große Potenz einer im. Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 09.07.2011 | | Autor: | peter_k |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] z^{4500} [/mm] für [mm] z=\bruch{1}{2}+i\bruch{1}{2} \wurzel{3} [/mm] |
Hallo, ich komme irgendwie nicht darauf, wie ich diese Aufgabe lösen könnte. Habe schonmal eine ähnliche Aufgabe gehabt aber mit natürlichen Zahlen und einer großen Wurzel statt der Potenz. Diese Aufgabe hier löst man bestimmt auch am besten mit modulo, oder?
Danke schonmal für Tips.
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Sa 09.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Peter!
> Berechnen Sie [mm]z^{4500}[/mm] für [mm]z=\bruch{1}{2}+i\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm]
>
> Hallo, ich komme irgendwie nicht darauf, wie ich diese
> Aufgabe lösen könnte. Habe schonmal eine ähnliche
> Aufgabe gehabt aber mit natürlichen Zahlen und einer
> großen Wurzel statt der Potenz. Diese Aufgabe hier löst
> man bestimmt auch am besten mit modulo, oder?
> Danke schonmal für Tips.
Rechne erstmal [mm] $z^3$ [/mm] aus. Da kommt etwas sehr schoenes heraus 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 09.07.2011 | | Autor: | peter_k |
Hi Felix, danke für deine Antwort!
Hmm, also da bekomme ich raus: [mm] z^3=\bruch{1}{4}(-7+i\wurzel{3})
[/mm]
Aber ich sehe da jetzt keinen Zusammenhang zur Aufgabe. Habe ich mich einfach verrechnet, oder checke ichs einfach nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 09.07.2011 | | Autor: | peter_k |
Aaah, ich glaube jetzt hab ichs
Da kommt -1 raus oder?
Und dann: (-1)^1500=1
Richtig?
Tausend Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 09.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Aaah, ich glaube jetzt hab ichs
> Da kommt -1 raus oder?
Wenn Du die dritte Potenz meinst, ja.
> Und dann: (-1)^1500=1
> Richtig?
Ja.
>
> Tausend Dank!!
Gerne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Sa 09.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Peter,
> Berechnen Sie [mm]z^{4500}[/mm] für [mm]z=\bruch{1}{2}+i\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm]
ein allgemeiner Tipp zu solchen Aufgaben: erst den Betrag ausrechnen. Der ist hier 1, also handelt es sich vermutlich um eine Einheitswurzel. Dass es eine dritte oder sechste Einheitswurzel ist kann man sich denken wenn man weiss, fuer welche [mm] $\phi$ $\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $\sin(\phi)$ [/mm] "schoene" Ergebnisse liefern.
Und falls es sich um keine schoene Zahl handeln sollte: berechne zuerst das Minimalpolynom $f(X)$, und dann berechne [mm] $X^{4500}$ [/mm] modulo dem Minimalpolynom durch die ![[]](/images/popup.gif) Methode Quadrieren und Multiplizieren. Schliesslich ersetzt du $X$ wieder durch die Zahl und Vereinfachst evtl. den verbleibenden Ausdruck.
Das ist bei solch hohen Potenzen wie 4500 allerdings sehr unpraktisch. Wenn solch hohe Potenzen auftreten, handelt es sich meist um Zahlen, deren $n$-te Potenz (fuer kein zu grosses $n$) recht schoen aussieht (etwa Einheitswurzeln, aber auch sowas wie Einheitswurzel mal [mm] $\sqrt[10]{5}$).
[/mm]
LG Felix
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