grenzwert - l'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Berechnung des Grenzwertes von
[mm] \limes_{x\rightarrow\1 +} [/mm] Arcsin(x-1)cot(x-1)
gegen 1^+. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier wende ich de l'Hospital an. Komme dann auf
[mm] \bruch {\bruch{cos(x-1)} {\wurzel1-x^{2}} + {Arcsin(x-1)(-sin(x-1))}} [/mm] {cos (x-1)}
Sorry, das (cos (x-1)) gehört in den Nenner, bekomme die Darstellung grade nicht hin....
Wie komme ich nun auf das Ergebnis? Besonders das [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] kann ich nicht lösen.
Was bedeutet das [mm] 1^{+} [/mm] ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich habe mir zwar jetzt nicht die Mühe gemacht den Grenzwert zu berechnen, aber:
1. Der gesuchte Grenzwert ist 1
und
2. [mm] $1^{+}$ [/mm] bedeute, das du den Grenzwert für x gegen 1 für x>0 betrachten sollst. Das liegt daran, dass die Funktion nur im Intervall $[0,2]$ definiert ist. Lad Dir einfach mal Mathgraph im Internet runter und geb dann mal den Graphen ein.
Probier mal noch ein bisschen rum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Denny22 |
Ich meinte im Übrigen, dass Du den linksseitigen Grenzwert betrachten musst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Tea |
Hi Denny22.
> Hallo,
>
> ich habe mir zwar jetzt nicht die Mühe gemacht den
> Grenzwert zu berechnen, aber:
>
> 1. Der gesuchte Grenzwert ist 1
>
Da stimme ich dir schonmal voll und ganz zu. 
Ich glaub ich stell meine Frage mal etwas um.
Im Prinzip fehlt mir nur eine Erklärung für das [mm] \bruch{cos(x-1)} {\wurzel(1-x^{2})}.
[/mm]
Also für den lim des Nenners [mm] \wurzel(1-x^{2}).
[/mm]
Der läuft gegen "0", oder?
Also läuft der ganze [mm] \bruch{cos(x-1)} {\wurzel(1-x^{2})}.
[/mm]
gegen "1/? ?
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Hi, Tea,
also nochmal von vorne! Du möchtest
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] arcsin(x-1)*cot(x-1)
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{arcsin(x-1)}{tan(x-1)}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{\bruch{1}{\wurzel{1-(x-1)^{2}}}}{\bruch{1}{cos^{2}(x-1)}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{cos^{2}(x-1)}{\wurzel{-x^{2}+2x}} [/mm] = 1
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Tea |
> Hi, Tea,
>
> also nochmal von vorne! Du möchtest
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] arcsin(x-1)*cot(x-1)
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{arcsin(x-1)}{tan(x-1)}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{\bruch{1}{\wurzel{1-(x-1)^{2}}}}{\bruch{1}{cos^{2}(x-1)}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{cos^{2}(x-1)}{\wurzel{-x^{2}+2x}}[/mm]
> = 1
>
> mfG!
> Zwerglein
Hi Zwerglein!
Also ich muss sagen, dass dein Lösungsweg sogar fuer mich  komplett nachvollziehbar ist.
Ergebnis [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}}=1.
[/mm]
Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Tea |
Ist also meine erste Variante falsch?
Habe dann doch das [mm] \wurzel(1-x^{2}), [/mm] das wird zu "0" --> 0 im Nenner
und damit waere das ganze nicht so lösbar ...
?
Wer erzählt mir denn sowas?
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Hi, Tea,
naja, wenn Du für x-1 = z schreibst, erhältst Du natürlich
statt x [mm] \to [/mm] 1
z [mm] \to [/mm] 0
und also:
... [mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{cos^{2}(z)}{\wurzel{1-z^{2}}},
[/mm]
was dem von Dir vorgeschlagenen Weg - bis auf 2 "Kleinigkeiten" - recht nahe kommt.
mfG!
Zwerglein
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