grenzwert reziproker folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie: für reelle folgen [mm] (a_{n}) [/mm] gilt:
Sind alle [mm] (a_{n})>0, [/mm] so gilt: [mm] (a_{n})\to +\infty \gdw (1/(a_{n})) \to [/mm] 0 |
Die Aussage ist mir klar und ist eigentlich doch trivial. Doch ist der Beweis auch so trivial? wie schreib ich das formal hin? kann ja nicht einfach sagen, dass man das so sieht oder? danke
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Hallo sepp-sepp,
> Beweisen Sie: für reelle folgen [mm](a_{n})[/mm] gilt:
> Sind alle [mm](a_{n})>0,[/mm] so gilt: [mm](a_{n})\to +\infty \gdw (1/(a_{n})) \to[/mm]
> 0
> Die Aussage ist mir klar und ist eigentlich doch trivial.
> Doch ist der Beweis auch so trivial? wie schreib ich das
> formal hin? kann ja nicht einfach sagen, dass man das so
> sieht oder? danke
Nun, zeige beide Richtungen und setze mit der Def. des Grenzwertes an:
[mm] $[\Leftarrow]$: [/mm] Sei [mm] $\left(\frac{1}{a_n}\right)$ [/mm] Nullfolge.
Dann ist [mm] $\left|\frac{1}{a_n}-0\right|=\frac{1}{a_n}<\varepsilon [/mm] \ \ \ [mm] \forall\varepsilon>0$ [/mm] für [mm] $n>\text{ein gewisses} [/mm] \ [mm] n_0(\varepsilon)$
[/mm]
Also [mm] $a_n>\frac{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Nun schaue, was für [mm] $\varepsilon$ [/mm] sehr klein, also [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0$ passiert ...
[mm] $[\Rightarrow]$: [/mm] fast analog
[mm] $a_n\rightarrow\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] bedeutet ja, dass für bel. [mm] $M\in\IR^+$ [/mm] gilt, dass [mm] $a_n>M$ [/mm] ab einem [mm] $n_0$
[/mm]
Damit ...
Gruß
schachuzipus
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also gemäß dieses hinweises hab ich folg. gemacht:
$ [mm] [\Leftarrow] [/mm] $: Sei $ [mm] \left(\frac{1}{a_n}\right) [/mm] $ Nullfolge.
Dann ist $ [mm] \left|\frac{1}{a_n}-0\right|=\frac{1}{a_n}<\varepsilon [/mm] \ \ \ [mm] \forall\varepsilon>0 [/mm] $ für $ [mm] n>\text{ein gewisses} [/mm] \ [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $
Also $ [mm] a_n>\frac{1}{\varepsilon} [/mm] $
also für beliebig kleines [mm] \varepsilon [/mm] >0 folgt: [mm] a_{n}\to \infty.
[/mm]
[mm] [\Rightarrow]: \forall [/mm] k [mm] \in \IR>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] a_{n}>k, [/mm] dh. [mm] \bruch{1}{a_{n}}>\bruch{1}{k}
[/mm]
=> für [mm] k\to \infty: \bruch{1}{a_{n}} \to [/mm] 0
kann ich das so stehn lassen oder fehlt was?
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kann sich denn keiner erbarmen, meine antwort schnell durchzuschaun? wäre super
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Di 01.12.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Sepp!
[mm] >[\Rightarrow]: \forall [/mm] k [mm] \in \IR>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] a_{n}>k, [/mm] dh. [mm] \bruch{1}{a_{n}}>\bruch{1}{k} [/mm]
>
So sagt die Kette nichts zur Konvergenz aus - mit Ausnahme das [mm] $\left(\frac{1}{a_n}\right)$ [/mm] nicht gegen Null konvergiert.
Wäre besser, wenn sich das letzte > in ein < verwandelte - Tippfehler??
Ich würde das allerdings noch dichter an die Definition der Konvergenz bauen. In etwa so:
Sei [mm] $\epsilon\in\IR$
[/mm]
*edit* Hier muss es natürlich [mm] $0<\epsilon\in\IR$ [/mm] heißen. Dank an Marcel für den Hinweis
frei gewählt und [mm] $k\in\IR\quad k>\frac{1}{\epsilon}$.
[/mm]
Auf Grund der bestimmten Divergenz gegen [mm] $\infty$ [/mm] von [mm] $(a_n)$ [/mm] gibt es zu $k$ ein [mm] $n_0\in\IN$, [/mm] so dass für [mm] $(n>n_0):a_n>k$ [/mm] ausfällt. Dann ist aber für [mm] $(b_n):=\left(\frac{1}{a_n}\right)$ [/mm] und alle [mm] $n>n_0$:
[/mm]
[mm] $|b_n-0|=|b_n|<\left|\frac{1}{k}\right|<\epsilon$
[/mm]
also [mm] $(b_n)=\left(\frac{1}{a_n}\right)$ [/mm] eine Nullfolge
mFg iks
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:56 Di 01.12.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo Sepp!
>
>
> [mm]>[\Rightarrow]: \forall[/mm] k [mm]\in \IR>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N: [mm]a_{n}>k,[/mm] dh. [mm]\bruch{1}{a_{n}}>\bruch{1}{k}[/mm]
> >
>
> So sagt die Kette nichts zur Konvergenz aus - mit Ausnahme
> das [mm]\left(\frac{1}{a_n}\right)[/mm] nicht gegen Null
> konvergiert.
> Wäre besser, wenn sich das letzte > in ein < verwandelte
> - Tippfehler??
>
> Ich würde das allerdings noch dichter an die Definition
> der Konvergenz bauen. In etwa so:
>
> Sei [mm]\red{\epsilon\in\IR}[/mm]
Hier sollte [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ stehen! (Bzw. [mm] $\epsilon \in \IR_{>0}:=(0,\infty):=\{r \in \IR: r > 0\}\,.$)
[/mm]
> frei gewählt und [mm]k\in\IR\quad k>\frac{1}{\epsilon}[/mm].
>
> Auf Grund der bestimmten Divergenz gegen [mm]\infty[/mm] von [mm](a_n)[/mm]
> gibt es zu [mm]k[/mm] ein [mm]n_0\in\IN[/mm], so dass für [mm](n>n_0):a_n>k[/mm]
> ausfällt. Dann ist aber für
> [mm](b_n):=\left(\frac{1}{a_n}\right)[/mm] und alle [mm]n>n_0[/mm]:
>
> [mm]|b_n-0|=|b_n|<\left|\frac{1}{k}\right|<\epsilon[/mm]
[mm] $|b_n|\,$ [/mm] könnte auch niemals $< 0$ sein 
> also [mm](b_n)=\left(\frac{1}{a_n}\right)[/mm] eine Nullfolge
>
>
> mFg iks
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 01.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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