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Forum "Folgen und Reihen" - grenzwert von bruch gesucht
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grenzwert von bruch gesucht: mit variablen zur potenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Mi 03.01.2007
Autor: jazzman88

Aufgabe
Für [mm] n, m \in \IN [/mm] untersuche man, ob [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1,x \not=1} \bruch{x^n - 1}{x^m - 1} [/mm] existiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Mir fehlt bei diese Aufg. eine erste Idee, wie man sie anfassen Könnte. Hängt der Grenzwert davon ab, ob m<n oder nicht?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
grenzwert von bruch gesucht: Lösungs-Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mi 03.01.2007
Autor: Denny22

Hallo und herzlich Willkommen im Mathe-Raum

Gegen was soll x gehen? Du hast dort nichts geschrieben. Falls dort nichts vorgegeben wurde, muss dort vermutlich [mm] $\infty$ [/mm] stehen. Da für einen festen Wert der Limes stets existiert (d.h. für alle n,m)

Also ich nehme mal an du meinst [mm] $x\longrightarrow\infty$. [/mm]

Dann musst Du in der Tat eine Fallunterscheidung für n und m machen, d.h.
1. Fall m>n, 2. Fall m<n, 3. Fall m=n

Versuch das mal. Wenn Du noch Fragen hast, stell sie einfach.

Gruß Denny

Bezug
                
Bezug
grenzwert von bruch gesucht: nachfrage 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Mi 03.01.2007
Autor: jazzman88

ja das hab ich wohl verschlampt. x läuft gegen 1.
ausserdem wollt ich die diskussion eigentlich bei hochschule reinstellen. kann ich die noch irgendwie verschieben?


Bezug
                        
Bezug
grenzwert von bruch gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mi 03.01.2007
Autor: Denny22

Hallo, ob Du die Kategorie noch ändern kannst weiß ich nicht.

Ich habe überings mal gerade mit Maple von deiner Aufgabe den Grenzwert berechnen lassen. Da kommt

[mm] $\frac{n}{m}$ [/mm]

raus. Vielleicht muss man doch keine Fallunterscheidung machen. Der Grenzwert ist jedefalls [mm] $\frac{n}{m}$. [/mm]

Ciao

Bezug
                                
Bezug
grenzwert von bruch gesucht: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:14 Do 04.01.2007
Autor: jazzman88

danke dann hab ich wenigstens schon mal ne richtung vorgegeben!



Bezug
                                        
Bezug
grenzwert von bruch gesucht: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 Do 04.01.2007
Autor: Denny22

Hi

nochmal kurz:

Mein Lösungshinweis war nicht ganz korrekt. Wenn Du die Grenzwerte im Nenner und im Zähler seperat
betrachtest, gehen beide gegen 0. Dann darfst du nach "De L'Hospital" Zähler und Nennner ableiten, (d.h.
du hast dann im Zähler

[mm] $nx^{n-1}$ [/mm]

und im Nenner

[mm] $mx^{m-1}$) [/mm]

und anschließend dessen Grenzwert betrachten. Dieser ist für x gegen 1 gleich

[mm] $\frac{n}{m}$ [/mm]

Also musst du keine Fallunterscheidung machen.

ciao Denny

Bezug
        
Bezug
grenzwert von bruch gesucht: endliche geometrische Reihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Do 04.01.2007
Autor: Marc

Hallo jazzman88,

[willkommenmr]

> Für [mm]n, m \in \IN[/mm] untersuche man, ob [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1,x \not=1} \bruch{x^n - 1}{x^m - 1}[/mm]
> existiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
>  Mir fehlt bei diese Aufg. eine erste Idee, wie man sie
> anfassen Könnte.

Eine Möglichkeit ist, den Bruch mit x-1 zu erweitern und dann zu entdecken, dass im Zähler und Nenner die explizite Formel für die endliche geometrische Reihe steht, also z.B.
[mm] $\summe_{k=0}^{m-1} x^k [/mm] = [mm] \bruch{x^m-1}{x-1}$ [/mm]

Die Grenzwerte von Zähler und Nenner sind dann schnell ablesbar. Wenn Du es detailierter wissen willst, frag' einfach nach :-)

> Hängt der Grenzwert davon ab, ob m<n oder
> nicht?

Nein (bzw. doch ja: Falls m<n, dann ist der Grenzwert > 1, andernfalls nicht ;-))

Viele Grüße,
Marc


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