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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Do 29.09.2011 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | | [mm] A= [/mm] ist eine nxn-Matrix. Zeige dass det (A) >= 0 gilt |
Ich finde überall dazu, dass die Gramsche-Matrix immer positiv definit ist, aber wieso steht leider nirgends dabei und ich wäre über jegliche Hilfen dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Do 29.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A=[/mm] ist eine nxn-Matrix. Zeige dass det (A) >=
> 0 gilt
Solche Anfragen liebe ich ! Ich kann mir zusammenreimen worum es geht.
Du verrätst nicht:
1. Gegeben ist ein Vektorraum V über [mm] \IR [/mm] und einer Basis [mm] $\{v_1,...,v_n\}$,
[/mm]
und
2. eine Bilinearform $ [mm] \langle\cdot [/mm] , [mm] \cdot\rangle \colon V\times V\to \IR,\quad (v,w)\mapsto\langle v,w\rangle$
[/mm]
Warum hast Du Dir nicht die Mühe gemacht, diese Informationen potentiellen Helfern zugänglich zu machen ?
> Ich finde überall dazu, dass die Gramsche-Matrix immer
> positiv definit ist,
Das stimmt nicht. Es gilt:
die Gramsche-Matrix ist symmetrisch und positiv definit [mm] \gdw [/mm] die Bilinearform ist ein Skalarprodukt.
FRED
> aber wieso steht leider nirgends dabei
> und ich wäre über jegliche Hilfen dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Do 29.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > [mm]A=[/mm] ist eine nxn-Matrix. Zeige dass det (A) >=
> > 0 gilt
>
> Solche Anfragen liebe ich ! Ich kann mir zusammenreimen
> worum es geht.
>
> Du verrätst nicht:
>
> 1. Gegeben ist ein Vektorraum V über [mm]\IR[/mm] und einer Basis
> [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm],
Ich vermute, die Vektoren [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] muessen nicht umbedingt eine Basis sein. Da er [mm] $\det [/mm] A [mm] \ge [/mm] 0$ schreibt, scheint es ihm nur um positiv semi-definit zu gehen.
> und
>
> 2. eine Bilinearform [mm]\langle\cdot , \cdot\rangle \colon V\times V\to \IR,\quad (v,w)\mapsto\langle v,w\rangle[/mm]
Ich tippe auf $V = [mm] \IR^n$ [/mm] mit Standardskalarprodukt 
Falls [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] keine Basis sind, gibt es eine Basis [mm] $w_1, \dots, w_n$ [/mm] mit [mm] $(v_1, \dots, v_n) [/mm] = [mm] (w_1, \dots, w_n) [/mm] A$ mit einer Matrix $A [mm] \in \R^{n \times n}$. [/mm] Dann ist [mm] $(\langle v_i, v_j \rangle)_{ij} [/mm] = [mm] A^T (\langle w_i, w_j \rangle)_{ij} [/mm] A$ und somit die Determinante davon gleich [mm] $(\det(A))^2 \cdot \det (\red{\langle w_i, w_j \rangle})_{ij}$. [/mm] Die hintere Determinante ist (wie Fred sagt) positiv, die erste Determinante ist wegen dem Quadrat [mm] $\ge [/mm] 0$.
EDIT: Korrektur (siehe oben in rot)
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:22 Do 29.09.2011 | | Autor: | tmili |
erst mal vielen dank - ihr seid super :)
ich weiß die anderen angaben leider nicht und hab auf schlaue leute gehofft, die sich das zusammenreimen können..es ging um eine klausur-aufgabe die ich aber nur noch so halb im kopf habe und da ich durchgefallen bin muss ich am freitag ins mündliche und dachte es wär nicht schlecht darüber bescheid zu wissen!
ich verstehe nun aber leider noch nicht alles...
warum ist [mm] detA=(detA)^{2}*det(_{ij}....also [/mm] warum stehen da hinten jetzt nicht die w's bei denen doch die A's stehen? warum die erst größer gleich null ist ist klar- danke :) aber warum ist die hintere auch größer null?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Do 29.09.2011 | | Autor: | tmili |
ah das hintere hab ich verstanden nachdem ich freds mitteilung nochmal gelesen habe...aber wie du genau auf die formel kommst weiß ich nicht..das wär lieb wenn du es nochmal erklären würdest
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Do 29.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ah das hintere hab ich verstanden nachdem ich freds
> mitteilung nochmal gelesen habe...aber wie du genau auf die
> formel kommst weiß ich nicht..das wär lieb wenn du es
> nochmal erklären würdest
mein A ist nicht dein A.
Und ich hatte noch einen Tippfehler drinnen, hab den jetzt korrigiert (ist in rot markiert).
Ist es damit verstaendlicher?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 29.09.2011 | | Autor: | tmili |
ah ja genau das meinte ich :)
sehe ich das dann richtig :
det A = [mm] (det(B))^{2} [/mm] * [mm] det()_{ij}
[/mm]
also A ist jetzt die Orginal-Matrix und dein A habe ich überall durch B ersetzt.
und das erste ist jetzt größer gleich Null wegen dem Quadrat und das zweite ist größer Null weil die Bilinearform ein Skalarprodukt ist, oder?
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Do 29.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ah ja genau das meinte ich :)
> sehe ich das dann richtig :
> det A = [mm](det(B))^{2}[/mm] * [mm]det()_{ij}[/mm]
>
> also A ist jetzt die Orginal-Matrix und dein A habe ich
> überall durch B ersetzt.
Genau.
> und das erste ist jetzt größer gleich Null wegen dem
> Quadrat und das zweite ist größer Null weil die
> Bilinearform ein Skalarprodukt ist, oder?
Genau so ist es :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Do 29.09.2011 | | Autor: | tmili |
vielen lieben dank!
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