größte Steigung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Fr 28.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Hallo gegeben ist die Funktion
f(x)=1/3-1/3*e^(-1/20*t)-1/600*t,
die Ableitungen lauten
f´(x)1/60*e^(-1/20*t)-1/600
f´´(x)=-1/1200*e^(-1/20*t)
Ich soll nun die Stelle im Intervall (0;140) bestimmen, wo die größte Steigung vorliegt. Normalerweise könnte ich die Aufgabe lösen, indem ich den Wendepunkt berechne, jedoch liegt hier kein Wendepunkt vor.
Wie kann ich nun die Frage beantworten?
Gruß
Benno
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Hallo bennoman,
ein wenig Verwendung des Editors wäre doch angebracht, damit die Sache ein wenig lesbarer daher kommt, zumal deine Schreibweise alles andere als eindeutig ist.
> Hallo gegeben ist die Funktion
> f(x)=1/3-1/3*e^(-1/20*t)-1/600*t,
Ich vermute mal, das sollte folgendes werden:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3}*e^{-\bruch{1}{20}*t}-\bruch{1}{600}*t$
[/mm]
> die Ableitungen lauten
> f´(x)1/60*e^(-1/20*t)-1/600
Nein, die Ableitung wäre $f'(x) = 0$, wo wir wieder beim sauberen Aufschreiben wären....
Aber auch ohne sauberes Aufschreiben, wollen wir dir einen Tipp nicht vorenthalten:
> Ich soll nun die Stelle im Intervall (0;140) bestimmen, wo die größte Steigung vorliegt. Normalerweise könnte ich die Aufgabe lösen, indem ich den Wendepunkt berechne, jedoch liegt hier kein Wendepunkt vor.
Korrekt. Oder anders formuliert: Die erste Ableitung von f' hat keine Nullstelle und damit liegt kein lokales Extremum vor. Aber trotzdem gibt es in dem Intervall globale Extrema. Wo liegen diese, wenn es keine lokalen gibt?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 28.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Hallo Gono,
es geht aber bei der Aufgabe nicht um Extremstellen, sondern um die größte Steigung und dann muss ich doch die zweite Ableitung f´´ gleich 0 setzen und das klappt eben nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Fr 28.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Gono,
> es geht aber bei der Aufgabe nicht um Extremstellen,
> sondern um die größte Steigung und dann muss ich doch die
> zweite Ableitung f´´ gleich 0 setzen und das klappt eben
> nicht.
Auf die Gefahr hin, die Worte meines Vorredners zu wiederholen:
Es ist nicht nach den lokal stärksten Anstiegen gefragt.
Wo hat die erste Ableitung (oder noch weiter gefasst: wo hat der Betrag der ersten Ableitung) GLOBAL den höchsten Wert im betrachteten Intervall?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Fr 28.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Richtig,
aber ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Stelle bestimmen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Fr 28.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Richtig,
> aber ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Stelle
> bestimmen soll.
Hallo,
dann müssen wir der Sache auf den Grund gehen:
Welche Möglichkeiten gibt es für die Stelle, an der eine Funktion f(x) in einem Intervall [a;b] ihr GLOBALES Maximum hat?
Solltest du diese Frage nicht beantworten können, dann sicher folgende:
An welcher Stelle im Intervall [-4 ; 5] hat die Funktion [mm]f(x)=x^3-3x[/mm] ihren größten Funktionswert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 28.02.2014 | | Autor: | bennoman |
der größte Funktionswert der Funktion f liegt bei x=1 vor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Fr 28.02.2014 | | Autor: | abakus |
> der größte Funktionswert der Funktion f liegt bei x=1 vor
Das habe ich mir schon gedacht  und in der Zwischenzeit eine Wertetabelle für die ganzen Zahlen dieses Intervalls angefertigt:
x [mm] x^3-3x
[/mm]
-4 -52
-3 -18
-2 -2
-1 2
0 0
1 -2
2 2
3 18
4 52
5 110
Zunächst einmal: Die erste Ableitung hat ZWEI Nullstellen (1 und -1), und bei 1 ist kein Maximum, sondern ein lokales Minimum.
Das lokale Maximum liegt bei x=-1 und hat den Wert y=+2. Trotzdem liegt der größte Funktionswert des Intervalls NICHT dort vor, sondern bei x=5 (denn da ist der Funktionswert 110).
Das globale Maximum muss also nicht unbedingt mit einen lokalen Maximum übereinstimmen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Fr 28.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Das ist richtig, aber was sagt mir das jetzt bzgl. meiner ursprünglichen Aufgabe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Fr 28.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Das ist richtig, aber was sagt mir das jetzt bzgl. meiner
> ursprünglichen Aufgabe
Du suchst nach einer steilsten Stelle in einem Intervall. Dort ist also die erste Ableitung besonders stark positiv (oder besonders stark negativ, wenn es steil fällt).
Damit suchst du das Maximum und das Minimuzm der ersten Ableitung.
Das kann dort sein, wo die Ableitungsfunktion der ersten Ableitung (also die zweite Ableitung) Null ist ODER auch an einem der beiden Intervallränder!!!
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 28.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Wie kommst du denn darauf, dass die erste Ableitung besonders an den Intervallgrenzen einen großen Wert aufweist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Fr 28.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Wie kommst du denn darauf, dass die erste Ableitung
> besonders an den Intervallgrenzen einen großen Wert
> aufweist?
Offensichtlich hast du sämtliche Hinweise zur Notwendigkeit der Ermittlung des GLOBALEN Maximums der Ableitung ignoriert.
Es wäre jetzt an der Zeit, entsprechende Unkenntnis zum globalen Maximum einer Funktion durch das Studium deiner Unterlagen auszuräumen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 28.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Kannst du mir das nicht bitte kurz erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Fr 28.02.2014 | | Autor: | chrisno |
Rechne ein paar Werte aus und schau Dir die an, poste sie hier und kommentiere sie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:19 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Kannst du mir das nicht bitte kurz erklären?
ich mach' Dir mal ein anderes Beispiel:
Wir betrachten
$f(x)=x^4-4x^3+3x^2$
für $x \in [0,4]\,.$
Dann ist
$f'(x)=4x^3-12x^2+6x\,,$
und
$f''(x)=12x^2-24x+6\,.$
Nun haben wir für $x \in (0,4)$ dann
$f''(x)=0$
genau dann, wenn $(x-1)^2=1/2\,,$ also
$x=x_{1,2}=1\pm\sqrt{1/2}\,.$
Überzeuge Dich, dass für $x=x_1=1-\sqrt{1/2}$ ein lokales Maximum vorliegt.
(An $x=x_2=1+sqrt{1/2}$ liegt ein lokales Minimum vor!)
Dann vergleiche
$f'(x_1)$
mit $f'(0)$ und $f'(4)\,,$ um das globale Maximum (von $f\,'$(!)) herauszufinden.
Ich mache das jetzt mal ein wenig anders:
Die Funktion
$f_{1}(x):=x^4-4x^3+3x^2$ ($x \in \IR$)
ist stetig diff'bar, und wir haben
$g(x):={f_1}'(x)=4x^3-12x^2+6x$ ($x \in \IR$).
Mit
$g'(x)=12x^2-24x+6$
hat $g\,$ also an
$x_1=1-\sqrt{1/2}$ ein lokales Maximum
und an der Stelle
$x_2=1+\sqrt{1/2}$ ein lokales Minimum
vorliegen. (Man könnte nun auch mit der Ableitung von $g\,$ argumentieren,
um sich das folgende Monotonieverhalten klarzumachen.)
Links von $x_1$ muss also $g\,$ monoton wachsend sein (warum?), zwischen
$x_1$ und $x_2$ muss $g\,$ monoton fallend sein, und rechts von $x_2$ muss
$g\,$ wieder wachsen. Damit ist klar, dass
$g(4)=f'(4)=4*64-12*16+6*4$
der Wert der maximalen Steigung von $\left.f\right|_{[0,4]}$ ist.
(Damit das wirklich klar ist, sollte man natürlich $g(x_1)$ mit $g(4)\,$ vergleichen!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:53 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Wie kommst du denn darauf, dass die erste Ableitung
> besonders an den Intervallgrenzen einen großen Wert
> aufweist?
wenn Du eine Funktion
$g \colon [a,b] \to \IR$
hast, die differenzierbar auf $(a,b) \subseteq [a,b]$ ist, so findest Du erstmal
potentielle(!) lokale Extremstellen von der eingeschränkten Funktion $\left.g\right|_{|(a,b)}\,,$
indem Du diejenigen $x \in (a,b)\,$ selektierst, die $g'(x)=0\,$ erfüllen. Das ist ja
bekanntlich eine notwendige Bedingung unter diesen Voraussetzungen.
Und wie gesagt: Das sind ja erstmal potentielle Extremstellen, mit anderen
Worten: "Nur" Kandidaten für Extremstellen. Ob das wirklich welche sind,
dafür gibt's ja weitere Kriterien...
Jetzt hast Du aber nur $g\,$ auf $(a,b)\,$ untersucht - und alleine deshalb ist
doch klar, dass Du gucken musst, was an den Rändern, also der Stelle $x=a\,$
bzw. $x=b\,$ passiert - denn es gilt doch
$[a,b] \setminus (a,b)=\{a,\,b\}\,.$
Und bei Deiner Aufgabe war jetzt die Frage, wo die erste Ableitung ihr
globales(!) Maximum annimmt.
Deine Ursprungsfunktion hieß $f\,,$ und Du hast $f\,'$ ausgerechnet. Mit $g:=f\,'$
bist Du dann genau in obiger Beschreibung mit den passenden Rollen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:43 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das globale Maximum muss also nicht unbedingt mit einen
> lokalen Maximum übereinstimmen.
ich sag's mal so: Hier wird was anderes gesagt, als das, was wirklich
gemeint ist. Natürlich ist jedes globale Maximum insbesondere auch ein
lokales:
![[]](/images/popup.gif) http://books.google.de/books?id=PaJRyUq79kcC&pg=PA244&lpg=PA244&dq=jede+globale+maximalstelle+ist+auch+lokale+extremstellen&source=bl&ots=EIb0RxjJGs&sig=hE5O-lZB2uzxsy8WkVQ-P1ZFOZ0&hl=de&sa=X&ei=QTgRU9C7CqKlyAPOjYHABQ&ved=0CDIQ6AEwAQ#v=onepage&q=jede%20globale%20maximalstelle%20ist%20auch%20lokale%20extremstellen&f=false
Zitat von dort:
"Jede globale Extremstelle ist auch eine lokale Extremstelle."
Der Punkt hier ist eher der, dass man "mit Ableitung = 0 setzen" i.a. nicht
alle(!) lokalen Extremstellen finden muss.
Bsp.:
Man betrachte [mm] $f(x)=x^3\,,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $[-1,2]\,.$ [/mm] Das Ding ist bekanntlich
streng monoton wachsend, also ist die globale Maximalstelle [mm] $x=2\,.$
[/mm]
Und natürlich ist das auch eine lokale, denn sogar auf jeder
[mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x=2\,$ [/mm] sind von [mm] $f\,$ [/mm] nur Funktionswerte, die echt kleiner
als $f(2)=8$ sind, vorhanden.
Allerdings ist [mm] $f'(x)=3x^2$ [/mm] und damit $f'(2)=12 [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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