hauptsatz diff/int rechnung 2 < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 22.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
beim Beweis des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung greifen viele Quelle auf die Darstellung des Integrals [mm] \integral_{x}^{x+h}{f(x) dx} [/mm] als f(z) * h zurück.
meine Frage ist eigentlich nur
beim Beweis von metroid
http://img3.imagebanana.com/img/h5bya17h/d.JPG
wird f(z) immer so dargestellt, dass es auf dem Grapf von f(x) liegt, dann gilt aber doch eigentlich die ganze Zeit schon f(z) = f(x) und nicht erst wenn h gegen 0 geht oder?? DAbei bin ich mir bewusst, dass es sich einmal um einen Punkt und einmal um einen kompletten Graph handelt
deswegen meine Frage muss f(z) auf dem Graph liegen?? Denn der Punkt ist doch eigentlich, dass f(z) die gesamte zeit auf der Integrandenfunktion läuft wie hier:
http://img3.imagebanana.com/img/74iimmor/h.jpg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 22.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
kann mir da echt NIEMAND hier helfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Kroni |
> kann mir da echt NIEMAND hier helfen??
Hallo,
ich möchte dich darauf hinweisen, dass es sich hier um eine Community handelt, die freiwillig Fragen beantwortet und dies in seiner Freizeit macht.
Ich bin mir sicher, dass dir jemand helfen kann, aber deine Frage ist doch erst ein paar Stunden alt, und es kann doch durchaus mal vorkommen, dass insbesondere an einem Tag wie heute, viele Leute nicht vor dem PC sitzen. Es ist zwar oft so, dass hier sehr oft sehr schnell auf Fragen reagiert wird, aber sollte dies einmal nicht der Fall sein, dann warte doch das nächste mal einfach ein bisschen länger ab, bevor du mit diesen Mitteilungen ankommst. =)
Viele Grüße,
Kroni
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:42 So 22.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
also falls die Fragestellugn unklar ist einfach bescheid sagen ..bitte^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du willst also eine Erklärung für die "Rechteckmethode", warum man ein f(z) nimmt, und warum nicht immer gilt f(x)=f(z)?!
Gut. f(x), dabei ist x die Variable, die jeden beliebigen Wert annehmen kann. Jetzt sagt man, dass das Integral von x bis x+h über f(x) dx, also der Fläche unterhalb des Graphen von f mit den Grenzen x und x+h, gleich einem FLächeininhalt eines Rechtecks sei. Dabei ist der Unterschied, dass dein z jetzt ein fester Punkt ist. Es "läuft" nicht, so wie das x.
Der Punkt (z;f(z)) liegt sicher immer auf dem Graphen von f...am einfachsten ist es, wenn ich dir die Idee hinter den "Rechtecken" erkläre:
Nimm dir die eine Funktion f her. Dann zeichnest du die, und begrenzt die zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1. [/mm] Dann willst du den Flächeninhalt bestimmen. Dazu unterteilst du dir die Fläche in viele Teilflächen. Diese kannst du dann als Rechtecke darstellen. Sei h die Breite einer solchen Teilfläche. Dann nimmst du dir einen Punkt (z;f(z)) her, und näherst die Fläche unterhalb des Graphen durch das Rechteck mit dem Flächeninhalt f(z)*h an. (f(z) ist die Höhe, h die Breite des Rechtecks). Dann hast du ganz diskrete Punkte (z;f(z)), für die du den Flächeninhalt ausrechnen kannst. Dann summierst du alle Teilflächen auf, und hast dann den Flächeininhalt unterhalb des Graphen von f angenähert. Jetzt gibt es einmal die Ober und die Untersumme. Für beide kannst du dann die SUmme aufschreiben. Jetzt lässt du die Breite h eines jeden Rechtecks gegen Null gehen, und guckst, was rauskommt. Wenn beides mal die selbe Fläche rauskommt, danns agt man, dass das Integral existiert, und der Wert, der rauskommt, falls er denn endlich ist, nennt man dann den Wert des Integrals.
Verstehst du jetzt, was es mit dem z auf sich hat?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 23.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich versteh vollkommen was du meinst aber das war nicht die Frage.
Ober und Untersumme werden schon im ersten Kapitel des Lernpfads behandelt. Aber das konntest du nicht wissen ^^.Der Puntk liegt eigentlich dort:
es geht und die Ableitung von
[mm] \integral_{a}^{x+h}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{x}{f(x) dx} [/mm] dass wird vollkommen richtig vereinfach zu
[mm] \integral_{x}^{x+h}{f(x) dx}
[/mm]
jetzt wird untersucht was passiert, wenn sich h gegen 0 streckt. Dazu formt man das Integral in ein Rechteck um, welches imemr genau den Flächeninhalt des jeweiligen Integrals ( Anlage) annimmt. Die Breite ist durch h gegeben die Höhe ist f(z) sie ergibt sich aus
[mm] \bruch{\integral_{x}^{x+h}{f(x) dx}}{h} [/mm] = f(z)
wenn [mm] \limes_{h\rightarrow\\0} [/mm] dann geht logischerweise [mm] \limes_{z\rightarrow\\x} [/mm] und [mm] \limes_{f(z)\rightarrow\\f(x)} [/mm] wobei f(x) hier nur ein einzelner Puntk ist nämlich die unetre Grenze des Integrals und deswegen verstehe ich nicht weshalb man dann Ableitung der Flächenfunktion also f(z) *h mit der Integrandenfunktion gleichsetzt. Weil f(z) einfach bei [mm] \limes_{h\rightarrow\\0} [/mm] dem PUNKT f(x) entgegenstrebt aber nicht dem Graph, auf ihm liegt es nämlich schon die gesamte zeit
ist das jetzt vielleicht etwas klarer geworden??
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Mo 23.06.2008 | | Autor: | chrisno |
nein. Wo ist das Problem? Das das Rehteck im Grenzwert zu einer Strecke wird?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 23.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
nein das problem liegt eigentlich dar, dass f(z) ja gegen f(x) strebt , aber f(x) nur EIN PUNKT ist und nicht der Grapg. Es ist nur ein Puntk auf dem Graph von f(x) man könnt egnauso sagen, dass f(z) gegen den Puntk f(l) geht..wenn an die untere grenze als Puntk l defineirt deswegen hab cihd as gefühl, dass man dies nur als x defineirt hat um danch von f(x9 reden zu könne..wird das verständlich??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 23.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich mein ganz anschaulich gesehn ist es wie hier:
http://home.eduhi.at/teacher/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm
im letzten oder vorletzten applet.
f(z) oder wie ind e rquelle dme griechischen Buchstaben ^^ geht gegen f(x) wobei f(x) aber doch nicht die Intergfunktion sondern nur der Untere Punkt des Intervalls des Integrals ist ..ist das irgendwie klar?? wo ist denn da mein denkfehler..in dme beweis wird ja wohl kein fehler sein.. danke für eure hilfe shcon mal im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hoffe, ich hab dein Problem verstanden
Wenn man die Ableitung f'(x) irgendeiner funktion definiert, definiert man sie IMMER an einem festen Punkt z. Bsp x1 und [mm] f'(x1)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x1+h)-f(x1)}{h}
[/mm]
Wenn die Funktion wie z. Bsp [mm] f(x^2) [/mm] dann den Wert f'(x1)=2x1 liefert, unabhängig von der Wahl von x1 dann verallgemeinert man und schreibt die Ableitungsfkt. f'(x), die dann für alle x im Definitionsbereich gilt, für die der GW. existiert und 2x ist.
jetzt hast du die etwas ungewöhnliche fkt, [mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(z) dz}
[/mm]
F(x) hängt von der oberen Grenze ab.
Und jetzt zeigt man wieder für einen festen Punkt x1 dass F'(x1)=f(x1) ist unabhängig von a. Da man das wieder ohne Einschränkung auf ein bestimmtes x1 gemacht hat, kann man es wieder für alle x hinschreiben, und hat dann F'(x)=f(x)
Und du hast recht, man hat es an einem festen Punkt x gezeigt, aber der Beweis benutzt die spezielle Eigenschaft von x1 nicht.
Wenn du es nur für den Punkt x1=2 gezeigt hättest, hättest du auch nur F'(2)=f(2)
Zur Vorstellung. Am einfachsten f(x)=konst=k
Dann ist klar, dass der Flächeninhalt auf jedem intervall gleich viel steigt, Dass also [mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{k dz} [/mm] F'(x1)=F'(x2)=k ist.
Wenn du dir erstmal f(x) aus lauter kleinen konstanten Stücken vorstellst ist dann auch klar, dass F' umso größer ist, je größer f(x) ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 24.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die antwort, du hast meine Fragestellung prinzipiell verstanden. Aber mir sind noch ein paar Sachen unklar. Also das Integral dass du beschreibst mit [mm] \integral_{a}^{x}{f(x) dx} [/mm] ist das gleichzusetzten mit dme Integral aus dem Beweis [mm] \integral_{x}^{x+h}{f(x) dx} [/mm] ?
weil am Anfang wird ja erst einmal zu diesem Integral vereinfacht.
Es wird also im Prinzip die Ableitung der Integralfunktion an der Stelle z gesucht, wobei z eien variable ist und somit die erhaltene Ableitugn für alle z des Definitionsbereichs gilt??
f(z) also der Wert den man durch den Mittelwertsatz der Integralrechnung ruasbekommt wird ja an die untere Grenze des Integrals herangenähert udn fällt dann mit dem y Wert der unteren Grenze des Inegrals zusammen mit [mm] f(x_0) [/mm] oder ? man weis dann aber doch eigentlich nur, dass wenn [mm] \limes_{z\rightarrow\\x} [/mm] also [mm] \limes_{h\rightarrow\\0} [/mm] gilt [mm] \limes_{f(z)\rightarrow\\f(x_0)} [/mm] oder?? und weshalb kann man daraus jetzt schließen, dass F(x)' = f(x) ist? Wo [mm] f(x_0) [/mm] doch nur ein Punkt auf dem Funktionsgraph von f(x) ist und f(z) schon die gesamte Zeit davor auf f(x) liegt? Wenn jetzt bei h gegen 0 f(z) nicht mit [mm] f(x_0) [/mm] zusammenfallen würde ( was unlogisch ist) aber trtozdem auf dem Graph von f(x) liegt würde dann auch F(x)'= f(x) gelten? Ist den nicht eigentlich schon mit dem Darsein des Wertes f(z), der ja nun mal immer auf dem Graph f(x) liegt egal wei man das Integral verändert der beweis komplett?? Weshalb ist es dafür noch nötig, dassf(z) gegen [mm] f(x_0) [/mm] geht, wo [mm] f(x_0) [/mm] doch auch nru ein normaler Punkt auf dem der funktion ist? Es gilt doch auch schon bevor [mm] \limes_{\Delta(x)\rightarrow\\0} [/mm] dass f(z) = f(x) ist oder?? Muss dabei graphisch bewiesen werden, dass f(z) auch für [mm] \Delta(x) [/mm] -> 0 f(z) auf dem Graph liegt, auch wenn dies schon zuvor klar ist??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Di 24.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
stimmt die überlegung denn?? bin ein bisschen unter zeitdruck wär super wenn noch jemand helfen könnte vllt. am besten leuderat, da dieser ja auch den artikel zuvor geschrieben hat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo,
> danke für die antwort, du hast meine Fragestellung
> prinzipiell verstanden. Aber mir sind noch ein paar Sachen
> unklar. Also das Integral dass du beschreibst mit
> [mm]\integral_{a}^{x}{f(x) dx}[/mm] ist das gleichzusetzten mit dme
> Integral aus dem Beweis [mm]\integral_{x}^{x+h}{f(x) dx}[/mm] ?
> weil am Anfang wird ja erst einmal zu diesem Integral
> vereinfacht.
Nein die Fkt, deren A<bleitung an der Stelle x1 du suchst ist
F(x)=[mm]\integral_{a}^{x}{f(x) dx}[/mm]
dann bildet man die Differenz F(x1+h)-F(x)=[mm]\integral_{x1}^{x1+h}{f(t) dt}[/mm]
es ist sehr ungünstig, wenn man im Integral die gleiche Variable verwendet, wie an den Grenzen! also im Integral t oder u oder z wenn die Grenze x ist.
> Es wird also im Prinzip die Ableitung der Integralfunktion
> an der Stelle z gesucht, wobei z eien variable ist und
> somit die erhaltene Ableitugn für alle z des
> Definitionsbereichs gilt??
Nein, an der FESTEN Stelle x1 bzw z. Aber da man sich nicht auf z. Bsp z=3 oder x1=3 festlegt, sondern nur darauf, dass x1 fest ist, kann man das später für jedes x1 verwenden und schreiben F'(x1)=f(x1) für alle x1 aus dem Definitionsgebiet von f. und dann hindert mich niemand mehr statt x1 x zu schreiben! odxer y oder z oder nobo. also F'(nobo)=f(nobo)
> f(z) also der Wert den man durch den Mittelwertsatz der
> Integralrechnung ruasbekommt wird ja an die untere Grenze
> des Integrals herangenähert udn fällt dann mit dem y Wert
> der unteren Grenze des Inegrals zusammen mit [mm]f(x_0)[/mm] oder ?
> man weis dann aber doch eigentlich nur, dass wenn
> [mm]\limes_{z\rightarrow\\x}[/mm] also [mm]\limes_{h\rightarrow\\0}[/mm] gilt
> [mm]\limes_{f(z)\rightarrow\\f(x_0)}[/mm] oder?? und weshalb kann
> man daraus jetzt schließen, dass F(x)' = f(x) ist? Wo
> [mm]f(x_0)[/mm] doch nur ein Punkt auf dem Funktionsgraph von f(x)
> ist und f(z) schon die gesamte Zeit davor auf f(x) liegt?
das versteh ich überhaupt nicht! f(z) liegt nicht nur auf dem Funktionsgraphen von f sondern ist einfach eine Zahl, nämlich die Steigung von F(x) an der Stelle z. dieser Wert liegt auf unendlich vielen funktionsgraphen, die du durch (z,f(z)) z fest legen kannst.
Die Steigung an der Stelle [mm] x=u\nez [/mm] ist im allgemeinen ne andere, nämlich die Zahl f(u), die wieder einfach nur die Steigung der fkt.F im Punkt (u,F(u)) angibt.
genauso wie du hier argumentierst, kannst du bei der Ableitung von [mm] g(x)=x^2 [/mm] g'(x)=2x argumentieren. dann hast du einfach nicht verstanden, dass man Ableitungen an Punkten ausrechnet, und die "Ableitungsfkt" g'(x) dadurch definiert ist, dass sie für jeden Wert x1 von x den Wert der Steigung von von f(x) im Punkt x1 angibt.
bleiben wir bei [mm] g(x)=x^2 [/mm] g'(x)=2x
der Punkt 2x1 liegt auch- wie du es audrückst schon immer auf dem Graphen von h(x)=2x.
Die fkt h(x)=2x kannst du einfach als fkt auffassen, die dir z. Bsp die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlänge 2 und x angibt, oder, die dir den Zusammenhang zwischen Umsatz und Gewinn angibt, oder als fkt. die die Steigung der Kurve g(x) an der Stelle x angibt.
ebenso hat f(x) irgend ne Bedeutung, unter anderem gibt f(x) auch die Steigung der Funktion F(x)=[mm]\integral_{a}^{x}{f(x) dx}[/mm] an.
> Wenn jetzt bei h gegen 0 f(z) nicht mit [mm]f(x_0)[/mm]
> zusammenfallen würde ( was unlogisch ist) aber trtozdem auf
> dem Graph von f(x) liegt würde dann auch F(x)'= f(x)
> gelten? Ist den nicht eigentlich schon mit dem Darsein des
> Wertes f(z), der ja nun mal immer auf dem Graph f(x) liegt
> egal wei man das Integral verändert der beweis komplett??
> Weshalb ist es dafür noch nötig, dassf(z) gegen [mm]f(x_0)[/mm]
> geht, wo [mm]f(x_0)[/mm] doch auch nru ein normaler Punkt auf dem
> der funktion ist? Es gilt doch auch schon bevor
> [mm]\limes_{\Delta(x)\rightarrow\\0}[/mm] dass f(z) = f(x) ist
> oder?? Muss dabei graphisch bewiesen werden, dass f(z)
> auch für [mm]\Delta(x)[/mm] -> 0 f(z) auf dem Graph liegt, auch
> wenn dies schon zuvor klar ist??
Wieso soll man das graphisch beweisen, es benutzt die Stetigkeit von f, die Graphik, die ihr gemacht habt, veranschaulicht das nur!
benutzt wird die Eigenschaft des Integrals:
[mm]\integral_{a}^{b}{min{x\in [a,b]}(f(x)) dx}\le \integral_{a}^{b}{f(x) dx}\le\integral_{a}^{b}{max{x\in [a,b]}(f(x)) dx}[/mm]
da es dann einen Wert z zwischen max und min gibt gilt es existiert ein [mm] z\in [/mm] [a,b] mit [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=(b-a)*f(z)
[/mm]
Wenn b gegen a geht rückt für stet. fkt max gegen min und gegen f(a)
Die Zeichnung eures Profs veranschaulicht das mehr nicht.
Und nochmal, dass das "auf dem graphen liegt ist nur die schöne Veranschaulichung, damit man die Idee sieht, wie man wohl auf den Beweis gekommen sein könnte! (auch euer Prof hat den ja nicht erfunden)
Wenn du noch immer Fragen hast, musst du erst beantworten:
Was bedeutet die Ableitung in einem Punkt
Was bedeutet eine Ableitungsfkt.
Und dann stell deine Fragen in diesen Zusammenhang.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Di 24.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
mir ist ja bewusst, dass die ableitung quasie verallgemeinert wird, aber warum wird dazu benötigt , dass f(z) mit dem Punkt f(x) kollidiert, wenn h gegen 0 strebt??
f(z) liegt schon davor die ganez Zeit auf f(x).
was sagt es aus, dass f(z) bei h gegen 0 mit dem Punk f(x) , den man doch auch f(k) nennen könnte zusammenfällt.
Würde man ihn f(k)nennen könnte man nur sagen, dass f(z) für h gegen 0 auf f(k) geht. Hier gibt es keien überschneidung zwischen f(x) als PUNKT und f(x) als bezeichnung für den gesamten Funktionsgraph f(z) läuft auf einen bestimmten Punkt zu, als was kannd ieser Puntk denn interpretiert werden??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit x ist hier ein konkreter , fester Punkt, den ich x1 nenne gemeint!!!
mein x1 oder dein k machen das nur klarer, sind aber nichts anderes!
Vielleicht ist das etwas ungenau geschrieben, aber sicher so gemeint!
etwas 30Min lang etwas x1 oder k zu nennen, und dann am Schluss zu sagen, da es für alle x1 bzw k gilt schreib ich jetzt x ist nicht besonders üblich. Allein, dass z gegen x geht, heisst ja x ist ein fester Punkt.
f(x) bedeutet eben leider zweierlei :a) die Zahl f(x) die ich bekomme, wenn ich für x eine Zahl einsetze. b) die Funktionsvorschrift, wie wird R nach R abgebildet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 07.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
entschuldigung dass ich erst wirklich so spät antworte.
leduart hat geschrieben:
"f(x) bedeutet eben leider zweierlei :a) die Zahl f(x) die ich bekomme, wenn ich für x eine Zahl einsetze. b) die Funktionsvorschrift, wie wird R nach R abgebildet. "
genau das ist es was ich meine, aber wenn es doch zwei unterschiedliche bedeutungen hat warum setzt man diese beiden bedeutungen auf einmal gleich. z geht gegen x und somit f(z) gegen f(x) stimmt doch? nun stimmt hier eigentlich die erste Bedeutung f(z) nähert sich der zahl die ich bekomme wenn ich x in f(x) einsetzte. Aber f(z) nährt sich nicht der Funktionsvorschrift f(x) denn es liegt ja schon die gesamte Zeit auf ihr
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> leduart hat geschrieben:
> "f(x) bedeutet eben leider zweierlei :a) die Zahl f(x) die
> ich bekomme, wenn ich für x eine Zahl einsetze. b) die
> Funktionsvorschrift, wie wird R nach R abgebildet. "
> genau das ist es was ich meine, aber wenn es doch zwei
> unterschiedliche bedeutungen hat warum setzt man diese
> beiden bedeutungen auf einmal gleich.
Du hast darin recht, dass in der Mathematik missverständliche
oder zweideutige Begriffe sehr schädlich sein können. Es würde
viele Missverständnisse ersparen, wenn man die Funktion,
d.h. die Abbildung nicht mit f(x), sondern einfach mit f bezeichnen
würde. In vielen guten Büchern wird dies auch strikt so
gemacht. f(x) ist der Funktionswert, welcher der Zahl x durch die
Funktion f zugeordnet wird.
In Zusammenhängen, wo man es einerseits mit fixierten x-Werten
und andererseits auch mit einer Variablen x zu tun hat, ist es
wichtig, dies klar zum Ausdruck zu bringen, auch in der Schreib-
weise, indem man etwa die fixierten Grössen mit [mm] x_0, x_1 [/mm] bezeichnet
und die Variable einfach mit x.
Es kommt jedoch sehr oft auch vor, dass man innerhalb einer
mathematischen Untersuchung den Blickpunkt ändern und eine
vorher als konstant angenommene Grösse neu zu einer Variablen
machen muss.
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Hallo noobo!
Ich möchte nochmal auf die letzte Diskussion zum Thema "Hauptsatz der Diff/Int Rechnung" verweisen wo ich dir geraten habe, du sollst dir statt f(x), [mm] f(x_0) [/mm] vorstellen.
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 07.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
und danke für die promte reaktion. Nun was ist eigentlich jetzt gemeint?? kann das nochmal jemadn zusammenfassen.
Also so wie ich das verstanden habe reden wir ja bei der annäherung von z an x und von f(z) an f(x) von der Annäherung an den PUNKT und nicht an den Graph den wir vllt. wirklich nur mit f bezeichnen sollten.
Aber wenn wir "nur" wissen, dass für h gegen 0 z gegen x geht woher weiß man dann, dass die Ableitung von [mm] \integral_{x}^{x+h}{f dx} [/mm] = f ist??
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Hallo Noboo!
Wenn du nicht konkreter fragst, kann ich auch nur meine Erklärung wiederholen. Ich weiß wirklich nicht, was in der vorigen Diskussion noch nicht gesagt wurde:
Zur Wiederholung:
[mm] F_A(x_0)=\integral_{a}^{x_0}{f(x)dx}
[/mm]
Geht man von x ein Stück weiter in positive x-Richtung wird die Fläche größer, es gilt:
[mm] F_A(x_0+h)=\integral_{a}^{x_0+h}{f(x)dx}
[/mm]
Die hinzugekommene Fläche lässt sich ausdrücken durch:
[mm] F_A(x_0+h)-F_A(x_0)=d(z)*h
[/mm]
Also: [mm] \bruch{F_A(x_0+h)-F_A(x_0)}{h}=d(z)
[/mm]
"Du willst die Flächenfunktion(Fläche zwischen x-Achse und Graph von f(x) ) an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ableiten.
Also gehst du wie bei einer "normalen" Funktion vor du ermittelst den Grenzübergang von der Sekantenfolge zur Tangente, vom Differenzenquotientenfolge zum Differenzialquotienten.
Was passiert im Fall wenn du diesen Grenzwert ermittelst:
[mm] x-x_0=h
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}\bruch{F_A(x)-F_A(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)
[/mm]
oder anders ausgedrückt:
[mm] \limes_{h\rightarrow\(0}\bruch{F_A(x_0+h)-F_A(x_0)}{h}=f(x_0)
[/mm]
Also geht nicht nur [mm] x_0+h [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] sondern auch [mm] f(x_0+h) [/mm] gegen [mm] f(x_0).
[/mm]
Daraus folgt ja, dass auch der Flächeninhalt zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h [/mm] immer kleiner wird, das wiederum ist die Ursache, dass sich unser Maßstab für den hinzugekommenen Flächeninhalt [mm]f(z)*h[/mm] verändern muss. h wird doch kleiner und geht gegen 0, also muss auch f(z) gegen [mm] f(x_0) [/mm] gehen.(Im Grenzfall gilt [mm] f(z)=f(x_0)) [/mm] So wird der hinzugekommene Flächeninhalt [mm] 0*f(x_0)=0.
[/mm]
Und du hast die Ableitung der Flächenfunktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] was in diesem Fall [mm] f(x_0) [/mm] entspricht.
z entspricht einer x-Koordinate, und f(z) dem Funktionswert von f(x) an der Stelle z. Ich glaube der Buchstabe z wird hier nur verwendet, um auf die besondere Aufgabe dieser f(x)-Koordinate als Zwischenwert hinzuweisen, der so gewählt wird, dass der Inhalt des Rechtecks f(z)*h gleich dem durch f(x) begrenzten Flächenstück zeischen x und x+h ist. f(z) Ist keinesfalls eine eigenstängige Funktion.
Auch wenn du bei einer herkömmlichen Funktion der Differenzialquotient bildest, wird der Abstand zwischen den Sekantenpunkten [mm] [x;x_0] [/mm] immer kleiner, ( [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0} [/mm] oder [mm] \limes_{h\rightarrow\(0}). [/mm] In gleicher Weise wird bei einer Flächenfunktion die Fläche [f(z)*h] immer kleiner bis h im Grenzfall Null wird.
Man kann auch bei herkömmlichen Funktionen beobachten, dass je kleiner das Intervall [mm] [x-x_0]=h [/mm] wird desto ganauer nähert sich der Betrag der Sekantensteigung an den der Tangentensteigung an.
Auch für die Flächenfunktion gilt je kleiner h, desto genauer nähert sich f(z) an [mm] f(x_0) [/mm] an.
So gesehen entspricht f(z) der Sekantensteigung(Differenzenquotient), [mm] f(x_0) [/mm] der Tangentensteigung(Differenzialquotient), denn je kleiner h, desto weiter nähert sich f(z) an [mm] f(x_0). [/mm]
Denn was wir wissen wollen, ist ja die Steigung der Flächenfunktion an der Stelle [mm] x_0. [/mm] Und f(z) ist nicht die Steigung der Flächenfunktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] sondern entspricht, analog der Sekantensteigung, der mittleren Steigung der Flächenfunktion im Intervall [x;x+h]."
Gruß 
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal :
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \integral_{x_0}^{x_0+h}{f(t) dt}=f(x_0) [/mm] $
und nicht f!
Wenn das für alle [mm] x_0 [/mm] aus einem Definitionsgebiet ist, kann ich die Funktion f konstruieren mit der Vorschrift f: x->f(x): mit [mm] f(x)=f(x_0) [/mm] für [mm] x=x_0
[/mm]
diese Funktion ist identisch mit der ursprunglichen Funktion x
Wenn du die Ableitung von [mm] x^2 [/mm] bestimmst, hast du auch nur
[mm] f'(x_0)=\limes_{h\rightarrow 0}((x_0+h)^2-x_0^2)/h=2x_0
[/mm]
das gilt für alle [mm] x_0 [/mm] mit [mm] x_0\in(-\infty,+\infty.
[/mm]
jetzt erst kann ich die Ableitungsfunktion a(x)=2x definieren und sie halt Ableitungsfunktion nennen! Dann ist die Sprechweise die Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist f'(x)=2x.
die lim Eigenschaft zeigt man aber punktweise!
Gruss leduart
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