grenzwert von funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 11.01.2005 | | Autor: | netti |
hallo ihr!
ich brauche eure hilfe!!!
wie kann ich beweisen, dass für alle a [mm] \in [/mm] [0,1) f(a+):= lim x [mm] \to [/mm] a+ f(x) existiert?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Di 11.01.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
Ich weiß nicht, ob ich so richtig verstanden hab, was du meinst, aber wenns das ist, was ich mein, sollst du wohl zeigen, dass jeder Punkt in dem Intervall von oben angenähert werden kann, also, dass es zu jedem [mm]a \in [0,1)[/mm] eine Folge [mm] a_n [/mm] gibt mit [mm]a_n > a[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a[/mm].
Hierfür könnte man zum Beispiel [mm]a_n=a+c*\bruch{1}{n}[/mm]nehmen, wobei du dein c in Abhängigkeit von a so klein wählen musst, dass das größte Folgenglied nicht [mm] \ge [/mm] 1 wird, damit die Folge Teilmenge deines Intervalls bleibt.
Hoffe ich konnte dir helfen, bzw. ich habe die Frage richtig verstanden.
Gruß Biggi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Netti,
> hallo ihr!
> ich brauche eure hilfe!!!
> wie kann ich beweisen, dass für alle a [mm]\in[/mm] [0,1) f(a+):=
> lim x [mm]\to[/mm] a+ f(x) existiert?
Zunächst eine Bitte:
Benutze bitte den Formeleditor, allein schon, damit deine Frage leserlicher ist!
Nun zu deiner Frage:
Du behauptest also:
[m]\forall a \in [0,1)[/m] existiert stets [m]f(a^+)=\lim_{x \to a^+}f(x)[/m] für eine Funktion $f$?
Dann würde ich sagen, du hast vergessen, Informationen über $f$ mitzuliefern. Denn so, wie das da steht, kannst du das nicht beweisen, weil es so falsch ist.
Z.B. ist $f:[0,1) [mm] \to \{0,1\}$ [/mm] definiert durch
[m]f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 1, & \mbox{falls } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}[/m]
eine (z.B. weder stetige noch monotone) Funktion, für die z.B.
[mm]f\left(\frac{1}{2}^+\right)=\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}f(x)[/mm]
nicht existiert (es gibt eine Folge [m](a_n)_{n \in \IN}[/m] in [m]\IQ_{>\frac{1}{2}}\cap [0,1)[/m], die gegen [m]\frac{1}{2}[/m] konvergiert und es gibt eine Folge [m](b_n)_{n \in \IN}[/m] in [m](\IR\setminus\IQ)_{>\frac{1}{2}}\cap [0,1)[/m], die gegen [m]\frac{1}{2}[/m] konvergiert, aber es gilt:
[m]\lim_{n \to \infty}f(a_n)=\lim_{n \to \infty}0=0\not=1=\lim_{n \to \infty}1=\lim_{n \to \infty}f(b_n)[/m], d.h. [m]f\left(\frac{1}{2}^+\right)[/m] existiert nicht!).
Viele Grüße,
Marcel
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