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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Do 21.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien [mm] p_{1}=X^{3}+X^{2}+X+1, p_{2}=X^{4}-2X^{3}-3X-6 \in [/mm] Q[X].Man bestimme den normierten größten gemeinsamen Teiler q von [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2}.Man [/mm] bestimme [mm] r_{1},r_{2} \in [/mm] Q[X] derart,dass [mm] r_{1}*p_{1}+r_{2}*p_{2}=q. [/mm] |
Hallo^^
Ich hab schon eine Idee ,wie ich die Aufgabe lösen kann,nur habe ich eine Verständnisfrage.Ist der Ansatz
[mm] 1.p_{1}=r*p_{2}+p_{3} [/mm] richtig oder
[mm] 2.p_{2}=r*p_{1}+p_{3}.
[/mm]
Ich denke es ist der zweite, denn der Grad von [mm] p_{2} [/mm] ist höher als der von [mm] p_{1}. [/mm] Im Skript steht es wie bei 1., aber hier macht 2. mehr Sinn. Kann ich das wie bei 2. machen?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
geht das nicht einfach per euklidischem Algorithmus? Der liefert doch ein eindeutiges Ergebnis.
Ansonsten hast Du Recht, Dein 2. Ansatz sieht besser aus als der erste.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Do 21.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
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> geht das nicht einfach per euklidischem Algorithmus? Der
> liefert doch ein eindeutiges Ergebnis.
Ja genau. Dasmit wollte ich das auch machen,aber nach dem euklidischen Algorithmus müsste ich den ersten Ansatz nehmen, aber der zweite ist besser.
Kann ich das so machen, dass ich den 2.Ansatz nehme und trotzdem den euklidischen Algorithmus anwende?
>
> Ansonsten hast Du Recht, Dein 2. Ansatz sieht besser aus
> als der erste.
Vielen Dank
lg
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Hallo nochmal,
> Ja genau. Dasmit wollte ich das auch machen,aber nach dem
> euklidischen Algorithmus müsste ich den ersten Ansatz
> nehmen, aber der zweite ist besser.
> Kann ich das so machen, dass ich den 2.Ansatz nehme und
> trotzdem den euklidischen Algorithmus anwende?
Warum nicht? Die Polynome sind doch prinzipiell austauschbar. Sogar der Ablauf des Algorithmus ist gleich, nur hat man im einen Fall eine Zeile mehr vorweg, ab da entspricht die Rechnung genau dem andern Fall.
Am Zahlenbeispiel (also ohne Polynom):
9:15=0 R 9
15:9=1 R 6
9:6=1 R 3
6:3=2 R 0
ggT ist also 3. Wenn Du mit 15:9 anfängst, sparst Du Dir die erste Zeile, die ja nur die beiden Ausgangszahlen für die weitere Rechnung vertauscht.
Du machst Dir also zuviele Gedanken. Rechne mal los.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 21.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo reverend,
>
> Du machst Dir also zuviele Gedanken. Rechne mal los.
Ok,ich habe losgerechnet und habe als größten gmeinsamen Teiler 48 raus, was ich aber bezweifle, dass es stimmt, ich denke da müsste ein Polynom rauskommen. Ich poste mal meine Schritte, vielleicht findet jemand den Fehler:
Sei [mm] p_{1}=X^{4}-2X^{3}-3X-6 [/mm] und [mm] p_{2}(x)=X^{3}+X^{2}+X+1. [/mm] Jetzt wende ich den euklidischen Algorithmus an, um den ggT von den beiden Polynomen zu finden.
[mm] p_{1}=r_{3}*p_{2}+p_{3}, [/mm] d.h
[mm] X^{4}-2X^{3}-3X-6=(x-3)*X^{3}+X^{2}+X+1 [/mm] R [mm] 2X^{2}-x+3
[/mm]
[mm] X^{3}+X^{2}+X+1=(0.5X+0.75)*(2X^{2}-x+3) [/mm] R 0.25X-1.25
[mm] 2X^{2}-X+3=(8X+36)*(0.25X-1.25) [/mm] R 48
[mm] 0.25X-1.25=\bruch{1}{192}X-\bruch{5}{192}*\bruch{1}{48} [/mm] R 0
Das heißt doch das 48 der ggT sein muss oder? Hab ich einen Fehler in meiner Rechnung?
Vielen Dank
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Hallo Mandy_90,
> Hallo reverend,
>
> >
> > Du machst Dir also zuviele Gedanken. Rechne mal los.
>
> Ok,ich habe losgerechnet und habe als größten gmeinsamen
> Teiler 48 raus, was ich aber bezweifle, dass es stimmt, ich
> denke da müsste ein Polynom rauskommen. Ich poste mal
> meine Schritte, vielleicht findet jemand den Fehler:
>
> Sei [mm]p_{1}=X^{4}-2X^{3}-3X-6[/mm] und [mm]p_{2}(x)=X^{3}+X^{2}+X+1.[/mm]
> Jetzt wende ich den euklidischen Algorithmus an, um den ggT
> von den beiden Polynomen zu finden.
>
> [mm]p_{1}=r_{3}*p_{2}+p_{3},[/mm] d.h
>
> [mm]X^{4}-2X^{3}-3X-6=(x-3)*X^{3}+X^{2}+X+1[/mm] R [mm]2X^{2}-x+3[/mm]
>
> [mm]X^{3}+X^{2}+X+1=(0.5X+0.75)*(2X^{2}-x+3)[/mm] R 0.25X-1.25
Hier hast Du Dich beim Rest verrrechnet:
[mm]X^{3}+X^{2}+X+1=(0.5X+0.75)*(2X^{2}-x+3)[/mm] R 0.25X-1.25
>
> [mm]2X^{2}-X+3=(8X+36)*(0.25X-1.25)[/mm] R 48
>
> [mm]0.25X-1.25=\bruch{1}{192}X-\bruch{5}{192}*\bruch{1}{48}[/mm] R
> 0
>
> Das heißt doch das 48 der ggT sein muss oder? Hab ich
> einen Fehler in meiner Rechnung?
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo MathePower,
vielen Dank.
> Hier hast Du Dich beim Rest verrrechnet:
>
> [mm]X^{3}+X^{2}+X+1=(0.5X+0.75)*(2X^{2}-x+3)[/mm] R 0.25X-1.25
>
Hä?? Wie denn, ich habs jetzt nochmal nachgerechnet, und es kommt dieser Rest raus.
Welcher sollte denn rauskommen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Fr 22.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
HÄ! multiplizier mal deine vordere Klammer aus und subtrahier sie!
deer rest ist wirklich falsch fast sicher irgendwo addiert statt subtrahiert. ich hab auch nen anderen rest! mehrheitsbeschluss, deiner ist falsch ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
gruss leduart
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Hallo Mandy_90,
> Hallo MathePower,
> vielen Dank.
>
>
> > Hier hast Du Dich beim Rest verrrechnet:
> >
> > [mm]X^{3}+X^{2}+X+1=(0.5X+0.75)*(2X^{2}-x+3)[/mm] R 0.25X-1.25
> >
>
> Hä?? Wie denn, ich habs jetzt nochmal nachgerechnet, und
> es kommt dieser Rest raus.
> Welcher sollte denn rauskommen?
Der Fehler liegt doch schon beim ersten Rest: [mm]2*X^{2}-X+3[/mm]
Dieser muss lauten:[mm]2*X^{2}-X\blue{-}3[/mm]
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Fr 22.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
> Der Fehler liegt doch schon beim ersten Rest: [mm]2*X^{2}-X+3[/mm]
>
> Dieser muss lauten:[mm]2*X^{2}-X\blue{-}3[/mm]
Ah, da haben wir ja die Mehrheit. 
Du warst früher dran, da habe ich noch geschrieben, außerdem an anderer Stelle in diesem Thread, aber immerhin mit gleichem Inhalt.
So findet die Aufgabe doch noch ihre Lösung und die liebe Seele Ruh.
Grüße
reverend
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Hallo Mandy,
mal ganz ohne Mehrheitsbeschluss - der Fehler liegt früher:
> Ok,ich habe losgerechnet und habe als größten gmeinsamen
> Teiler 48 raus, was ich aber bezweifle, dass es stimmt, ich
> denke da müsste ein Polynom rauskommen. Ich poste mal
> meine Schritte, vielleicht findet jemand den Fehler:
>
> Sei [mm]p_{1}=X^{4}-2X^{3}-3X-6[/mm] und [mm]p_{2}(x)=X^{3}+X^{2}+X+1.[/mm]
> Jetzt wende ich den euklidischen Algorithmus an, um den ggT
> von den beiden Polynomen zu finden.
>
> [mm]p_{1}=r_{3}*p_{2}+p_{3},[/mm] d.h
>
> [mm]X^{4}-2X^{3}-3X-6=(x-3)*X^{3}+X^{2}+X+1[/mm] R [mm]2X^{2}-x+3[/mm]
Hier nämlich. Der Rest ist [mm] 2X^2-x\blue{-}3
[/mm]
> Das heißt doch das 48 der ggT sein muss oder? Hab ich
> einen Fehler in meiner Rechnung?
Ja, den oben.
Kontrollergebnis: der nicht normierte ggT ist [mm] \bruch{13}{4}x+\bruch{13}{4}
[/mm]
Nebenbei wäre hier ein schnellerer Weg zu beschreiten, wenn man die Faktorisierung des "kleineren" Polynoms schnell fände. Sie lautet
[mm] X^3+X^2+X+1=(X+1)(X^2+1)
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo reverend,
> Kontrollergebnis: der nicht normierte ggT ist
> [mm]\bruch{13}{4}x+\bruch{13}{4}[/mm]
Jaaa.Das hab auch 
>
> Nebenbei wäre hier ein schnellerer Weg zu beschreiten,
> wenn man die Faktorisierung des "kleineren" Polynoms
> schnell fände. Sie lautet
> [mm]X^3+X^2+X+1=(X+1)(X^2+1)[/mm]
Jep, das habe auch schon herausgefunden, der normierte ggT ist dann x+1,aber ich wollte mal den euklidischen Algorithmus üben.
So, jetzt habe ich aber mit dem eukl. Algorithmus nicht den normierten ggT herausgefunden,sondern nur denn ggT [mm] \bruch{13}{4}x+\bruch{13}{4}. [/mm] Wie finde ich denn jetzt den normierten ggT? Ist es erlaubt einfach durch [mm] \bruch{13}{4} [/mm] zu teilen? Denn dann hätte ich x+1 ?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> > Kontrollergebnis: der nicht normierte ggT ist
> > [mm]\bruch{13}{4}x+\bruch{13}{4}[/mm]
>
> Jaaa.Das hab auch
Prima.
> So, jetzt habe ich aber mit dem eukl. Algorithmus nicht
> den normierten ggT herausgefunden,sondern nur denn ggT
> [mm]\bruch{13}{4}x+\bruch{13}{4}.[/mm] Wie finde ich denn jetzt den
> normierten ggT? Ist es erlaubt einfach durch [mm]\bruch{13}{4}[/mm]
> zu teilen?
Na klar. Normieren heißt doch, das Polynom "monisch" zu machen, also den Koeffizienten vor der höchsten Potenz auf 1 zu bringen. Es ist also nicht nur erlaubt, sondern hier sogar Pflicht.
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > normierten ggT? Ist es erlaubt einfach durch [mm]\bruch{13}{4}[/mm]
> > zu teilen?
>
> Na klar. Normieren heißt doch, das Polynom "monisch" zu
> machen, also den Koeffizienten vor der höchsten Potenz auf
> 1 zu bringen. Es ist also nicht nur erlaubt, sondern hier
> sogar Pflicht.
Ok,vielen Dank. Jetzt muss ich noch [mm] r_{1},r_{2} [/mm] berechnen, so dass [mm] r_{1}*(x^{3}+x^{2}+x+1)+r_{2}*(x^{4}-2x^{3}-3x-6)=x+1
[/mm]
Irgendwie weiß ich nicht, wie ich das machen soll. In meinen Unterlagen steht dass man jetzt in eine Rekursion einsetzen kann, also hätte ich sowas da stehen:
[mm] q=x+1=p_{5}=p_{3}-r_{5}*p_{4}.
[/mm]
Das Problem ist, dass diese Methode für den ggT beschrieben ist und nicht für den normierten ggT. Was mache ich denn nun?
Vielen Dank
lg
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Hallo nochmal,
> Das Problem ist, dass diese Methode für den ggT
> beschrieben ist und nicht für den normierten ggT. Was
> mache ich denn nun?
Du machst es mit Deiner Methode eben mit dem nicht normierten ggT. Und wenn Du fertig bist, multiplizierst Du eben die ganze Gleichung so, dass rechts nur noch der normierte ggT steht.
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 So 24.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
> > Das Problem ist, dass diese Methode für den ggT
> > beschrieben ist und nicht für den normierten ggT. Was
> > mache ich denn nun?
>
> Du machst es mit Deiner Methode eben mit dem nicht
> normierten ggT. Und wenn Du fertig bist, multiplizierst Du
> eben die ganze Gleichung so, dass rechts nur noch der
> normierte ggT steht.
Achso, ist ja ganz einfach. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.
lg
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