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h-Schreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Do 20.09.2007
Autor: Atomaffe

Aufgabe
Bestimme die Ableitungsfunktion der Funktion [mm] f(x)=x^2+x [/mm] mit Hilfe der h-Schreibweise.

Guten Tag, unser Lehrer hat uns die oben genannte Aufgabe gegeben, und ich komme nicht so recht weiter. Also soweit bin ich schon:

[mm] f(a)=\limes_{h\rightarrow\Null} \bruch{(a+h)^2 + (a+h) - a^2 - a}{h} [/mm]

nun habe ich das Problem wie ich zu dem Ergebnis f(a)=2a+h komme, bzw f(a)=2a weil ja h wegfällt da es null ist.

Wäre nett wenn mir jemand den Rechenweg aufzeigen könnte.

Mit freundlichen Grüßen
Alexander

        
Bezug
h-Schreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Do 20.09.2007
Autor: M.Rex

Hallo Alexander:


$ [mm] f'(a)=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{(a+h)^2 + (a+h) - a^2 - a}{h} [/mm] $

Das ist soweit okay.
Für die weitere Rechnung lasse ich ertmal den Limes weg.
Ziel der Rechnung ist, das h aus dem Nenner wegzukürzen, denn dann kann ich ohne Probleme h=0 setzen.

Also:
[mm] \bruch{(a+h)^2+(a+h)-a^2-a}{h} [/mm]
[mm] =\bruch{a²+2ah+h²+a+h-a²-a}{h} [/mm]
[mm] =\bruch{2ah+h²+h}{h} [/mm]
[mm] =\bruch{h(2a+h+1)}{h} [/mm]
=2a+h+1

Jetzt kann ich ohne Probleme h=0 setzen, und komme auf 2a+1, was ja das gewünschte Ergebnis ist.

Probe: f(x)=x²+x
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=2x+1

Marius



Bezug
                
Bezug
h-Schreibweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Do 20.09.2007
Autor: Atomaffe

ähm ich kann ihre Rechenschritte einigermaßen nachverfolgen, doch scheint mir ja die 1 zu viel zu sein. es muss doch heißen als Ergebnis:
=2a+h
das stimmt auf jeden Fall, bloß da ist dann eine 1 zu viel, und meine Klassenkameraden haben alle =2a+h raus, jedenfalls die, die ich gefragt habe und das Ergebnis ist auch richtig.

Was machen sie den anders??

Bezug
                        
Bezug
h-Schreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Fr 21.09.2007
Autor: dormant

Hi!

>  das stimmt auf jeden Fall, bloß da ist dann eine 1 zu
> viel, und meine Klassenkameraden haben alle =2a+h raus,
> jedenfalls die, die ich gefragt habe und das Ergebnis ist
> auch richtig.

Na lass dich doch von den anderen nicht verunsichern! Die Ableitung von der Funktion [mm] f(x)=x^{2}+x [/mm] ist f'(x)=2x+1, das ist sicher. Man kann das anhand von den []Potenz- und Summenregeln überprüfen. Jetzt noch mal eine ausführliche Rechnung:

[mm] f'(a)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}= [/mm]

[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(a+h)^{2}+a+h-a^{2}-a}{h}= [/mm]

[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^{2}+2ah+h^{2}+a+h-a^{2}-a}{h}= [/mm]

[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2ah+h^{2}+h}{h}= [/mm]

[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{2ah}{h}+\bruch{h^{2}}{h}+\bruch{h}{h}\right)= [/mm]

[mm] \limes_{h\rightarrow 0}(2a+h+1)=2a+1. [/mm]

An welcher Stelle kann dich diese Rechnung nicht überzeugen?

> Was machen sie den anders??

Keine Ahnung. Das Ergebnis ist auf jeden Fall f'(a)=2a+1. Sehr wahrscheinlich glauben deine Schulkameraden, dass [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{h}=0, [/mm] was einfach nicht stimmt.

Gruß,
dormant

Bezug
                                
Bezug
h-Schreibweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Mo 01.10.2007
Autor: Atomaffe

stimmt. herzlichen dank

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