grenzwert stetiger funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die folgenden Funktionen: [mm] f_{n}: [0,1]\to \IR, f_{n}(x)=x^n
[/mm]
Ich soll nun zeigen, dass die Folge [mm] (f_{n}(a))_{n\in\IN} [/mm] gegen einen Grenzwert [mm] l_{a} [/mm] konvergiert, für jedes a [mm] \in [/mm] [0,1] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
kann mir jemand einen Tipp geben, womit ich anfangen muss.
Bin von der Aufgabenstellung etwas verwirrt.
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Hallo!
Mir würde hier spontan "Potenzreihe" einfallen!
Eine durch eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $r>0$ dargestellte Funktion
[mm] \begin{displaymath}f(x) = \sum^\infty_{n=0} a_n x^n \end{displaymath}
[/mm]
ist für [mm] $\vert x\vert [/mm] < r$ stetig; insbesondere ist [mm] $\lim\limits_{x \to 0} [/mm] f(x) = f(0) = [mm] a_0$. [/mm]
Vielleicht hilft dir das weiter!
MFG pippi
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hallo pippilangstrumpf,
leider haben wir noch keine potenzreihen behandelt.
könnte es viel. mit konvergenzkrit. (majorante, wurzel, usw.)
funktionieren?
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Hallo Richard,
gehört die 1 wirklich noch zur Definitionsmenge? Die beschriebene Folge geht für a=1 nicht gegen Null, für alle anderen Werte schon.
Und geht es überhaupt um die Folge? Oder soll hier eine Reihe definiert werden? Dann wäre die Reihe für a=1 divergent, für alle anderen [mm] a\in[0;1) [/mm] wäre der Grenzwert ja [mm] \bruch{1}{1-a} [/mm]
lg
reverend
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hallo reverend,
ja, die 1 ist mit im def.bereich.
naja, ich habe auch nur die aufgabenstellung wie ich sie hier gepostet habe. mehr habe ich leider nicht. also vermutlich wird es um die folge gehen.
hast du denn dazu eine idee? ich leider noch keine.
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Hallo nochmal,
aber die Folgenglieder sind doch einfach [mm] a^1, a^2, a^3, a^4, [/mm] ..., [mm] a^k, [/mm] ... etc.
Für [mm] k\to\infty [/mm] geht die Folge doch gegen Null - außer für a=1, da bleibt sie bei dem Wert 1.
lg
rev
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mmh...irgendwie verstehe ich den witz der aufgabe nicht.
ich denke, dass an der aufgabe irgendwo ein haken sein muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das " ich soll nun zeigen" sagt irgendwie, dass du nicht den wahren Aufgabentext hier reingeschrieben hast.
Warum z. Bsp hast du sie unter Stetigkeit geschrieben? gibts da nicht so ne Frage ob die Grenzfunktion stetig ist?
Gruss leduart
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hallo leduart,
nein, ich habe nichts unterschlagen. und stetigkeit habe ich deswegen erwähnt, weil ich vermute, dass es damit etwas zu tun haben könnte.
aber die aufgabe, so wie ich sie hier gestellt habe, ist korrekt.
gruß
richard
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> hallo leduart,
>
> nein, ich habe nichts unterschlagen. und stetigkeit habe
> ich deswegen erwähnt, weil ich vermute, dass es damit
> etwas zu tun haben könnte.
> aber die aufgabe, so wie ich sie hier gestellt habe, ist
> korrekt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
aber sie ist nicht im Originalwortlaut, sondern nacherzählt.
Ich nehme mal an, daß sich noch 2 Teilaufgaben anschließen.
Öm - was ist jetzt eigentlich die Frage? Diese Teilaufgabe ist doch nun gelöst, oder?
Es ist
[mm] lim_{n\to \infty}f_n(a)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } a\in [0,1] \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } a=1 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Irgendwo fragst Du nach dem Witz der Aufgabe. Antworte ich also darauf: bisher ist sie wirklich nicht besonders lustig.
Wenn mein Blick in die Kristallkugel nicht trügt, dann kommt die Pointe noch in den nachfolgenden Teilaufgaben, wenn Du nämlich gefragt wirst, ob die Grenzfunktion stetig ist, und danach sagen sollst, ob die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden Funktionen: [mm] f_{n}: [0,1]\to \IR, f_{n}(x)=x^n [/mm]
Teil a)
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (f_{n}(a))_{n\in\IN} [/mm] gegen einen Grenzwert [mm] l_{a} [/mm] konvergiert, für jedes a [mm] \in [/mm] [0,1]
Teil b)
Wir definieren nun eine Funktion f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] durch [mm] f(x)=l_x. [/mm] Ist f wieder stetig? |
hallo angela,
hier die aufgabe in original wortlaut und originallänge
kannst du damit mehr anfanen?
vg
richard
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> Betrachten Sie die folgenden Funktionen: [mm]f_{n}: [0,1]\to \IR, f_{n}(x)=x^n[/mm]
>
> Teil a)
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](f_{n}(a))_{n\in\IN}[/mm] gegen
> einen Grenzwert [mm]l_{a}[/mm] konvergiert, für jedes a [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> Teil b)
> Wir definieren nun eine Funktion f: [0,1] [mm]\to \IR[/mm] durch
> [mm]f(x)=l_x.[/mm] Ist f wieder stetig?
> hallo angela,
>
> hier die aufgabe in original wortlaut und originallänge
>
> kannst du damit mehr anfanen?
Hallo,
ich hatte eigentlich nie ein Problem mit der Aufgabe...
Die Fortsetzung ist jedenfalls genauso, wie ich es hellgesehen hatte, und die Frage wäre eher: ist Dein Problem beseitigt?
Teil a) haben wir abgehakt,
und nun sollt Du sagen, ob die Grenzfunktion [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
stetig ist.
Und?
Gruß v. Angela
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hallo angela,
ich bewundere deine hellseherischen fähigkeiten
ok, was den Teil b) der Aufgabe betrifft:
kann ich mit delta-epsilon-kriterium oder folgenkriterium was anrichten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo angela,
>
> ich bewundere deine hellseherischen fähigkeiten
>
> ok, was den Teil b) der Aufgabe betrifft:
>
> kann ich mit delta-epsilon-kriterium oder folgenkriterium
> was anrichten?
Mit dem Folgenkriterium hast Du es hier einfacher !
FRED
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hallo fred,
könntest du mir kurz schemtatisch den ansatz mit folgenkriterium sktizzieren?
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Es dürfte klar sein, dass f nur in [mm] x_0 [/mm] = 1 nicht stetig ist.
Setze [mm] $x_n [/mm] = 1-1/n$. Dann konvergiert [mm] (x_n) [/mm] gegen 1
Was macht [mm] (f(x_n)) [/mm] ?
FRED
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hallo fred,
mir sind zwei dinge unklar:
1.
ich verstehe nicht,warum f nur in [mm] x_0=1 [/mm] nicht stetig ist.
2.
ich soll [mm] x_n=1-\frac{1}{n} [/mm] in [mm] (f(x_n)) [/mm] einsetzen.
Warum ich das tun soll, ist mir schon klarer.
Aber was ist denn überhaupt mein (f(x))?
dieses hier?
[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
oder dieses?
[mm] f_{n}(x)=x^n
[/mm]
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
deein f von dem du die Stetigkeit ansehen sollst ist die Grenzfunktion der [mm] f_n.
[/mm]
und da die grenzfkt bei x=1 1 ist und sonst überall 0. ist sie sicher für x<1 stetig, da konstant .
also musst du nur die Stetigkeit bei 1 ansehen, und die andere erwähnen.
Gruss leduart
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hallo leduart,
um es nocheinmal zusammenzufassen:
die funktion [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases} [/mm]
überprüfe ich mit dem folgenkrit. auf stetigkeit. der interessante punkt ist
die stelle x=1
ich suche mir nun eine folge, die gegen 1 konvertiert, z.b [mm] x_n [/mm] = 1-1/n
durch einsetzen in (f(x)) erfahre ich : [mm] (f(x_n))=1
[/mm]
aber das müsste doch bedeuten, dass die funktion f(x) an der stelle x stetig ist
gruß
richard
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> hallo leduart,
>
> um es nocheinmal zusammenzufassen:
>
> die funktion [mm]f:[0,1]\to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> überprüfe ich mit dem folgenkrit. auf stetigkeit. der
> interessante punkt ist
> die stelle x=1
>
>
>
> ich suche mir nun eine folge, die gegen 1 konvertiert, z.b
> [mm]x_n[/mm] = 1-1/n
>
> durch einsetzen in (f(x)) erfahre ich : [mm](f(x_n))=1[/mm]
Hallo,
ist [mm] x_n [/mm] kleiner als 1 oder =1 oder größer als 1?
Was ist also mit dem Funktionswert?
Gruß v. Angela
>
> aber das müsste doch bedeuten, dass die funktion f(x) an
> der stelle x stetig ist
>
>
> gruß
> richard
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hallo angela,
[mm] x_n=1 [/mm] und der funktionswert laut def. muss für x=1 f(x)=1 sein, oder nicht?
gruß
richard
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> [mm]x_n=1[/mm]
Hallo,
das ist doch Quatsch mit Soße.
Rufen wir uns ins Gedächtnis zurück, wie weit unser Dialog gediehen war:
r.:
> > > ich suche mir nun eine folge, die gegen 1 konvertiert, z.b
> > > $ [mm] x_n [/mm] $ = 1-1/n
a.:
> > ist $ [mm] x_n [/mm] $ kleiner als 1 oder =1 oder größer als 1?
Aufmerke: ich rede hier von [mm] x_n, [/mm] nicht von [mm] \lim_{n\to \infty}x_n.
[/mm]
> > Was ist also mit dem Funktionswert?
Was also?
> und der funktionswert laut def. muss für x=1 f(x)=1
Klar, für x=1 ist f(x)=1.
Wir interessieren uns aber für [mm] f(x_n), [/mm] und dann - aber erst später! - für [mm] \lim_{n\to \infty}f(x_n).
[/mm]
Gruß v. Angela
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hallo angela,
du hast es wirklich nicht leicht mit mir...:-(
ok, mein [mm] x_n=1-1/n [/mm] ist <1, woraus folgt, dass [mm] f(x_n)=0, [/mm] denn wir haben f(x) folgendermaßen definiert:
[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo angela,
>
> du hast es wirklich nicht leicht mit mir...:-(
>
> ok, mein [mm]x_n=1-1/n[/mm] ist <1, woraus folgt, dass [mm]f(x_n)=0,[/mm]
Was ist dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] ?
Gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= [/mm] f(1) ?
FRED
> denn wir haben f(x) folgendermaßen definiert:
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
> gruß
> richard
>
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hallo fred,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=0
[/mm]
also nein, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\not= [/mm] f(1)=1
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo fred,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=0[/mm]
>
> also nein, [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\not=[/mm] f(1)=1
Und was heißt das im Hinblick auf die Stetigkeit oder Unstetigkeit im Punkt x = 1 ?
FRED
>
> gruß
> richard
>
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hallo fred,
zum einen:
das bedeutet, dass die funktion an der stelle x=1 unstetig ist
und muss ich meine Grenzwertfunktion noch mit der folge [mm] x_n=1+1/n [/mm] auf stetigkeit testen?
und zum anderen:
eine sache ist noch unklar:
ich vestehe nicht ganz, warum dieser ausdruck gleich Null wird
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] =0
dabei geht mir follgendes durch den kopf:
meine folge [mm] x_n=1-1/n [/mm] konvertiert gegen 1, also könnte ich doch
in den ausdruck
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm]
[mm] x_n=1 [/mm] (denn wir bilden ja den limes) einsetzen
und hätte dann einfach f(1)=1
aber offensichtlich verstehe ich den audruck
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] nicht vollständig, sonst käme ich nicht auf solche ideen
gruß
richard
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> hallo fred,
>
> zum einen:
> das bedeutet, dass die funktion an der stelle x=1 unstetig
> ist
>
> und muss ich meine Grenzwertfunktion noch mit der folge
> [mm]x_n=1+1/n[/mm] auf stetigkeit testen?
Hallo,
nein.
Die Funktion ist rechts von 1 doch gar nicht definiert.
>
> und zum anderen:
> eine sache ist noch unklar:
> ich vestehe nicht ganz, warum dieser ausdruck gleich Null
> wird
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] =0
>
> dabei geht mir follgendes durch den kopf:
> meine folge [mm]x_n=1-1/n[/mm] konvertiert gegen 1, also könnte
> ich doch
> in den ausdruck
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm]
>
> [mm]x_n=1[/mm] (denn wir bilden ja den limes) einsetzen
>
> und hätte dann einfach f(1)=1
>
> aber offensichtlich verstehe ich den audruck
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] nicht vollständig,
> sonst käme ich nicht auf solche ideen
Du verwechseltst die Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] und [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n).
[/mm]
Gruß v. Angela
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hallo angela,
kannst du mir bitte zum schluss erklären, was mit dem ausdruck [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] gmeint ist, bzw. wie ich sehen kann, dass er Null wird
gruß
richard
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> hallo angela,
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> kannst du mir bitte zum schluss erklären, was mit dem
> ausdruck [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] gmeint ist, bzw.
> wie ich sehen kann, dass er Null wird
>
Hallo,
Du hattest doch selbst festgestellt, daß [mm] x_n=1-\bruch{1}{n}<1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Nach Definition von f ist demnach [mm] f(x_n)=0.
[/mm]
Und wenn wir den Grenzwert der konstanten Folge 0 angucken, ist der =0: [mm] \lim_{n\to \infty}f(x)=\lim_{n\to \infty}0=0.
[/mm]
Du hattest zuvor etwas anderes berechnet:
[mm] x_n=1-\bruch{1}{n},
[/mm]
[mm] \lim_{x\to \infty}x_n=\lim_{x\to \infty}(1-\bruch{1}{n})= [/mm] 1,
folglich ist [mm] f(\lim_{x\to \infty}x_n)=f(1)=1. [/mm] Aber das interessiert uns nicht.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
ok, dann ist sozusagen mit [mm] f(x_n) [/mm] eine folge gemeint.
kurze anmerkung zum letzten artikel:
in deinem letzten post stand: [mm] x_n=1-\bruch{1}{n}<0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm]
aber vermutlich meintest du: [mm] x_n=1-\bruch{1}{n}<1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm]
gruß
richard
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> hallo angela,
>
> ok, dann ist sozusagen mit [mm]f(x_n)[/mm] eine folge gemeint.
Hallo,
ja.
>
> kurze anmerkung zum letzten artikel:
> in deinem letzten post stand: [mm]x_n=1-\bruch{1}{n}<0[/mm] für
> alle [mm]n\in \IN.[/mm]
> aber vermutlich meintest du: [mm]x_n=1-\bruch{1}{n}<1[/mm] für alle
> [mm]n\in \IN.[/mm]
Haargenau.
Gruß v. Angela
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