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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Do 01.11.2007 | | Autor: | berlin06 |
| Aufgabe | Sei (G,*) eine Gruppe und e das neutrale element von G. Zeigen Sie
a) Ist a=a(hoch-1) also das inverse elemtent zu a ist a dann ist G kommutativ
b)Ist (a*b)²=a²b² dann ist G kommutativ ( jweils für alle a G)
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Ich hab hier ne aufgabe und würde gerne wissen ob mein beweis einigermaßen in ordnung ist.
a) zu zeigen a°b=b°a
a(hoch-1)°a°b°a=a(hoch-1)°b°a°a wobei a°a=e
e°b°a=a(hoch-1)°b°e wobei a(hoch-1)=a
b°a=a°b
bei b bin ich sehr unsicher und würde mich über nen tipp freuen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Do 01.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> a) zu zeigen a°b=b°a
> a(hoch-1)°a°b°a=a(hoch-1)°b°a°a wobei a°a=e
> e°b°a=a(hoch-1)°b°e wobei a(hoch-1)=a
> b°a=a°b
also für mich sieht das sehr unübersichtlich aus und ich sehe nicht, was voraussetzung ist und was du folgerst. wegen [mm] $(ba)^2 [/mm] = e$ gilt doch $ab = (ba)^2ab = ...$ nun schreibe das produkt aus, klammere um und verwende, dass [mm] $a^2 [/mm] = e$ und [mm] $b^2 [/mm] = e$.
> bei b bin ich sehr unsicher und würde mich über nen tipp
> freuen
schreibe doch mal das produkt aus und multipliziere mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] von links und [mm] $b^{-1}$ [/mm] von rechts. was erhälst du dann?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Do 01.11.2007 | | Autor: | berlin06 |
also vorraussetzung a=a(hoch -1)
daraus soll ich folgern dass die gruppe kommutativ ist
und bei der zwei aufgabe ist die vorraussetzung (ab)²=a²b²
daraus soll ich auch folgern dass G kommutativ ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Do 01.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
und hast du mal meine vorschläge ausprobiert?
die aussage, das ich nicht wirklich sehe, was voraussetzung und was folgerung ist, bezog sich auf deinen ansatz, die aufgabe ist mir durchaus klar 
poste doch mal ergebnise, wenn du was gerechnet hast, dir wird dann bestimmt weitergeholfen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Do 01.11.2007 | | Autor: | berlin06 |
vorraussetzung: 1)a=a(hoch-1)
2)a°a(hoch-1)=e
3)a°e=a
zu zeigen a°b=b°a |mit links a(hoch-1) und rechts a verknüpt
a(hoch-1)°[a°b]°a=a(hoch-1)°[b°a]°a | benutzen der 2vorraussetzung
e°b°a=a(hoch-1)°b°e |benutzen der 1vorrausetzung
b°a=a°b
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Do 01.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> vorraussetzung: 1)a=a(hoch-1)
> 2)a°a(hoch-1)=e
> 3)a°e=a
> zu zeigen a°b=b°a |mit links a(hoch-1) und rechts a
> verknüpt
> a(hoch-1)°[a°b]°a=a(hoch-1)°[b°a]°a | benutzen der
> 2vorraussetzung
> e°b°a=a(hoch-1)°b°e |benutzen der 1vorrausetzung
> b°a=a°b
das ist jetzt sehr schön strukturiert aufgeschrieben. allerdings hast du damit nichts gezeigt, nämlich beginnst du ja schon mit der aussage, die du zeigen willst und folgerst daraus die aussage die du zeigen willst, da ja trivialerweise aus $x = y$ schon $y = x$ folgt.
probiere doch mal meinen tipp aus der ersten antwort zu folgen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 01.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Also ich habe versucht mit den Tipps von andreas versucht das ganze aufzulösen.
Seien [mm]a,b \in G[/mm] mit [mm] a=a^{-1} [/mm] und [mm] b=b^{-1},
[/mm]
[mm] a*a=a^2=e \wedge b*b=b^2=e
[/mm]
Z.z.: [mm]a*b=b*a[/mm]
[mm] a*b=(b*a)^2*a*b=
[/mm]
[mm] =b^2*a^2*a*b
[/mm]
[mm] =b^3*a^3
[/mm]
[mm] =b*a*(b*a)^2
[/mm]
[mm]=b*a*e
=b*a[/mm]
Bei b weiß ich auch leider nicht wirklich weiter, was gilt es denn hier zu zeigen?
[mm] a^2*b^2=b^2*a^2?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Sparqie |
wenn du eine Gruppe mit x² = 1 [mm] \forall [/mm] x hast, ist die Gruppe kommutativ:
ab = ab(ba)² = (abba)ba =(a²)ba = ba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Fr 02.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
nur kurz eine bemerkung:
> [mm]a*b=(b*a)^2*a*b=[/mm]
> [mm]=b^2*a^2*a*b[/mm]
diese gleichheit gilt im allgemeinen nicht, nur falls die elemente $a$ und $b$ vertauschbar sind (und man will ja gerade zeigen, dass die gruppe kommutativ ist und sollte das deshalb nicht verwenden). es gilt stattdessen: $(ba)^2ab = (ba)(ba)ab$. ansonsten geht es so weiter wie im beitrag von Sparqie.
grüße
andreas
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