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| Aufgabe | Untersuchen Sie die angegebene Folge auf Konvergenz und berechnen Sie ggf. ihren Grenzwert.
[mm] C_{n}:= \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}
[/mm]
Hinweis: Für die Folge [mm] C_{n} [/mm] überlege man sich induktiv, dass [mm] C_{2^{n}}\ge 1+\bruch{n}{2} [/mm] gilt! |
Hallo Leute, hänge bei dir dieser Folge, die ich auf Konvergenz überprüfen soll...
Ich weiß, dass es sich um eine harmonische Reihe handelt, die divergiert. Grenzwert geht gegen [mm] \infty
[/mm]
Wie man diese Folge mit dem Cauchy Kriterium beweist hab ich mir angeschaut und konnte es auch nachvollziehen.
Nun soll ich die Folge aber laut Hinweis mit vollständiger Induktion beweisen.
Mein Lösungsansatz:
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n}}\bruch{1}{k} \ge 1+\bruch{n}{2}
[/mm]
Induktionsanfang:
p(0)=wahr
[mm] \summe_{k=1}^{2^{0}}\bruch{1}{k} \ge 1+\bruch{0}{2} \gdw 1\ge1 [/mm]
Induktionsbehauptung:
p(m) [mm] \Rightarrow [/mm] p(m+1)
[mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} \ge 1+\bruch{m+1}{2}
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^{m+1}}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} \ge 1+\bruch{m+1}{2} [/mm]
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt: [mm] \summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k} \ge 1+\bruch{m}{2}
[/mm]
Also:
= [mm] 1+\bruch{m}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{m+1}}\ge 1+\bruch{m+1}{2} [/mm]
= [mm] \bruch{2}{2^{m+1}}\ge1
[/mm]
= [mm] 2\ge 2^{m+1}
[/mm]
= [mm] 1\ge 2^{m}
[/mm]
= [mm] 0\ge [/mm] m
Da kann doch was nicht stimmen, kann mir jemand helfen wo der Fehler liegt?
Gruß
schwenker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Umformung der Summe ist falsch!
$ [mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2^m+1}^{2*2^{m}}\bruch{1}{k} [/mm] $
die zweite summe ist [mm] (\bruch{1}{2^m+1}+\bruch{1}{2^m+2}+.....\bruch{1}{2^{2*2m}}
[/mm]
da sind 2*m Summanden ! nicht einer.
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Danke leduart für deine schnelle Hilfe,
[mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}= \summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2^m+1}^{2\cdot{}2^{m}}\bruch{1}{k}
[/mm]
Die erste Summe ist weiterhin = [mm] 1+\bruch{m}{2} [/mm]
Die zweite Summe hat ja [mm] 2^{m} [/mm] Summanden, wenn ich diese Summe abschätze bekomme ich [mm] 2^m \cdot \bruch{1}{2^m\cdot2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] 1+\bruch{m}{2} +\bruch{1}{2} \ge 1+\bruch{m+1}{2}
[/mm]
$ [mm] m\ge [/mm] m $
stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] 1+\bruch{m}{2} +\bruch{1}{2} \ge 1+\bruch{m+1}{2} [/mm] $
da steht ein = nicht [mm] \ge, [/mm] und was soll das [mm] m\ge [/mm] m? die Abschatzung liegt vorher, indem du die Summe durch 1/2 abschätzt. dazu brauchst du ne kurze Begründung-
Gruss leduart
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Also das [mm] \ge [/mm] hab ich da stehen weil ich doch beweisen soll, dass die Summe [mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} \ge 1+\bruch{m+1}{2} [/mm] ist, laut Hinweis und anschließendem Induktionsschluss. Die Summe spalte ich nun auf in [mm] \summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}} [/mm]
Normalerweise würde ich wie vorher die erste Summe durch die Induktionsvoraussetzung ersetzen. Ich versuchs nun aber mal durch abschätzen.
erster Summand: [mm] 2^m [/mm] Summanden, also [mm] 2^m\cdot \bruch{1}{2^m} [/mm] = 1
zweiter Summand: [mm] 2^m [/mm] Summanden, also [mm] 2^m\cdot\bruch{1}{2^m\cdot2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Also hab ich nun doch zu beweisen, dass [mm] 1+\bruch{1}{2} \ge 1+\bruch{m+1}{2} [/mm] ist?
Wenn ich das nun auflöse bekomme ich [mm] m\ge0 [/mm] raus. Ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> Also das [mm]\ge[/mm] hab ich da stehen weil ich doch beweisen soll,
> dass die Summe [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} \ge 1+\bruch{m+1}{2}[/mm]
> ist, laut Hinweis und anschließendem Induktionsschluss.
> Die Summe spalte ich nun auf in
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}[/mm]
>
> Normalerweise würde ich wie vorher die erste Summe durch
> die Induktionsvoraussetzung ersetzen. Ich versuchs nun aber
> mal durch abschätzen.
>
> erster Summand: [mm]2^m[/mm] Summanden, also [mm]2^m\cdot \bruch{1}{2^m}[/mm]
> = 1
> zweiter Summand: [mm]2^m[/mm] Summanden, also
> [mm]2^m\cdot\bruch{1}{2^m\cdot2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Also hab ich nun doch zu beweisen, dass [mm]1+\bruch{1}{2} \ge 1+\bruch{m+1}{2}[/mm]
> ist?
>
> Wenn ich das nun auflöse bekomme ich [mm]m\ge0[/mm] raus. Ist das
> korrekt?
Was hast du davon?
Es bringt dir gar nichts zu zeigen, dass die Summe [mm] \geq 1+\frac{1}{2} [/mm] ist. Du möchtest doch deine Induktionsbehauptung zeigen. Dazu ist es schon ganz richtig, dass für den ersten Teil der Summe die IV verwendest und für den zweiten alle Glieder mit dem kleinsten Summanden abschätzt:
[mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k}+ \summe_{k=2^{m}+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} \ge \frac{m}{2}+2^m\cdot\bruch{1}{2^{m+1}}=\frac{m+1}{2}
[/mm]
Gruß, pyw
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> Es bringt dir gar nichts zu zeigen, dass die Summe [mm]\geq 1+\frac{1}{2}[/mm]
> ist. Du möchtest doch deine Induktionsbehauptung zeigen.
> Dazu ist es schon ganz richtig, dass für den ersten Teil
> der Summe die IV verwendest und für den zweiten alle
> Glieder mit dem kleinsten Summanden abschätzt:
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k}+ \summe_{k=2^{m+1}}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} \ge \frac{m}{2}+2^m\cdot\bruch{1}{2^{m+1}}=\frac{m+1}{2}[/mm]
>
ok wenn ich nun damit weiterrechne:
[mm] \frac{m}{2}+2^m\cdot\bruch{1}{2^{m+1}}=\frac{m+1}{2} [/mm]
[mm] \gdw\bruch{m}{2}+\bruch{1}{2}=\frac{m+1}{2} [/mm]
[mm] \gdw$m+1=m+1$
[/mm]
[mm] \gdw$m=m$
[/mm]
m=m ist ja wahr, ist damit die Induktion bewiesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> > Es bringt dir gar nichts zu zeigen, dass die Summe [mm]\geq 1+\frac{1}{2}[/mm]
> > ist. Du möchtest doch deine Induktionsbehauptung zeigen.
> > Dazu ist es schon ganz richtig, dass für den ersten Teil
> > der Summe die IV verwendest und für den zweiten alle
> > Glieder mit dem kleinsten Summanden abschätzt:
> > [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k}+ \summe_{k=2^{m}+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} \ge \frac{m}{2}+2^m\cdot\bruch{1}{2^{m+1}}=\frac{m+1}{2}
[/mm]
>
> >
>
> ok wenn ich nun damit weiterrechne:
Du brauchst gar nicht weiterrechnen. Die Induktionsbehauptung steht schon längst da! Mach dir doch bitte noch einmal klar, was du überhaupt zeigen willst.
>
> [mm]\frac{m}{2}+2^m\cdot\bruch{1}{2^{m+1}}=\frac{m+1}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw\bruch{m}{2}+\bruch{1}{2}=\frac{m+1}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]m+1=m+1[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]m=m[/mm]
>
> m=m ist ja wahr, ist damit die Induktion bewiesen?
>
>
>
Gruß
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