grenzwert < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 So 13.09.2009 | | Autor: | hquer |
abend zusammen,
ich habe eine frage zu dem folgenden grenzwert:
[mm] \limes_{k\rightarrow\ 0} \bruch{1}{(1+\bruch{w^2}{4k^2}(cos(4ka)-1))^2+(\bruch{w^2}{4k^2}sin(4ka)+\bruch{w}{k})^2}
[/mm]
dies soll für alle [mm] w\not=-\bruch{1}{a}, [/mm] 0 ergeben, das ist ja ok, aber, wenn nun [mm] w=-\bruch{1}{a} [/mm] ist soll 1 rauskommen, das klappt iwie nicht. hat da jemand vllt eine idee?
danke schonmal
gruß
hquer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 So 13.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> abend zusammen,
> ich habe eine frage zu dem folgenden grenzwert:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\ 0} \bruch{1}{(1+\bruch{w^2}{4k^2}(cos(4ka)-1))^2+(\bruch{w^2}{4k^2}sin(4ka)+\bruch{w}{k})^2}[/mm]
>
> dies soll für alle [mm]w\not=-\bruch{1}{a},[/mm] 0 ergeben, das
> ist ja ok, aber, wenn nun [mm]w=-\bruch{1}{a}[/mm] ist soll 1
> rauskommen, das klappt iwie nicht. hat da jemand vllt eine
> idee?
Das liegt an der letzten Klammer im Nenner. Wenn ich den ersten Summanden mit $(4ka)$ erweitere, bekomme ich
[mm] \bruch{w^2}{4k^2}\sin(4ka)+\bruch{w}{k} = \bruch{w^2}{4k^2}*4ka*\bruch{\sin(4ka)}{4ka} +\bruch{w}{k} = \bruch{w}{k} \left(wa \bruch{\sin(4ka)}{4ka} +1 \right) [/mm].
Da [mm]\lim_{x\to 0}\bruch{\sin x}{x} = 1 [/mm] ist, gilt
[mm] \lim_{k\to 0} \left(wa \bruch{\sin(4ka)}{4ka} +1 \right) = wa + 1 [/mm].
Daher macht es einen Unterschied ob $(wa + 1 )$ gleich Null oder ungleich 0 ist.
Diese Überlegung ist natürlich nicht vollständig. Am besten ist es, wenn du Zähler und Nenner mit [mm] $16k^4$ [/mm] erweiterst und dann den Grenzwert bestimmst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mo 14.09.2009 | | Autor: | hquer |
hi, danke für den tipp,
es reciht ja schon wenn man es so macht wie du's beschrieben hast. für w ungleich -1/a bekommt man dann 0 und für w gleich -1/a also 1. das mit den [mm] 16k^4 [/mm] brauch man also garnicht unbedingt.
also hat man dann am schluss :
[mm] \limes_{k\rightarrow\ 0}\bruch{1}{1+\bruch{w}{k}(wa+1)}
[/mm]
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