h(x) = x³+3x²-4 < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Do 29.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | geg.: [mm] h(x)=x^3+3x^2-4
[/mm]
ges.:
1 - Definitionsbereich
2 - Verhalten im Unendlichen
3 - Symmetrien
4 - Nullstellen |
Schönen Feiertag,
ich erbitte freundlich eine Antwort auf Schulniveau (weiterführende Schule).
1 - Definitionsbereich
Hiermit habe ich noch nie wirklich richtig mit zu tun gehabt. Ich weiß zwar, wenn es einen Nenner gäbe, dass der nicht Null sein darf u. dass man das x oder die x-se ermittelt, mit denen der Nenner Null wird um genau diese x aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
Trotzdem glaube ich, dass ich
$ [mm] \mathbb{D} [/mm] $ = $ [mm] \mathbb{R} [/mm] $
schreiben muss, weil die Funktion keine Sprünge hat u. nicht unterbrochen ist, denn dann müssten die x-Stellen, da, wo die Funktion nicht definiert ist auch aus dem Def.bereich ausgeschlossen werden.
Mehr weiß ich zum Definitionsbereich nicht zu sagen. Außer vielleicht noch, wenn es eine Textaufgabe mit einer Motorradfahrerin gäbe, dass die auch nicht "im zweiten, dritten u. vierten Quadranten fahren" kann.
Reicht es denn einfach nur $ [mm] \mathbb{D} [/mm] $=$ [mm] \mathbb{R} [/mm] $ zu schreiben?
2 - Verhalten im [mm] \infty [/mm]
für [mm] x\rightarrow +\infty [/mm] gilt [mm] f(x)\rightarrow +\infty [/mm]
für [mm] x\rightarrow -\infty [/mm] gilt [mm] f(x)\rightarrow -\infty [/mm]
oder andere Schreibweise
[mm] \limes_{x \to+ \infty} f(x)\rightarrow +\infty [/mm]
[mm] \limes_{x \to- \infty} f(x)\rightarrow -\infty [/mm]
3 - Symmetrien
h(x) hat gerade und ungerade Exponenten, deswegen gibt es keine der beiden Symmetrien.
Überprüfung mit den "Formeln"
Prüfg. auf Achsensymmetrie mit f(x)=f(-x)
[mm] x^3+3x^2+4 \ne (-x)^3+3(-x)^2-4
[/mm]
nicht gleich, d.h. h(x) ist nicht symmetrisch zur y-Achse.
Prüfg., ob punktsymmetrisch zu (0/0) mit f(x)=-f(-x)
[mm] x^3+3x^2+4 [/mm] = [mm] -[(-x)^3+3(-x)^2-4]
[/mm]
[mm] x^3+3x^2+4 [/mm] = [mm] x^3-3x^2+4
[/mm]
-4 [mm] \ne [/mm] 4 folglich gibt es auch keine Punktsymmetrie
Reicht es zu gucken, ob alle Exponenten gerade oder alle ungerade sind u. das Ergebnis als Satz zu schreiben oder oder muss das mathematisch geprüft werden oder gar beides?
4 - Nullstellen
Ganzzahlige Teiler des absoluten Gliedes 1, -1, 2, -2, 4, -4
eingesetzt in h(x)=0, dann finde ich bei
h(-2)=0 eine Nullstelle [mm] N_1 [/mm] (-2/0)
Hier habe ich eine Frage zum Begriff NullSTELLE: Ist mit STELLE nicht immer nur der x-Wert gemeint?
Wenn ja ist die Nullstelle x=-2 oder ist die Nullstelle die Koordinate (-2/0)?
Wenn die Fkt. max. 3 Nullstellen haben kann muss ich jetzt fragen, ob es noch weitere gibt. Ich versuche das mit Polyn.-Div. rauszubekommen:
[mm] (x^3+3x^2-4): [/mm] (x+2) = [mm] x^2+x-2
[/mm]
0 = [mm] x^2+x-2
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = -2 (x+2)
[mm] x_2 [/mm] = 1 (x-1)
Jetzt müsste (wenn nicht verrechnet) die Multiplikation aller 3 Linearfaktoren identisch sein mit der Funktionsgleichung:
(x+2)(x-1)(x+2) [mm] =x^3+3x^2-4
[/mm]
[mm] x^3+3x^2+4x-8 \ne x^3+3x^2-4
[/mm]
Warum ist das nicht gleich?
Ich versuche es erneut mit
[mm] (x+2)^2(x-1) [/mm] = [mm] x^3+3x^2-4
[/mm]
Ich scheine mich nicht verrechnet zu haben. Wahrscheinlich ist da immer noch was Unverstandes?
Hoffentlich versteht mich hier einer u. ich hoffe ganz doll, dass ich mich nicht verschrieben habe.
Vielen DANK für eure Hilfe!!!
Sabine
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Hallo,
> geg.: [mm]h(x)=x^3+3x^2-4[/mm]
>
> ges.:
> 1 - Definitionsbereich
> 2 - Verhalten im Unendlichen
> 3 - Symmetrien
> 4 - Nullstellen
>
> Schönen Feiertag,
>
> ich erbitte freundlich eine Antwort auf Schulniveau
> (weiterführende Schule).
>
>
> 1 - Definitionsbereich
>
> Hiermit habe ich noch nie wirklich richtig mit zu tun
> gehabt. Ich weiß zwar, wenn es einen Nenner gäbe, dass
> der nicht Null sein darf u. dass man das x oder die x-se
> ermittelt, mit denen der Nenner Null wird um genau diese x
> aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
Ja, das ist ein gutes Beispiel für einen Grund, weshalb die Definitionsmenge irgendwie eingeschränkt ist. Es gibt einige solcher Gründe, die von der Unmöglichkeit mathematischer Operationen für bestimmte Werte oder auch ganze Intervalle herrühren. Aber ganz wichtig: ein Definitionsbereich kann auch aus völlig willkürlichen Gründen eingeschränkt sein. Deshalb nennt man das, auf was du die Funktion hier untersuchst, in der Schulmathematik gerne maximaler Definitionsbereich, wobei diese Bezeichnung unter Mathematikern umstritten ist. Aber wie gesagt: in der Schulmathematik ist sie absolut üblich.
> Trotzdem glaube ich, dass ich
>
> [mm]\mathbb{D}[/mm] = [mm]\mathbb{R}[/mm]
>
> schreiben muss, weil die Funktion keine Sprünge hat u.
> nicht unterbrochen ist, denn dann müssten die x-Stellen,
> da, wo die Funktion nicht definiert ist auch aus dem
> Def.bereich ausgeschlossen werden.
Das ist vollkommen richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man kann hier für jedes reelle x einen Funktionwswert berechnen, also ist es genau wie du sagst: der maximale Definitionsbereich ist [mm] \IR.
[/mm]
> Mehr weiß ich zum Definitionsbereich nicht zu sagen.
> Außer vielleicht noch, wenn es eine Textaufgabe mit einer
> Motorradfahrerin gäbe, dass die auch nicht "im zweiten,
> dritten u. vierten Quadranten fahren" kann.
> Reicht es denn einfach nur [mm]\mathbb{D} [/mm]=[mm] \mathbb{R}[/mm] zu
> schreiben?
Wie gesagt: das reicht hier völlig aus bzw. genau das wird im Zweifelsfall erwartet.
>
> 2 - Verhalten im [mm]\infty[/mm]
>
> für [mm]x\rightarrow +\infty[/mm] gilt [mm]f(x)\rightarrow +\infty[/mm]
>
> für [mm]x\rightarrow -\infty[/mm] gilt [mm]f(x)\rightarrow -\infty[/mm]
>
> oder andere Schreibweise
>
> [mm]\limes_{x \to+ \infty} f(x)\rightarrow +\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x \to- \infty} f(x)\rightarrow -\infty[/mm]
>
>
Das stimmt alles, und beide Schreibweisen sind möglich.
>
> 3 - Symmetrien
>
> h(x) hat gerade und ungerade Exponenten, deswegen gibt es
> keine der beiden Symmetrien.
Hier musst du aufpassen. Untersucht wird im Rahmen solcher Aufgaben heutzutage i.d.R. nur noch auf Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung. Insofern kann man hier nicht sagen, dass keine Symmetrie vorliegt (es ist hier sogar falsch*). Eine bei uns in Baden-Württemberg in Musterlösungen übliche Antwort an dieser Stelle heißt:
Keine Symmetrie erkennbar
> Überprüfung mit den "Formeln"
>
> Prüfg. auf Achsensymmetrie mit f(x)=f(-x)
>
> [mm]x^3+3x^2+4 \ne (-x)^3+3(-x)^2-4[/mm]
>
> nicht gleich, d.h. h(x) ist nicht symmetrisch zur y-Achse.
>
> Prüfg., ob punktsymmetrisch zu (0/0) mit f(x)=-f(-x)
>
> [mm]x^3+3x^2+4[/mm] = [mm]-[(-x)^3+3(-x)^2-4][/mm]
>
> [mm]x^3+3x^2+4[/mm] = [mm]x^3-3x^2+4[/mm]
>
> -4 [mm]\ne[/mm] 4 folglich gibt es auch keine Punktsymmetrie
>
> Reicht es zu gucken, ob alle Exponenten gerade oder alle
> ungerade sind u. das Ergebnis als Satz zu schreiben oder
> oder muss das mathematisch geprüft werden oder gar
> beides?
Hier wird in einer Abiturprüfung o.ä. sicherlich ein Nachweis verlangt. Ich würde es so machen (da kann man beide Fälle gleichzeitig mit abdecken):
[mm] f(-x)=(-x)^3+3*(-x)^2-4=-x^3+3x^2-4=-(x^3-3x^2+4)\ne\pm{f(x)}\Rightarrow\mbox{Keine Symmetrie erkennbar!}
[/mm]
*Jede ganzrationale Funktion 3. Ordnung ist zu ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch. Auf dieser Tatsache bauen im Prinzip die ![[]](/images/popup.gif) Cardanischen Formeln zur Lösung von Gleichungen 3. Ordnung auf.
>
> 4 - Nullstellen
>
> Ganzzahlige Teiler des absoluten Gliedes 1, -1, 2, -2,
> 4, -4
> eingesetzt in h(x)=0, dann finde ich bei
>
> h(-2)=0 eine Nullstelle [mm]N_1[/mm] (-2/0)
Ja, passt!
> Hier habe ich eine Frage zum Begriff NullSTELLE: Ist mit
> STELLE nicht immer nur der x-Wert gemeint?
> Wenn ja ist die Nullstelle x=-2 oder ist die Nullstelle
> die Koordinate (-2/0)?
Das ist eine gute Frage und in der Tat wäre die Angabe des x-Wertes völlig ausreichend. Dennoch hat es sich so eingebürgert, dass meist der ganze Punkt so wie du es angegeben hast aufgeschrieben wird. Das gehört aber sicherlich in den Bereich dieser ganz gewissen Nachlässigkeiten, die in der Schule oft aus Bequemlichkeit oder Gedankenlosigkeit Einzug halten. Zwar sind es Kleinigkeiten, aber in ihrer Gesamtheit tragen sie mit dazu bei, dass sich oftmals keine vernünftige Vorstellung der behandelten Stoffe bei den Schülern herausbildet. Insofern hast du hast völlig Recht: wenn nach Nullstellen gefragt ist, gibt man x-Werte an und fertig (zu Abakus winkend  ).
>
> Wenn die Fkt. max. 3 Nullstellen haben kann muss ich jetzt
> fragen, ob es noch weitere gibt. Ich versuche das mit
> Polyn.-Div. rauszubekommen:
>
> [mm](x^3+3x^2-4):[/mm] (x+2) = [mm]x^2+x-2[/mm]
>
> 0 = [mm]x^2+x-2[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = -2 (x+2)
>
> [mm]x_2[/mm] = 1 (x-1)
>
Alles richtig!
> Jetzt müsste (wenn nicht verrechnet) die Multiplikation
> aller 3 Linearfaktoren identisch sein mit der
> Funktionsgleichung:
>
> (x+2)(x-1)(x+2) [mm]=x^3+3x^2-4[/mm]
>
> [mm]x^3+3x^2+4x-8 \ne x^3+3x^2-4[/mm]
>
> Warum ist das nicht gleich?
> Ich versuche es erneut mit
>
> [mm](x+2)^2(x-1)[/mm] = [mm]x^3+3x^2-4[/mm]
>
> Ich scheine mich nicht verrechnet zu haben.
Doch, genau dies wird irgendwo beim Ausmultiplizieren passiert sein. Es ist
[mm] (x+2)^2*(x-1)=(x^2+4x+4)*(x-1)=x^3+4x^2+4x-x^2-4x-4=x^3+3x^2-4
[/mm]
Alles bestens also!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 29.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Hallo,
ich will nichts auswendig lernen, sondern mit dem, was ich weiß, es mir selber zusammenfriemeln. |
Ich weiß, dass die Steigung bei den Hoch- u. Tiefpunkten null ist, d.h. die Ableitung (gibt die Steigung an) also
h´(x)=0
0 [mm] =3x^2+6x
[/mm]
[mm] x_1=0 [/mm] h(0)=-4 (0/-4)
[mm] x_2=-2 [/mm] h(-2)=0 (-2/0)
Aber welcher von beiden ist nun Hochpkt. u. welcher Tiefpkt.?
Aus dem Thread zuvor (meine letzte Frage) habe ich mit allen ermittelten charakterischtischen Stellen den Graphen skizziert.
Und sehe, dass
(0/-4) ein Tiefpunkt u.
(-2/0) ein Hochpunkt sein muss
Und nun fällt mir auch wieder ein, dass 2 Bedingungen erfüllt sein müssen.
h´(x)=0 ist die notwendige Bedingung
Die andere wohl die hinreichende.
Und auf die will ich nun (mit eurer Hilfe, bitte) kommen.
Ich weiß nur, dass dafür die h´´(x) gebraucht wird. Aber welchen Wert
h´´(x) haben muss, um z.B. ein Hochpkt. zu sein, das weiß ich nicht, also probiere ich es aus:
h´´(0)= 6 6>0 mit skizziertem Graph also TP (0/-4)
h´´(0)=-6 -6<0 mit skizziertem Graph also HP (-2/0)
Liege ich richtig mit
hinreichende Bedingung für TP ist h´´(x)>0 und
hinreichende Bedingung für HP ist h´´(x)<0 ?
Und bitte noch eine 2.te Frage:
Warum h´(x)=0 gesetzt werden musste, das konnte ich ja erklären (siehe ganz oben), aber warum h´´(x)..... das weiß ich nicht. Welche Überlegungen muss ich anstellen, um auch die hinreichende Bedingung erklären zu können?
Ich freue mich immer wieder über diesen Matheraum, denn ohne euch stünde ich mutterseelenallein mit meinen ganzen vielen Fragen. DANKE
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 29.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> ich will nichts auswendig lernen, sondern mit dem, was ich
> weiß, es mir selber zusammenfriemeln.
> Ich weiß, dass die Steigung bei den Hoch- u. Tiefpunkten
> null ist, d.h. die Ableitung (gibt die Steigung an) also
>
> h´(x)=0
>
> 0 [mm]=3x^2+6x[/mm]
>
> [mm]x_1=0[/mm] h(0)=-4 (0/-4)
>
> [mm]x_2=-2[/mm] h(-2)=0 (-2/0)
>
> Aber welcher von beiden ist nun Hochpkt. u. welcher
> Tiefpkt.?
>
> Aus dem Thread zuvor (meine letzte Frage) habe ich mit
> allen ermittelten charakterischtischen Stellen den Graphen
> skizziert.
> Und sehe, dass
>
> (0/-4) ein Tiefpunkt u.
> (-2/0) ein Hochpunkt sein muss
>
> Und nun fällt mir auch wieder ein, dass 2 Bedingungen
> erfüllt sein müssen.
> h´(x)=0 ist die notwendige Bedingung
> Die andere wohl die hinreichende.
> Und auf die will ich nun (mit eurer Hilfe, bitte) kommen.
> Ich weiß nur, dass dafür die h´´(x) gebraucht wird.
> Aber welchen Wert
> h´´(x) haben muss, um z.B. ein Hochpkt. zu sein, das
> weiß ich nicht, also probiere ich es aus:
>
> h´´(0)= 6 6>0 mit skizziertem Graph also TP
> (0/-4)
> h´´(0)=-6 -6<0 mit skizziertem Graph also HP
> (-2/0)
>
> Liege ich richtig mit
> hinreichende Bedingung für TP ist h´´(x)>0 und
> hinreichende Bedingung für HP ist h´´(x)<0 ?
Richtig. Wobei die hinreichende Bedingung streng genommen $f'(x)=0$ und $f''(x)< 0$ bzw. $f''(x)> 0$ lautet, also die erste Ableitung mitgenommen werden muss. Das wird gerne vergessen, weil man bei einer Kurvendiskussion $f'(x)=0$ schon sichergestellt hat. Ich finde es nett, bei [mm] $f''(x)\neq [/mm] 0$ von der zusätzlichen Bedingung zu sprechen. Das aber nur nebenbei.
>
> Und bitte noch eine 2.te Frage:
> Warum h´(x)=0 gesetzt werden musste, das konnte ich ja
> erklären (siehe ganz oben), aber warum h´´(x)..... das
> weiß ich nicht. Welche Überlegungen muss ich anstellen,
> um auch die hinreichende Bedingung erklären zu können?
Hier weiss ich nicht, ob mir eine schuelmaessige Erlaeuterung einfaellt. Vielleicht kann es jemand anderes besser.
Als erstes Stelle ich mir vor, dass der Extrempunkt an der Stelle $x=0$ liegt: wenn nicht, dann stelle ich mir vor, dass ich den Graphen entsprechend nach links oder rechts verschoben wird. Das ist nicht wirklich wichtig,nur bequemer.
Desweiteren gehe ich davon aus, das $f$ eine ganz-rationale Funktion ist, also $f= [mm] a+bx+cx^{2}+\ldots [/mm] $ fuer gewisse reelle Zahlen [mm] $a,b,c,\ldots$, [/mm] so wie bei Deiner Funktion $h$, wobei in [mm] $\ldots$ [/mm] nur noch hoehere Potenzen von $x$ auftauchen sollen. Dann ist uebrigens $f'(x)= b+ [mm] 2cx+\ldots$ [/mm] und $f''(x)= [mm] 2c+\ldots$.
[/mm]
Nun sei angenommen, dass z.B. $f'(0)=0$ und $f''(0)>0$ gilt. Wegen $f'(0)= 0$ habe ich $b= 0$ und wegen $f''(0)>0$ ergibt sich $c>0$. Also ist $f(x)= [mm] a+cx^{2}+\ldots$. [/mm] Nun sage ich ohne die wuenschenswerte mathematische Genauigkeit, dass $f$ in einer hinreichend kleinen Umgebung der Stelle $0$ im Grunde gleich der Parabel $p(x)= [mm] a+cx^{2}$ [/mm] ist, welche wegen $c>0$ nach oben geoeffnet ist. Damit liegt an der Stelle $x=0$ ein Tiefpunkt vor. Fuer $f''(0)<0$ waere die Parabel dann nach unten geoeffnet und liefert einen Hochpunkt.
Dass ich $f$ als Parabel auffassen kann, liegt darin begruendet, dass im [mm] $\ldots$ [/mm] nur hoehere Potenzen von $x$ als die $2$.te auftauchen. Dass dieses Argument auch fuer Funktionen hinhaut, die nicht ganz-rational sind, ist im Satz von Taylor begruendet.
Es gibt uebrigens auch eine andere - meiner Meinung nach anschaulichere - zusaetzliche Bedingung: Es liegt ein Tiefpunkt vor, wenn $f'$ an der Stelle $x$ einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus hat (d.h. links von $x$ faellt der Graph, rechts steigt er: der Graph ist nach unten geoeffnet); es liegt ein Hochpunkt vor, wenn $f'$ an der Stelle $x$ einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat (d.h. links von $x$ steigt der Graph, rechts faelltt er: der Graph ist nach oben geoeffnet).
Leider ist dieses Kriterium umstaendlicher zu ueberpruefen.
>
> Ich freue mich immer wieder über diesen Matheraum, denn
> ohne euch stünde ich mutterseelenallein mit meinen ganzen
> vielen Fragen. DANKE
> Sabine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hallo hippias,
Du schriebst:
die hinreichende Bedingung ist streng genommen
> [mm]f'(x)=0[/mm] und [mm]f''(x)< 0[/mm]
> [mm]f'(x)=0[/mm] und [mm]f''(x)> 0[/mm]
> Ich finde es nett, bei [mm]f''(x)\neq 0[/mm]
> von der zusätzlichen Bedingung zu sprechen.
Von KarlMarx habe ich es anders bekommen, nämlich
notwendige B. f´(x)=0
hinreichende f´(x)=0 [mm] \bigwedge [/mm] [mm] f''(x)\neq [/mm] 0
Wie solls nun sein oder ists egal?
Wie du dir das zurechtbastelst, wenn du mal die Bedingungen vergessen haben könntest - toll, dass du das so kannst. Ich habe es versucht nachzuvollziehen, wie du es beschreibst u. bin auch sogar ganz durchgekommen, doch bleibts erstmal noch nicht richtig greifbar für mich. Und auch das, was Diophant beschrieb, Hallo auch Diophant, das war schon anschaulicher. Doch habe ich mich nun auch nach diesem "Studium" entschlossen konventionell weiterzumachen, d.h. es so zu machen wie die Schüler: einfach hinnehmen u. so machen. Und wenn ich genug gemacht habe, dann möchte ich mich nocheinmal euren beiden Ideen widmen und versuchen mehr zu verstehen, als einfach nur abzuspulen.
Nur eine einzige Frage noch.
Die letzten Tage ist hier ein Zettel entstanden auf dem stand:
f ´ (x) gibt die Steig. an u.
f´´ (x) gibt die Krümmung an.
Diophant schrieb: "Wir können nicht sagen, dass die zweite Ableitung die Krümmung ist, denn dazu ist der Begriff der Krümmung viel zu kompliziert."
Wenn es falsch ist, dann muss ich es aus dem Gedächtnis wieder streichen oder ist es nur grob u. stimmt nicht so ganz oder nur mit Ergänzungen? Wenn es so ist, dann ists in Klammern jetzt mal abgespeichert.
Schönen Abend euch allen
u. Gute Nacht
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 So 01.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo Sabine,
> Hallo hippias,
>
> Du schriebst:
> die hinreichende Bedingung ist streng genommen
>
> > [mm]f'(x)=0[/mm] und [mm]f''(x)< 0[/mm]
>
> > [mm]f'(x)=0[/mm] und [mm]f''(x)> 0[/mm]
>
> > Ich finde es nett, bei [mm]f''(x)\neq 0[/mm]
> > von der zusätzlichen Bedingung zu sprechen.
>
> Von KarlMarx habe ich es anders bekommen, nämlich
>
> notwendige B. f´(x)=0
>
> hinreichende f´(x)=0 [mm]\bigwedge[/mm] [mm]f''(x)\neq[/mm] 0
>
> Wie solls nun sein oder ists egal?
bei [mm] f''(x)\not=0 [/mm] weißt du nur, dass es ein Extremum gibt, aber nicht welches (bei einigen Aufgabenstellung ist halt nur von Interesse, dass es überhaupt eines gibt). Es ist aber beides richtig ausgedrückt, in hippias' Fall mehr spezialisiert.
>
> Wie du dir das zurechtbastelst, wenn du mal die Bedingungen
> vergessen haben könntest - toll, dass du das so kannst.
> Ich habe es versucht nachzuvollziehen, wie du es
> beschreibst u. bin auch sogar ganz durchgekommen, doch
> bleibts erstmal noch nicht richtig greifbar für mich. Und
> auch das, was Diophant beschrieb, Hallo auch Diophant, das
> war schon anschaulicher. Doch habe ich mich nun auch nach
> diesem "Studium" entschlossen konventionell weiterzumachen,
> d.h. es so zu machen wie die Schüler: einfach hinnehmen u.
> so machen. Und wenn ich genug gemacht habe, dann möchte
> ich mich nocheinmal euren beiden Ideen widmen und versuchen
> mehr zu verstehen, als einfach nur abzuspulen.
>
> Nur eine einzige Frage noch.
> Die letzten Tage ist hier ein Zettel entstanden auf dem
> stand:
> f ´ (x) gibt die Steig. an u.
> f´´ (x) gibt die Krümmung an.
> Diophant schrieb: "Wir können nicht sagen, dass die
> zweite Ableitung die Krümmung ist, denn dazu ist der
> Begriff der Krümmung viel zu kompliziert."
> Wenn es falsch ist, dann muss ich es aus dem Gedächtnis
> wieder streichen oder ist es nur grob u. stimmt nicht so
> ganz oder nur mit Ergänzungen? Wenn es so ist, dann ists
> in Klammern jetzt mal abgespeichert.
hier muss ich sagen, dass meiner Meinung nach Diophant es etwas zu genau nimmt. Man sagt ja zunächst auch: "Das Gras ist grün." Damit kann man jahrelang gut leben und irgendwann erfährt man dann auch, was "grün" eigentlich heißt. Ich finde 'Krümmung' passt gut.
Viele Grüße
Smarty
> Schönen Abend euch allen
> u. Gute Nacht
> Sabine
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 So 01.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> hier muss ich sagen, dass meiner Meinung nach Diophant es
> etwas zu genau nimmt. Man sagt ja zunächst auch: "Das Gras
> ist grün." Damit kann man jahrelang gut leben und
> irgendwann erfährt man dann auch, was "grün" eigentlich
> heißt. Ich finde 'Krümmung' passt gut.
Ah ja?
Nicht umsonst sagt man in der Schulmathematik Drehsinn. Es gibt nämlich einen ganz wesentlichen Unterschied zur ersten Ableitung und deren geometrischer Deutung als Steigung. Zwei Funktionen, derern erste Ableitungen an einer Stelle gleich sind haben dort parallele Tangenten, d.h., sie haben die gleiche Steigung. Dies gilt für die zweite Ableitung nicht. Ein Übereinstimmen von Zahlenwerten bei zweiten Ableitungen sagt nichts darüber aus, ob der Radius des Krümmungskreises gleich ist. Noch nicht einmal bei ein und derselben Funktion!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 So 01.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo Diophant,
> Moin,
>
> > hier muss ich sagen, dass meiner Meinung nach Diophant es
> > etwas zu genau nimmt. Man sagt ja zunächst auch: "Das
> Gras
> > ist grün." Damit kann man jahrelang gut leben und
> > irgendwann erfährt man dann auch, was "grün"
> eigentlich
> > heißt. Ich finde 'Krümmung' passt gut.
>
> Ah ja?
bitte schau dir auch den Abschnitt "Mehrfache Ableitung" im Artikel Differentialrechnung an. In diesem wird dann genau auf den von dir angesprochenen Krümmungsabschnitt verwiesen und auch das Wort Krümmung explizit verwendet.
> Nicht umsonst sagt man in der Schulmathematik Drehsinn. Es
> gibt nämlich einen ganz wesentlichen Unterschied zur
> ersten Ableitung und deren geometrischer Deutung als
> Steigung. Zwei Funktionen, derern erste Ableitungen an
> einer Stelle gleich sind haben dort parallele Tangenten,
> d.h., sie haben die gleiche Steigung. Dies gilt für die
> zweite Ableitung nicht. Ein Übereinstimmen von
> Zahlenwerten bei zweiten Ableitungen sagt nichts darüber
> aus, ob der Radius des Krümmungskreises gleich ist. Noch
> nicht einmal bei ein und derselben Funktion!
Ich hatte das schon verstanden, aber ich sagte ja auch nur, dass ich das Wort "Krümmung" an dieser Stelle passend finde und mir fällt auch kein passenderes im Moment ein.
Viele Grüße
Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 So 01.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
mit Verlaub: da steht dann halt mal wieder bei Wikipedia ein ziemlicher Bockmist. Wozu hat man denn deiner Ansicht nach in der Schule den Begriff Drehsinn eingeführt? Und was soll bei Wikipdia in dem zitierten Artikel das Wort interpretiert bedeuten?
In der Ebene versteht man unter Krümmung den Kehrwert des Radius des größten Kreises, der eine Kurve an einem bestimmten Punkt gerade nocht nicht schneidet, aber diesen Punkt als gemeinsamen Punkt mit der Kurve besitzt.
Wenn also (ich wiederhole mich) die zweite Ableitung die Krümmung wäre, dann müsste ihr Zahlenwert eben diese Bedeutung haben. Und dem ist nicht so!
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Hallo,
> ich will nichts auswendig lernen, sondern mit dem, was ich
> weiß, es mir selber zusammenfriemeln.
> Ich weiß, dass die Steigung bei den Hoch- u. Tiefpunkten
> null ist, d.h. die Ableitung (gibt die Steigung an) also
>
> h´(x)=0
>
> 0 [mm]=3x^2+6x[/mm]
>
> [mm]x_1=0[/mm] h(0)=-4 (0/-4)
>
> [mm]x_2=-2[/mm] h(-2)=0 (-2/0)
>
> Aber welcher von beiden ist nun Hochpkt. u. welcher
> Tiefpkt.?
>
> Aus dem Thread zuvor (meine letzte Frage) habe ich mit
> allen ermittelten charakterischtischen Stellen den Graphen
> skizziert.
> Und sehe, dass
>
> (0/-4) ein Tiefpunkt u.
> (-2/0) ein Hochpunkt sein muss
>
> Und nun fällt mir auch wieder ein, dass 2 Bedingungen
> erfüllt sein müssen.
> h´(x)=0 ist die notwendige Bedingung
> Die andere wohl die hinreichende.
> Und auf die will ich nun (mit eurer Hilfe, bitte) kommen.
> Ich weiß nur, dass dafür die h´´(x) gebraucht wird.
> Aber welchen Wert
> h´´(x) haben muss, um z.B. ein Hochpkt. zu sein, das
> weiß ich nicht, also probiere ich es aus:
>
> h´´(0)= 6 6>0 mit skizziertem Graph also TP
> (0/-4)
> h´´(0)=-6 -6<0 mit skizziertem Graph also HP
> (-2/0)
>
> Liege ich richtig mit
> hinreichende Bedingung für TP ist h´´(x)>0 und
> hinreichende Bedingung für HP ist h´´(x)<0 ?
Ja, das ist alles richtig!
>
> Und bitte noch eine 2.te Frage:
> Warum h´(x)=0 gesetzt werden musste, das konnte ich ja
> erklären (siehe ganz oben), aber warum h´´(x)..... das
> weiß ich nicht. Welche Überlegungen muss ich anstellen,
> um auch die hinreichende Bedingung erklären zu können?
>
Ich erkläre das meinen Schülern etwas 'leger' immer so: die anschauliche Bedeutung der ersten Ableitung ist ja diejenige der Steigung. Dazu braucht es jedoch ein Koordinatensystem und ein Schaubild, was man wiederum für eine Funktionsuntersuchung bzw. für den Begriff Funktion natürlich keinesfalls braucht. Wenn wir also Funktionen einfach mal als Zuordnungen vom Typ [mm] \IR\to\IR [/mm] betrachten, also in dem Sinne, dass unsere Funktionen x-Wert aus einer Urbildmenge (x-Achse) auf eine Bildmenge (y-Achse) abbilden, dann macht der Begriff Steigung keinen Sinn mehr und man macht sich dann klar: die erste Ableitung beschreibt schlicht und ergreifend, wie sich eine Funktion jetzt gerade bzw. an einer bestimmten Stelle ändert. Wir sagen: die erste Ableitung ist die momentane Änderungsrate, kurz: Änderung einer Funktion. Jetzt wirds wirklich flapsig, denn die zweite Ableitung ist dann die Änderung der Änderung (an dieser Stelle schauen mich regelmäßig fragende Schüleraugen an und ein wenig besorgt sind sie wohl auch, ob noch alles soweit ok ist  ). Denn was soll man sich unter Änderung der Änderung denn bitte auch vorstellen? Flugs jonglieren wir ein wenig und versetzen unsere Funktion wieder in ein Koordinatensystem, wobei die erste Ableitung wieder wie gewohnt die Steigung ist und aus der Änderung der Änderung ist die Änderung der Steigung geworden! Von nun an ist es einfach. Mache dir klar: das Schaubild einer Funktion, deren Richtung sich stark ändert, muss auch stark gekrümmt sein, wenn sich die Richtung nur wenig ändert, haben wir auch einen wenig gekrümmten Verlauf des Schaubilds. Wir können nicht sagen, dass die zweite Ableitung die Krümmung ist, denn dazu ist der Begriff der Krümmung viel zu kompliziert. Wir können uns auf diese Weise aber relativ einfach klar machen, dass dort, wo ein Schaubild nach links gekrümmt ist, die zweite Ableitung positiv, bei Rechtskrümmung dementsprechend negativ ist. Wir nennen diese Information in der Schule gerne Drehsinn. Jetzt mache dir zum Schluss klar, dass ein Schaubild in einem Hochpunkt stets rechtsgekrümmt und in einem Tiefpunkt stets linksgekrümmt sein muss (wenn man das Schaubild in Richtung der x-Achse betrachtet). So bekommt dieses hinreichende Kriterium einen anschaulichen Sinn.
Und bevor Einwände kommen sage ich gleich der Vollständigkiet halber: meine ganzen Ausführungen beziehen sich ausschließlich auf sog. innere Extrema, das sind eben die an bei denen f'(x)=0 gilt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 29.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hi Diophant,
> [mm]f(-x)=(-x)^3+3*(-x)^2-4=-x^3+3x^2-4=-(x^3-3x^2+4)\ne\pm{f(x)}\Rightarrow\mbox{Keine Symmetrie erkennbar!}[/mm]
sehr kompakt u. konzentriert
> > 4 - Nullstellen
> >
> > Ganzzahlige Teiler des absoluten Gliedes 1, -1, 2, -2,
> > 4, -4
> > eingesetzt in h(x)=0, dann finde ich bei
> >
> > h(-2)=0 eine Nullstelle [mm]N_1[/mm] (-2/0)
>
> > Wenn die Fkt. max. 3 Nullstellen haben kann muss ich
> > jetzt mit Polyn.-Div. weitermachen (wie oben geschehen) oder
sollte man alle anderen Teiler auch in h(x)=0 einsetzen u. so weitersuchen?
Dann würde man mit h(1)=0 eine weitere Nullstelle finden.
Oder ist der Weg egal?
> > Ich scheine mich nicht verrechnet zu haben.
> Doch, genau dies wird irgendwo beim Ausmultiplizieren
> passiert sein.
Stimmt, grrrrrr, ich hatte ein einziges x nicht mitaufgeschrieben.
Gruß
Sabine
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Hallo,
> Hi Diophant,
>
> >
> [mm]f(-x)=(-x)^3+3*(-x)^2-4=-x^3+3x^2-4=-(x^3-3x^2+4)\ne\pm{f(x)}\Rightarrow\mbox{Keine Symmetrie erkennbar!}[/mm]
>
> sehr kompakt u. konzentriert
>
>
>
>
> > > 4 - Nullstellen
> > >
> > > Ganzzahlige Teiler des absoluten Gliedes 1, -1, 2,
> -2,
> > > 4, -4
> > > eingesetzt in h(x)=0, dann finde ich bei
> > >
> > > h(-2)=0 eine Nullstelle [mm]N_1[/mm] (-2/0)
> >
> > > Wenn die Fkt. max. 3 Nullstellen haben kann muss ich
> > > jetzt mit Polyn.-Div. weitermachen (wie oben geschehen)
> oder
> sollte man alle anderen Teiler auch in h(x)=0 einsetzen u.
> so weitersuchen?
Das mit dem Einsetzen ist ja eh Glücksache. D.h., sobald du das Polynom in quadratische oder lineare Faktoren zerlegt hast, hast du gewonnen: denn für die linearen kann man durch Äquivalenzumformungen und für die quadratischen per abc-Formel die Nullstellen berechnen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:10 Do 29.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > geg.: [mm]h(x)=x^3+3x^2-4[/mm]
> >
> > ges.:
> > 1 - Definitionsbereich
> > 2 - Verhalten im Unendlichen
> > 3 - Symmetrien
> > 4 - Nullstellen
> >
> > Schönen Feiertag,
> >
> > ich erbitte freundlich eine Antwort auf Schulniveau
> > (weiterführende Schule).
> >
> >
> > 1 - Definitionsbereich
> >
> > Hiermit habe ich noch nie wirklich richtig mit zu tun
> > gehabt. Ich weiß zwar, wenn es einen Nenner gäbe,
> dass
> > der nicht Null sein darf u. dass man das x oder die
> x-se
> > ermittelt, mit denen der Nenner Null wird um genau diese
> x
> > aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
>
> Ja, das ist ein gutes Beispiel für einen Grund, weshalb
> die Definitionsmenge irgendwie eingeschränkt ist. Es gibt
> einige solcher Gründe, die von der Unmöglichkeit
> mathematischer Operationen für bestimmte Werte oder auch
> ganze Intervalle herrühren. Aber ganz wichtig: ein
> Definitionsbereich kann auch aus völlig willkürlichen
> Gründen eingeschränkt sein. Deshalb nennt man das, auf
> was du die Funktion hier untersuchst, in der
> Schulmathematik gerne maximaler Definitionsbereich, wobei
> diese Bezeichnung unter Mathematikern umstritten ist. Aber
> wie gesagt: in der Schulmathematik ist sie absolut
> üblich.
>
> > Trotzdem glaube ich, dass ich
> >
> > [mm]\mathbb{D}[/mm] = [mm]\mathbb{R}[/mm]
> >
> > schreiben muss, weil die Funktion keine Sprünge hat u.
> > nicht unterbrochen ist, denn dann müssten die
> x-Stellen,
> > da, wo die Funktion nicht definiert ist auch aus dem
> > Def.bereich ausgeschlossen werden.
>
> Das ist vollkommen richtig.
>
> Man kann hier für jedes reelle x einen Funktionwswert
> berechnen, also ist es genau wie du sagst: der maximale
> Definitionsbereich ist [mm]\IR.[/mm]
>
> > Mehr weiß ich zum Definitionsbereich nicht zu sagen.
> > Außer vielleicht noch, wenn es eine Textaufgabe mit
> einer
> > Motorradfahrerin gäbe, dass die auch nicht "im
> zweiten,
> > dritten u. vierten Quadranten fahren" kann.
> > Reicht es denn einfach nur [mm]\mathbb{D} [/mm]=[mm] \mathbb{R}[/mm] zu
> > schreiben?
>
> Wie gesagt: das reicht hier völlig aus bzw. genau das wird
> im Zweifelsfall erwartet.
>
> >
> > 2 - Verhalten im [mm]\infty[/mm]
> >
> > für [mm]x\rightarrow +\infty[/mm] gilt [mm]f(x)\rightarrow +\infty[/mm]
>
> >
> > für [mm]x\rightarrow -\infty[/mm] gilt [mm]f(x)\rightarrow -\infty[/mm]
>
> >
> > oder andere Schreibweise
> >
> > [mm]\limes_{x \to+ \infty} f(x)\rightarrow +\infty[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x \to- \infty} f(x)\rightarrow -\infty[/mm]
> >
> >
>
> Das stimmt alles, und beide Schreibweisen sind möglich.
>
>
> >
> > 3 - Symmetrien
> >
> > h(x) hat gerade und ungerade Exponenten, deswegen gibt
> es
> > keine der beiden Symmetrien.
>
> Hier musst du aufpassen. Untersucht wird im Rahmen solcher
> Aufgaben heutzutage i.d.R. nur noch auf Achsensymmetrie zur
> y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung. Insofern kann man
> hier nicht sagen, dass keine Symmetrie vorliegt (es ist
> hier sogar falsch*). Eine bei uns in Baden-Württemberg in
> Musterlösungen übliche Antwort an dieser Stelle heißt:
>
> Keine Symmetrie erkennbar
>
> > Überprüfung mit den "Formeln"
> >
> > Prüfg. auf Achsensymmetrie mit f(x)=f(-x)
> >
> > [mm]x^3+3x^2+4 \ne (-x)^3+3(-x)^2-4[/mm]
> >
> > nicht gleich, d.h. h(x) ist nicht symmetrisch zur
> y-Achse.
> >
> > Prüfg., ob punktsymmetrisch zu (0/0) mit f(x)=-f(-x)
> >
> > [mm]x^3+3x^2+4[/mm] = [mm]-[(-x)^3+3(-x)^2-4][/mm]
> >
> > [mm]x^3+3x^2+4[/mm] = [mm]x^3-3x^2+4[/mm]
> >
> > -4 [mm]\ne[/mm] 4 folglich gibt es auch keine Punktsymmetrie
> >
> > Reicht es zu gucken, ob alle Exponenten gerade oder
> alle
> > ungerade sind u. das Ergebnis als Satz zu schreiben
> oder
> > oder muss das mathematisch geprüft werden oder gar
> > beides?
>
> Hier wird in einer Abiturprüfung o.ä. sicherlich ein
> Nachweis verlangt. Ich würde es so machen (da kann man
> beide Fälle gleichzeitig mit abdecken):
>
> [mm]f(-x)=(-x)^3+3*(-x)^2-4=-x^3+3x^2-4=-(x^3-3x^2+4)\ne\pm{f(x)}\Rightarrow\mbox{Keine Symmetrie erkennbar!}[/mm]
>
> *Jede ganzrationale Funktion 3. Ordnung ist zu ihrem
> Wendepunkt punktsymmetrisch. Auf dieser Tatsache bauen im
> Prinzip die
> Cardanischen Formeln
> zur Lösung von Gleichungen 3. Ordnung auf.
>
> >
> > 4 - Nullstellen
> >
> > Ganzzahlige Teiler des absoluten Gliedes 1, -1, 2, -2,
> > 4, -4
> > eingesetzt in h(x)=0, dann finde ich bei
> >
> > h(-2)=0 eine Nullstelle [mm]N_1[/mm] (-2/0)
>
> Ja, passt!
>
> > Hier habe ich eine Frage zum Begriff NullSTELLE: Ist mit
> > STELLE nicht immer nur der x-Wert gemeint?
> > Wenn ja ist die Nullstelle x=-2 oder ist die Nullstelle
> > die Koordinate (-2/0)?
>
> Das ist eine gute Frage und in der Tat wäre die Angabe des
> x-Wertes völlig ausreichend. Dennoch hat es sich so
> eingebürgert, dass meist der ganze Punkt so wie du es
> angegeben hast aufgeschrieben wird.
Hat es nicht! (Oder vielleicht doch, aber dann machen die "Eingebürgerten" es falsch.)
Die Nullstelle ist einfach nur eine Zahl. Basta!
(An Stelle von "Basta": siehe Definition "Nullstelle".)
Wenn Definitionen neuerdings Auslegungssache sind, könnte ich gleich Fächer unterrichten, in denen es nur darauf ankommt, in Gruppenarbeit bunte Plakate zu gestalten oder mit einem Rollenspiel die Jahresnote zu retten.
Ich habe fertig.
Gruß Abakus
>
> >
> > Wenn die Fkt. max. 3 Nullstellen haben kann muss ich
> jetzt
> > fragen, ob es noch weitere gibt. Ich versuche das mit
> > Polyn.-Div. rauszubekommen:
> >
> > [mm](x^3+3x^2-4):[/mm] (x+2) = [mm]x^2+x-2[/mm]
> >
> > 0 = [mm]x^2+x-2[/mm]
> >
> > [mm]x_1[/mm] = -2 (x+2)
> >
> > [mm]x_2[/mm] = 1 (x-1)
> >
>
> Alles richtig!
>
> > Jetzt müsste (wenn nicht verrechnet) die Multiplikation
> > aller 3 Linearfaktoren identisch sein mit der
> > Funktionsgleichung:
> >
> > (x+2)(x-1)(x+2) [mm]=x^3+3x^2-4[/mm]
> >
> > [mm]x^3+3x^2+4x-8 \ne x^3+3x^2-4[/mm]
> >
> > Warum ist das nicht gleich?
> > Ich versuche es erneut mit
> >
> > [mm](x+2)^2(x-1)[/mm] = [mm]x^3+3x^2-4[/mm]
> >
> > Ich scheine mich nicht verrechnet zu haben.
>
> Doch, genau dies wird irgendwo beim Ausmultiplizieren
> passiert sein. Es ist
>
> [mm](x+2)^2*(x-1)=(x^2+4x+4)*(x-1)=x^3+4x^2+4x-x^2-4x-4=x^3+3x^2-4[/mm]
>
> Alles bestens also!
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 21:21 Do 29.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo abakus,
ich gebe dir ja völlig Recht. Aber ich muss dir halt aus meiner Erfahrung aus 20 Jahren Nachhilfeunterricht sagen: die Mehrzahl der Lehrer macht es so, die Schüler damit auch und auch in etlichen Musterlösungen findet man die Nullstellen am Ende als Punkt geschrieben. Ich wollte dies keinesfalls verteidigen, und ich glaube dir ja auch, dass du es anders hältst. Aber meine Erfahrung kannst du mir doch nicht ernsthaft per Korrekturmitteilung 'zurechtrücken'?
Gruß, Diophant
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