größtmögliches Fassungsvermöge < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Anja83 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Aus einer quadratischen Pappe von 60cm Seitenlänge soll ein offener Karton mit quadratischer Grundfläche und möglichst großem Fassungsvermögen hergestellt werden.An jeder Ecke ist ein Quadrat der Seitenlänge y eingezeichnet. Dies sollen jeweils an einer Seite eingeschnitten werden und die Falze zur Befestigung der hochgefalteten Rechtecke als Seitenfläche des Kartons dienen. Welche Abmessung soll der Karton haben?
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Hallo Anja,
wie sehen deine bisherigen Lösungsversuche aus?
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Anja!
Dies ist eine recht standardmäßige Extremwertaufgabe, und was Hugo meint ist, dass du eigentlich schon ein paar Ansätze haben könntest, z. B. die Hauptbedingung und die Nebenbedingung.
Gesucht ist ja ein maximales "Volumen", also ist deine Hauptbedingung V=l*h*b (Länge mal Höhe mal Breite, eben das Volumen eines solchen Körpers), dieses soll nun maximal werden.
Gegeben hast du außerdem, dass die Seitenlängen 60 cm lang sind, also können l und b nur zwischen 0 und 60 liegen. Wenn du dir vorstellst, wie das Ding gebaut werden soll, dann stellst du fest, dass gilt:
h=60-b
Außerdem wird hier wohl gelten: l=b (nehme ich jedenfalls an, da deine Grundfläche schon quadratisch ist, und somit schon größtmöglich, dies wird sich für das größtmögliche Volumen nicht ändern, ich weiß aber nicht, ob man das so schon voraussetzen kann).
So, wenn du so was in der Art schon gehabt haben solltest, aber anders, dann schick's mal her, ansonsten probier's hiermit mal und stelle dann gezielte Fragen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 01.12.2004 | | Autor: | dominik |
Hallo Anja
Nach Deiner Beschreibung verbleibt eine quadratische Grundfläche für den Karton, die die Seitenlänge 60-2y hat; auf jeder Seite werden ja y cm ausgespart. Die Höhe der Schachtel misst dann auch y cm.
Das Volumen hat dann den Term:
V = (60 - [mm] 2y)^{2} [/mm] mal y = (3600 - 240y + [mm] 4y^{2}) [/mm] mal y = 3600y - [mm] 240y^{2} [/mm] + [mm] 4y^{3}
[/mm]
Diese Funktion V(y) muss nun nach y abgeleitet werden:
V'(y) = [mm] 3600-480y+12y^{2}
[/mm]
V'(y)=0 [mm] \gdw y^{2}-40y+300 [/mm] = 0 [mit 12 gekürzt]
[mm] \gdw [/mm] (y-30)(y-10) = 0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
1. y = 30 [mm] \Rightarrow [/mm] Der Einschnitt reicht bis zur Mitte, was keine Schachtel mehr ergibt! Das Volumen ist dann gleich Null; dies ist der Minimalwert, also hier unbrauchbar.
2. y = 10 [mm] \Rightarrow [/mm] Das ist brauchbar: Die quadratische Grundfläche hat dann die Seitenläng 60 - 2 mal 10 = 40.
Das gesuchte Volumen beträgt dann [mm] 40^{2} [/mm] mal 10 = 16000 [mm] cm^{3}
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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