn ansehen, welche wir als Gerade gegeben haben, so wissen wir:
Vom Startpunkt (dem Stützvektor) ist das Flugzeug 2m auf der Geraden in Richtung des Richtungsvektores geflogen.
Das ist doch eigentlich klar, dass dem so sein muss, das sagt ja auch schon die Geschwindigkeit.
Okay, gucken wir weiter.
Nehmen wir uns mal die Gerade g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\0\\} [/mm] + t* [mm] \vektor{0\\0\\10}, [/mm] als Beispielflugbahn.
Hier lege ich einfach mal als Beispiel fest, dass das Flugzeug im Koordinatenursprung gestartet ist etc (ja, klar, es müsste ja noch abheben etc, aber ich habe das Beispiel einfach mal so einfach gelassen, damit man besser darüber Sprechen kann!).
Legen wir jetzt mal fest, dass wir für t=1 einstezen, und dann sagen: Das soll uns die Position des Flugzeuges nach einer Sekunde angeben, so sehen wir:
Es wäre für t=1 am Punkt (0;0;10).
Hier sieht man, dass das Flugzeug dann die Strecke s=10m zurückgelegt hätte, was sich aber nicht mehr der vorgegebene Geschwindigkeit vereinbaren lässt, denn mit der Geschwindigkeit v=2m/s kann es ja nur 2m vorwärts gekommen sein.
Also müssen wir uns doch irgendwie den Richtungsvektor zurechtbiegen, damit wir für t die Zeit einsetzten können.
Also, was machen wir?
Wir normieren den Richtungsvektor erst einmal, teilen ihn also durch seinen Betrag, das sähe dann so aus:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\0\\} [/mm] + t* 1/10 [mm] \vektor{0\\0\\10}
[/mm]
Gucken wir uns das jetzt mal an, so würde das Flugzeug 1m pro Sekunde vorwärts kommen...das passt auch noch nicht.
Also multipliziern wir den normierten Richtungsvektor einrach noch einmal mit der Geschwindigkeit:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\0\\} [/mm] + t* 1/10 * 2* [mm] \vektor{0\\0\\10}
[/mm]
Hier sieht man dann, dass man jetzt für t die Zeit nach Beginn einsetzten kann, und sich diese Form dann richtig ergibt:
Nämlich: Das Flugzeug hat nach t=1s genau 2m zurückgelegt und ist dann am Punkt (0;0;2) angelangt.
Diese Überlegung, bzw. dieses Verfahren lässt sich auf jeden beliebeigen Vektor bzw. auf jedes beliebige Problem anwenden, auch wenn der Richtungsvektor nun einfach ausschaut, wie in euerm Beispiel!
Also nochmal die Essenz der Überlegung:
Wenn ich für den Parameter die Zeit einsetzen will, dann muss ich doch dafür sorgen, dass die Strecke, die das Flugzeug nach z.B. t=5 zurückgelegt hat, auch die Strecke ist, die das Flugzeug in Richtung der Geraden zurücklegt.
Und das ist eben nicht immer mit einem Richtungsvektor, der in der Aufgabenstellung steht, gemacht.
Um dafür zu sorgen, dass diese Bedingung erfüllt ist, normiert man den Richtungsvektor, denn dann bewegt sich das Gefährt ja genau eine Einheit entlang der Geraden, wenn ich für t Eins einsetze.
Da das Flugzeug sich aber meist nicht eine Einheit in Richtung der Geraden pro Zeiteinheit bewegt, sondern s=v*t Einheiten, so muss man diesen normierten Vektor noch mit der Geschwindigkeit multiplizieren, und so hat man es dann geschafft, dass sich das Flugzeug dann pro Zeiteinheit genau die Strecke entlang der Geraden bewegt hat, wie es seine Geschwindigkeit vorgegeben hat.
VIele Grüße,
Kroni
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Hallo!!
vielen Dank für deine Geduld mit mir... Ich habs jetzt verstanden.
Liebe Grüße
Andreas
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