größtmögl. Rechteck in Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
| Aufgabe | In einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6 cm ist ein Rechteck so einbeschriebem, dass eine Rechteckseite auf einer Dreieckseite liegt. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat?
Hinweis zur Lösung: Verwende zum Aufstellen der Nebenbedingung eine Strahlensatzfigur. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Diese Aufgabe ist in "Mathematik heute", Einführung in die Analysis 1, Seite 186.
Ich muss diese Aufgabe morgen meiner Klasse vorstellen und bin noch nicht wirklich weit gekommen.
Hauptbedingung ist ja: A (x,y) = x*y. Dann habe ich jetzt mit Strahlensätzen als Nebenbedingung angefangen, bin mir aber nicht sicher, ob das so stimmt:
[mm] \bruch{h-y}{h} [/mm] = [mm] \bruch{x}{c}
[/mm]
Wie muss ich dann weiterrechnen und welche weiteren Vorgänge muss ich machen?
Vielen Dank, Robin
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:04 Mi 13.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Die Zielfunktion hast du schonmal richtig.
A=x*y
Jetzt hast du eine Funktion mit 2 Variablen und musst eine Nebenbedingung finden, wodurch eine rausfliegt.
Kannst du das y (Höhe des Rechtecks) durch x irgendwie ausdrücken?
Mal dir mal ein Koordinatensystem in dein Dreieck ein, mit dem Ursprung genau auf der Hälfte der Basisseite.
Jetzt versuch mal y durch x auszudrücken.
Jede schiefe Dreiecksseite ist ja eine lineare Funktion.
Die stellst du auf und erhälst:
y=-2x+6
Verstehst du, wie ich das jetzt gemacht habe?
Jetzt schaust du dir nochmal deine Zielfunktion im Koordinatensystem an.
Die Fläche ist jetzt A=2x*y (Die Fläche links von der y-Achse gehört auch dazu, desswegen die 2!)
Setze y ein.
[mm] A=-4x^{2}+6
[/mm]
Und davon die Extremstellen bestimmen.
Das mit dem Strahlensatz finde ich eigentlich nur sehr verwirrend.
So würd ichs nicht machen.
Grüße
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
Na gut, ich muss das mit den Strahlensätzen ja nicht zwangsweise machen.
y=-2x+6 ist ja dann der rechte Schenkel, also folgendermaßen:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Soll x dann der Weg sein, der von dem rechten Schenkel bis zur Mitte, also Höhe des Dreiecks geht?
Dann würde das ganze so aussehen mit den Benennungen, wie ich das verstanden habe:
http://img507.imageshack.us/img507/7153/33333444ws0.jpg
Oder wie meintest du das dann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
Na gut, ich muss das mit den Strahlensätzen ja nicht zwangsweise machen.
y=-2x+6 ist ja dann der rechte Schenkel, also folgendermaßen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Soll x dann der Weg sein, der von dem rechten Schenkel bis zur Mitte, also Höhe des Dreiecks geht?
Dann würde das ganze so aussehen mit den Benennungen, wie ich das verstanden habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Oder wie meintest du das dann?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mi 13.06.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
die Zeichnung ist richtig aufgestellt nach der Erklärung!
Jetzt erkennt man auch, dass A = 2x*y sein muss.
Jeder Punkt auf der Gerade (Dreieckseite) mit y= -2x + 6 ist mögliche Ecke des gesuchten Rechteckes. Daher kann die Länge der Rechteckseite mit der y-Koordinate bzw. x-Koordinate dieses Eckpunktes interpretiert werden. Durch die Geradeengleichung ist jetzt y durch x ausgedrückt und so hängt die Flächenformel nur noch von einer Variablen ab!
Allerdings kommst du nun nur weiter, wenn du die erste Ableitung bilden kannst einer Funktion 2. Grades. Sollte in der 11 Jgst. am Gym. behandelt worden sein.
Suche das Maximun der Flächenfunktion [mm] A(x)=-4x^2+12x
[/mm]
A'(x)= -8x+12 also A'(x)=0 einen x-Wert finden (x= 3/2)
A''(x)= -8 also immer kleiner Null, somit ist der x-Wert das gesuchte Maximum der Flächenfunktion. Zm Schluss noch den y-Wert berechnen, um das Flächenmaß zu bekommen.
Fertig.
Allerdings nur, wenn Ableitungen in der Schule behandelt worden sind.
Gruss
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
achso, ok das verstehe ich. ableitung haben wir zu genüge behandelt ;)
was mich nur verwirrt hatte: max hatte einen fehler beim einsetzen gemacht: Als er y=-2x+6 in A=2x*y eingesetzt hat, kam A=-4x²+6 raus.
Vielen Dank schon einmal, ich mache mich jetzt daran, die Folie für morgen vorzubereiten!
Grüße Robin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
Ich habe das jetzt ausgerechnet, was mich vor ein weiteres Problem gestellt hat: (Ich hoffe, dass es ein simpler Rechenfehler ist)
Bei der Notw. Bedingung A'(x) kommt [mm] x=\bruch{3}{2} [/mm] raus.
Wenn ich diesen Wert in die Ausgangsgleichung : A=-4x+12x einsetze, um den y-Wert zu erhalten, kommt aber A(3/2)=12 raus
Das Dreieck hat aber doch nur die Seitenlängen von 6cm? Wie kann dann 12 rauskommen??
Vielen Dank schonmal vorneweg!
Grüße Robin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mi 13.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin robin,
> Ich habe das jetzt ausgerechnet, was mich vor ein weiteres
> Problem gestellt hat: (Ich hoffe, dass es ein simpler
> Rechenfehler ist)
>
> Bei der Notw. Bedingung A'(x) kommt [mm]x=\bruch{3}{2}[/mm] raus.
das stimmt. (s.o.)
> Wenn ich diesen Wert in die Ausgangsgleichung : A=-4x+12x
> einsetze, um den y-Wert zu erhalten, kommt aber A(3/2)=12
> raus
ist die ausgangsgleichung nicht [mm] A(x)=-4x^2 [/mm] +12x ?
> Das Dreieck hat aber doch nur die Seitenlängen von 6cm? Wie
> kann dann 12 rauskommen??
...außerem errechnet deine zielfunktion ja nicht die seitenlänge sondern den flächeninhalt, der kann betragsmäßig selbstverständlich größer sein, als eine einzelne seite...
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
Du hast Recht, vielen Dank, das hatte ich übersehen.
Nach mehrmaligem Nachrechnen kommt jetzt x=3/2 und y=9 heraus. Was fange ich jetzt jedoch mit den Werten an? Ich dachte vorerst, das wären dann die Seitenlängen des Rechtecks, aber du meintest, es wäre der Flächeninhalt?? Das verstehe ich nicht. Wie komme ich jetzt von diesen Werten auf die benötigten Seitenlängen?
Nochmals Danke an alle bisherigen Antworten, Robin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
kann mir keiner helfen??? das ist wirklich sehr wichtig für mich, entscheidet über meine zeignisnote!! was bringt mir das ergebnis x=3/2 und y=9??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mi 13.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin robin,
du sollst doch die seiten des rechtecks bestimmen, die hier den maximalen flächeninhalt haben.
d.h. deine zielfunktion A(X)= 2x*y ist der Flächeninhalt
deine seitenlängen dieses rechtecks sind y und 2x
d.h. y=9 und 2x=3
oder nochmal mit anderen buchstaben. dein rechteck hat die seiten
l=3 und b=9.
viel glück morgen!
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, wolfgang,
> du sollst doch die seiten des rechtecks bestimmen, die hier
> den maximalen flächeninhalt haben.
>
> d.h. deine zielfunktion A(X)= 2x*y ist der Flächeninhalt
>
> deine seitenlängen dieses rechtecks sind y und 2x
>
> d.h. y=9 und 2x=3
>
> oder nochmal mit anderen buchstaben. dein rechteck hat die
> seiten
> l=3 und b=9.
Wie kriegst Du das hin: Ein Rechteck, das 3cm breit und 9(!) cm hoch ist und das in einem GLEICHSEITIGEN Dreieck mit der Seitenlänge a=6cm liegt?
mfG!
Zwerglein
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Hi, robin,
> Nach mehrmaligem Nachrechnen kommt jetzt x=3/2 und y=9
> heraus. Was fange ich jetzt jedoch mit den Werten an? Ich
> dachte vorerst, das wären dann die Seitenlängen des
> Rechtecks, aber du meintest, es wäre der Flächeninhalt??
> Das verstehe ich nicht. Wie komme ich jetzt von diesen
> Werten auf die benötigten Seitenlängen?
Bei dieser Methode ist das x ja die Koordinate des rechten oberen Eckpunktes des Rechtecks. Wenn Du das mit Deiner ursprünglichen Zeichnung vergleichst, siehst Du: DIESES x ist nur halb so groß wie die gesuchte Grundlinie des Rechtecks. Die gesucht Grundlinie des Rechtecks ist daher: [mm] 2*\bruch{3}{2} [/mm] = 3.
Aber sag' mal: Sollte das Dreieck nicht GLEICHSEITIG sein?
Dann kann doch seine Höhe nicht auch noch gleich 6 sein!!
Da musst Du nochmal drüber nachdenken!
PS: Ich hätte die Aufgabe trotzdem mit dem Strahlensatz gelöst - so war das ja im Hinweis auch vorgesehen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
nein, wo stand, dass die höhe 6 ist? das habe ich auf jeden fall nicht so.
kannst du den lösungsweg für die variante mit den strahlensätzen angeben mit den koordinaten folgendermaßen verwendet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich wäre dir wahnsinnig dankbar, ich verrechne mich ständig und verzweifle hier!!
danke schonmal, robin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hi, robin,
> nein, wo stand, dass die höhe 6 ist? das habe ich auf jeden
> fall nicht so.
1. Schau Dir mal Deine Zeichnung an! Eindeutig: h=6
2. Noch klarer: Wenn Du die Gerade mit der Gleichung y=-2x+6 verwendest, geht diese Gerade bei y=6 durch die y-Achse; h=6 (!!)
> kannst du den lösungsweg für die variante mit den
> strahlensätzen angeben mit den koordinaten folgendermaßen
> verwendet:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
OK!
Dann sozusagen "von vorne"!
Ich verwende Deinen Ansatz von ganz oben (auch wenn ich finde, dass die Wahl der Buchstaben mit x und y nicht gerade geschickt ist!):
[mm] \bruch{h-y}{h} [/mm] = [mm] \bruch{x}{c}. [/mm] (***)
Dabei ist nun - laut Vorgabe - die Seite c = 6 und - das ist die Höhe im GLEICHSEITIGEN Dreieck: h = [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]
(***) aufgelöst nach x ergibt (umgeformt!):
x = 6 - [mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{3}*y. [/mm] (+++)
Damit ergibt sich für die Rechtecksfläche (zur Erinnerung: A = x*y)
A(y) = (6 - [mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{3}*y)*y
[/mm]
A(y) = 6y - [mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{3}*y^{2}
[/mm]
Nun zur Suche des Maximums:
A'(y) = 6 - [mm] \bruch{4}{3}*\wurzel{3}*y
[/mm]
A'(y) = 0 <=> y = [mm] \bruch{3}{2}*\wurzel{3} [/mm]
(da steckt ein bissl Algebra drin!)
und (eingesetzt in (+++)): x = 3
Den Beweis für das "Maximum" überlass' ich nun Dir!
mfG!
Zwerglein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Mi 13.06.2007 | | Autor: | robin_89 |
vielen dank, bis dahin hab ich alles kapiert. bis auf die umformung, in der "ein bissl algebra" drinsteckt und der schritt danach. war für mich durchschnittswurm ein bissl viel algebra ;) wäre super, wenn du den schritt noch kurz erläutern könntest, dann würde ich morgen nicht mit leeren händen dastehen!
du hast ja letztendlich auch x=3 raus. wo muss ich das dann einsetzen um auf die y-länge zu kommen (die ja nicht 9 sein sollte^^)
vielen vielen dank, gruß robin
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Hi, robin,
jaja, die Algebra wird meist unterschätzt! 
Also, wir hatten nach der Umformung des Strahlensatzes für x erhalten:
x = 6 - [mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{3}*y
[/mm]
Nun kam y = [mm] \bruch{3}{2}*\wurzel{3} [/mm] raus.
Demnach ist x = 6 - [mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{3}*\bruch{3}{2}*\wurzel{3}
[/mm]
Die Umformung ergibt:
x = 6 - [mm] \bruch{2}{3}*\bruch{3}{2}*\wurzel{3}*\wurzel{3}
[/mm]
x = 6 - 1*3 = 6 - 3 = 3.
Ach ja, vielleicht noch:
A'(y) = 0 <=> 6 - [mm] \bruch{4}{3}*\wurzel{3}*y [/mm] = 0
<=> [mm] \bruch{4}{3}*\wurzel{3}*y [/mm] = 6 | [mm] *\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}*y [/mm] = [mm] 6*\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}*y [/mm] = [mm] \bruch{9}{2} [/mm] | [mm] :\wurzel{3}
[/mm]
y = [mm] \bruch{9}{2*\wurzel{3}}
[/mm]
Nenner rational machen:
y = [mm] \bruch{9\wurzel{3}}{2*3}
[/mm]
und durch 3 kürzen:
y = [mm] \bruch{3\wurzel{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*\wurzel{3}
[/mm]
Ach übrigens: Wie Du hoffentlich bemerkst, ist die eine Seite des maximalen Rechtecks genau halb so groß wie die Grundlinie des Dreiecks, die andere genau halb so groß wie die Höhe des Dreiecks; seine Fläche ist genau halb so groß wie diejenige des Dreiecks!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:15 Do 14.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
> Hallo.
>
> Die Zielfunktion hast du schonmal richtig.
>
> A=x*y
>
> Jetzt hast du eine Funktion mit 2 Variablen und musst eine
> Nebenbedingung finden, wodurch eine rausfliegt.
>
> Kannst du das y (Höhe des Rechtecks) durch x irgendwie
> ausdrücken?
>
> Mal dir mal ein Koordinatensystem in dein Dreieck ein, mit
> dem Ursprung genau auf der Hälfte der Basisseite.
>
> Jetzt versuch mal y durch x auszudrücken.
>
> Jede schiefe Dreiecksseite ist ja eine lineare Funktion.
>
> Die stellst du auf und erhälst:
>
> y=-2x+6
>
> Verstehst du, wie ich das jetzt gemacht habe?
Deine Funktion ist leider falsch. Das Dreieck sollte gleichseitig sein mit der Seitenlänge 6cm. Du bist aber von einem gleichschenkligen Dreieck ausgegangen, bei dem Basis und Höhe 6cm sind. in einem gleichseitigen Dreieck gilt für die Höhe:
$ h = [mm] \bruch{a}{2} \wurzel{3} [/mm] $
Für a = 6 also
$ h = 3 [mm] \wurzel{3} [/mm] $
Also ist die lineare Funktion für die Dreiecksseite:
$ y = - [mm] \wurzel{3} [/mm] x + 3 [mm] \wurzel{3} [/mm] $
>
>
>
> Das mit dem Strahlensatz finde ich eigentlich nur sehr
> verwirrend.
Mit dem Strahlensatz kommt man im wesentlichen auf dieselbe Nebenbedingung. Man muss halt in die Gleichung
$ [mm] \bruch{h-y}{h} [/mm] = [mm] \bruch{x}{a} [/mm] $
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks einsetzen. Nur bedeutet x hier die ganze Rechteckseite und nicht wie oben die halbe.
Gruß
Sigrid
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Hiho,
das ganze rumgerechne mit einer neuen Funktion kannst du dir sparen, wenn du Sinussätze in einem Dreieck nutzt.
Ich bezieh mich jetzt mal auf deine Skizze, die du gemacht hast:
Du weisst ja [mm]A = x*y[/mm]
Dein y kannst du jetzt über Sinussätze im Dreieck bestimmen und zwar indem du dir das kleine Dreieck links unten betrachtest, dass durch die Seite y begrenzt wird, denn du weisst:
Die Grundseite dieses Dreiecks ist [mm](3 - \bruch{x}{2}) = \bruch{6-x}{2}[/mm]
Der Winkel links unten ist 60° (da du dich in einem gleichseitigen Dreieck befindest, der Winkel rechts unten ist 90°, somit muss der übrigbleibende Winkel 30° gross sein.
Dann ergibt sich mit dem Sinussatz im Dreieck:
[mm]\bruch{y}{sin60°} = \bruch{\bruch{6-x}{2}}{sin30°}[/mm]
[mm]y = \bruch{6-x}{2sin30°} * sin60°[/mm]
[mm]y = \bruch{6-x}{2 * \bruch{1}{2}} * \bruch{\sqrt{3}}{2} = \bruch{\sqrt{3}}{2}(6-x)[/mm]
Somit ergibt sich:
[mm]A = x * y = x * \bruch{\sqrt{3}}{2}(6-x) = -\bruch{\sqrt{3}}{2}x^2 +3*\sqrt{3}x[/mm]
Und die Funktion maximierst du nun
MfG,
Gono.
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