hebbare/nichthebbare Lückef(x) < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Welche Lücken bei den folgenden Funktionen sind hebbar, welche nicht-hebbar, welche sind Pole? Geben Sie bei den Polstellen die Asymptoten an.
a) [mm] $f(x)=\bruch{25-x²}{5-x}$ [/mm] b) [mm] $f(x)=\bruch{2x}{x-1}$ [/mm] c) [mm] $f(x)=-\bruch{2}{x}$ [/mm] d) [mm] $f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}$ [/mm] |
Hallo,
zu a) Da muss ich x = 5 setzen, ich will herausfinden ob die Lücke wenn Nenner (x=0) ist hebbar ist oder nicht. Wenn nicht-hebbar dann muss doch auch immer ein Pol vorliegen, oder? Nehmen wir an a) b) c) und d) wären nicht-hebbar. dann wären die asymptoten a)5, b)1, c)0 und d)2? Nur zum Verständnis für mich.
also zur rechnung bei a)
x = 5 + h 'überprüfen ob rechtsseitiger grenzwert existiert
[mm] $f(5+h)=\bruch{25-(5+h)²}{5-(5+h)}$
[/mm]
[mm] $f(5+h)=\bruch{25-25-10h-h²}{5-5-h}$
[/mm]
[mm] $f(5+h)=\bruch{-10h-h²}{-h}$
[/mm]
$f(5+h)= 10 + h$
x = 5 - h 'überprüfen ob linksseitiger grenzwert existiert
[mm] $f(5-h)=\bruch{25-(5-h)²}{5-(5-h)}$
[/mm]
[mm] $f(5-h)=\bruch{25-25+10h+h²}{5-5+h}$
[/mm]
[mm] $f(5-h)=\bruch{10h+h²}{+h}$
[/mm]
$f(5-h)= 10 + h$
somit ist x = 5 hebbar, also [mm] $\limes_{x \to \5}f_x [/mm] = 10$, also muss man f(5) = 10 einfügen und hat die Lücke behoben, oder?
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> Welche Lücken bei den folgenden Funktionen sind hebbar,
> welche nicht-hebbar, welche sind Pole? Geben Sie bei den
> Polstellen die Asymptoten an.
>
> a) [mm]f(x)=\bruch{25-x²}{5-x}[/mm] b) [mm]f(x)=\bruch{2x}{x-1}[/mm] c)
> [mm]f(x)=-\bruch{2}{x}[/mm] d) [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}[/mm]
> Hallo,
Hallo,
> zu a) Da muss ich x = 5 setzen,
Du meinst sicher das Richtige, aber x=5 zu setzen wäre fatal, denn die Funktion ist ja fpür x=5 gar nicht definiert.
Schreib also: die funktion hat für x=5 eine Definitionslücke.
> ich will herausfinden ob
> die Lücke wenn Nenner (x=0) ist hebbar ist oder nicht.
> Wenn
> nicht-hebbar dann muss doch auch immer ein Pol vorliegen,
> oder?
Wenn Du Dich auf gebrochen-rationale Funktionen beschränkst, hast Du recht.
> Nehmen wir an a) b) c) und d) wären nicht-hebbar.
> dann wären die asymptoten a)5, b)1, c)0 und d)2? Nur zum
> Verständnis für mich.
Du hast verstanden, daß Du Dich bei der Untersuchung der Definitionslücken dieser Funktionen auf die Stellen beschränken kannnst, an denen die Funktion nicht definiert ist.
Bei d) hast Du eine nichtdefinierte Stelle vergessen, nämlich -2.
Es kommen also als Stellen, an denen es prinzipiell Polstellen geben könnte nur a)x=5, b)x=1, c)x=0 und d)x=2 und x=-2 infrage.
>
> also zur rechnung bei a)
>
> x = 5 + h 'überprüfen ob rechtsseitiger grenzwert
> existiert
>
> [mm]f(5+h)=\bruch{25-(5+h)²}{5-(5+h)}[/mm]
>
> [mm]f(5+h)=\bruch{25-25-10h-h²}{5-5-h}[/mm]
>
> [mm]f(5+h)=\bruch{-10h-h²}{-h}[/mm]
>
> [mm]f(5+h)= 10 + h[/mm]
Also ist der rechtsseitige Grenzwert [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(5+h)=\limes_{h\rightarrow 0}(10+h)=10
[/mm]
>
> x = 5 - h 'überprüfen ob linksseitiger grenzwert existiert
>
> [mm]f(5-h)=\bruch{25-(5-h)²}{5-(5-h)}[/mm]
>
> [mm]f(5-h)=\bruch{25-25+10h+h²}{5-5+h}[/mm]
>
> [mm]f(5-h)=\bruch{10h+h²}{+h}[/mm]
>
> [mm]f(5-h)= 10 + h[/mm]
Also ist der linksseitige Grenzwert [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(5-h)=\limes_{h\rightarrow 0}(10+h)=10
[/mm]
> somit ist x = 5 hebbar, also [mm]\limes_{x \to \5}f_x = 10[/mm],
Das mußt Du genau andersrum begründen: rechts- und linksseitiger Grenzwert sind gleich, also exstiert der Grenzwert an der Stelle x=5 und es ist [mm] \limes_{x \to \5}f(x) [/mm] = 10.
Also ist die Definitionslücke an der Stelle x=5 hebbar,
> also muss man f(5) = 10 einfügen und hat die Lücke behoben,
> oder?
Ja.
Du könntest Dir das Leben etwas leichtr machen, wenn Du gleich so feine Dinge wie binomische Formeln beachtest.
Guck: [mm] \limes_{x \to \5}\bruch{25-x²}{5-x}=\limes_{x \to \5}\bruch{(5-x)(5+x)}{5-x}=\limes_{x \to \5}(5+x)=10. [/mm]
Aber es ist in Ordnung, so wie Du es gemacht hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke für die Antwort. Nun zu b) $ [mm] f(x)=\bruch{2x}{x-1} [/mm] $
Die Funktion hat für x=1 eine Definitionslücke, Überprüfung ob behebbar:
[mm] $f(1+h)=\bruch{2(1+h)}{(1+h)-1}$
[/mm]
[mm] $f(1+h)=\bruch{2+2h)}{h}$
[/mm]
$f(1+h)= 2h +2$
[mm] $f(1-h)=\bruch{2(1-h)}{(1-h)-1}$
[/mm]
[mm] $f(1-h)=\bruch{2-2h)}{-h}$
[/mm]
$f(1-h)= -2h -2$
Somit einmal +2 und -2, x=1 dadurch nicht-hebbar, oder? Wenn ja dann Pol, Asymptote=1
c) [mm] $f(x)=-\bruch{2}{x}$ [/mm]
Die Funktion hat für x=0 eine Definitionslücke, Überprüfung ob behebbar:
[mm] $f(0+h)=-\bruch{2}{0+h}$
[/mm]
$f(0+h)= - 2h$
[mm] $f(0-h)=-\bruch{2}{0-h}$
[/mm]
$f(0+h)= 2h$
Somit einmal -2h und +2h, x=0 nicht-hebbar, oder? Wenn ja dann Pol, Asymptote=0. Hierbei kommt auch gar kein Wert für y raus = 0.
d) [mm] $f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4} [/mm] $
[mm] $f(2+h)=\bruch{(2+h)²+4(2+h)+4}{(2+h)²-4}$
[/mm]
[mm] $f(2+h)=\bruch{4+4h+h²+8+4h+4}{4+4h+h²-4}$
[/mm]
[mm] $f(2+h)=\bruch{16+8h+h²}{4h+h²}$
[/mm]
wie soll man hier weiter auflösen?
[mm] $f(-2+h)=\bruch{(-2+h)²+4(-2+h)+4}{(-2+h)²-4}$
[/mm]
[mm] $f(-2+h)=\bruch{4-4h+h²-8+4h+4}{4-4h+h²-4}$
[/mm]
[mm] $f(-2+h)=\bruch{h²}{-4h+h²}$
[/mm]
$f(-2+h)= -4h +1 $
bei x=2 nicht hebbar, bei x=-2 hebbar [mm] $\limes_{x \to \ 2-}f_x [/mm] = 1$ , Pol, Asymptote x=2, oder?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Du musst bei Deinen Umformungen aufpassen, da "wandern" teilweise Terme aus dem Nenner urplötzlich in den Zähler ...
> [mm]f(1+h)=\bruch{2+2h)}{h}[/mm]
>
> [mm]f(1+h)= 2h +2[/mm]
Diese Umformung stimmt so nicht: [mm] $\bruch{2+2h}{h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{h}+\bruch{2h}{h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{h}+2$
[/mm]
> [mm]f(1-h)=\bruch{2(1-h)}{(1-h)-1}[/mm]
>
> [mm]f(1-h)=\bruch{2-2h)}{-h}[/mm]
>
> [mm]f(1-h)= -2h -2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") siehe oben!
> Somit einmal +2 und -2, x=1 dadurch nicht-hebbar, oder?
> Wenn ja dann Pol, Asymptote=1
Das stimmt so!
> c) [mm]f(x)=-\bruch{2}{x}[/mm]
>
> Die Funktion hat für x=0 eine Definitionslücke, Überprüfung
> ob behebbar:
>
> [mm]f(0+h)=-\bruch{2}{0+h}[/mm]
>
> [mm]f(0+h)= - 2h[/mm]
wie oben!
> [mm]f(0-h)=-\bruch{2}{0-h}[/mm]
>
> [mm]f(0+h)= 2h[/mm]
wie oben!
> Somit einmal -2h und +2h, x=0 nicht-hebbar, oder? Wenn ja
> dann Pol, Asymptote=0. Hierbei kommt auch gar kein Wert für
> y raus = 0.
Das Ergebnis ist richtig.
> d) [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}[/mm]
Du könntest es Dir vereinfachen, wenn Du gleich in Zähler und Nenner binomische Formeln anwendest.
> [mm]f(2+h)=\bruch{16+8h+h²}{4h+h²}[/mm]
>
> wie soll man hier weiter auflösen?
Im Zähler die 1. binomische Formel anwenden, im Zähler $h_$ ausklammern. Anschließend kürzen.
> bei x=2 nicht hebbar, bei x=-2 hebbar [mm]\limes_{x \to \ 2-}f_x = 1[/mm] , Pol, Asymptote x=2, oder?
Stimmt fast. Ich erhalte [mm] $\limes_{x \to \ 2}f(x) [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 06.09.2007 | | Autor: | itse |
> > [mm]f(1-h)=\bruch{2(1-h)}{(1-h)-1}[/mm]
> >
> > [mm]f(1-h)=\bruch{2-2h)}{-h}[/mm]
> >
> > [mm]f(1-h)= -2h -2[/mm]
>
> siehe oben!
>
>
> > Somit einmal +2 und -2, x=1 dadurch nicht-hebbar, oder?
> > Wenn ja dann Pol, Asymptote=1
>
> Das stimmt so!
Wenn ich [mm]f(1-h)= \bruch{2-2h}{-h} = -\bruch{2}{h} + 2 [/mm] dann passt doch die Umformung so? Aber dann stimmt das Ergebnis nicht mehr, es müsste dann heissen +2/h und -2/h?
> > c) [mm]f(x)=-\bruch{2}{x}[/mm]
> >
> > Die Funktion hat für x=0 eine Definitionslücke, Überprüfung
> > ob behebbar:
> >
> > [mm]f(0+h)=-\bruch{2}{0+h}[/mm]
> >
> > [mm]f(0+h)= - 2h[/mm]
>
> wie oben!
[mm]f(0-h)=-\bruch{2}{0+h} = -\bruch{2}{0} - \bruch{2}{h} [/mm], passt dann so?
> > [mm]f(0-h)=-\bruch{2}{0-h}[/mm]
> >
> > [mm]f(0+h)= 2h[/mm]
>
> wie oben!
[mm]f(0-h)=-\bruch{2}{0-h} = -\bruch{2}{0} + \bruch{2}{h} [/mm], passt dann so?
> > Somit einmal -2h und +2h, x=0 nicht-hebbar, oder? Wenn ja
> > dann Pol, Asymptote=0. Hierbei kommt auch gar kein Wert für
> > y raus = 0.
>
> Das Ergebnis ist richtig.
> > d) [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}[/mm]
>
> Du könntest es Dir vereinfachen, wenn Du gleich in Zähler
> und Nenner binomische Formeln anwendest.
[mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4} = f(x)=\bruch{(x+2)²}{(x-2)(x+2)}[/mm] also so umformen, wie soll es dann weitergehen? nun hab ich zeig möglichkeiten, dass der nenner null wird einmal +2 oder -2, wenn ich dies dann f(2+h) einsetze komm ich auf den gleichen spass den ich vorher schon hatte, was mache ich falsch?
Vielen Dank, itse.
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> > > [mm]f(1-h)=\bruch{2(1-h)}{(1-h)-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]f(1-h)=\bruch{2-2h)}{-h}[/mm]
> > >
> > > [mm]f(1-h)= -2h -2[/mm]
> >
> > siehe oben!
> >
> >
> > > Somit einmal +2 und -2, x=1 dadurch nicht-hebbar, oder?
> > > Wenn ja dann Pol, Asymptote=1
> >
> > Das stimmt so!
>
> Wenn ich [mm]f(1-h)= \bruch{2-2h}{-h} = -\bruch{2}{h} + 2[/mm] dann
> passt doch die Umformung so?
Hallo,
so paßt's dann, und es ist auch richtig.
> Aber dann stimmt das Ergebnis
> nicht mehr, es müsste dann heissen +2/h und -2/h?
Du brauchst jetzt den Grenzwert von [mm] -\bruch{2}{h} [/mm] + 2 und von [mm] \bruch{2}{h} [/mm] + 2 für [mm] h\to [/mm] 0.
> > > d) [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}[/mm]
> >
> > Du könntest es Dir vereinfachen, wenn Du gleich in Zähler
> > und Nenner binomische Formeln anwendest.
>
> [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4} = f(x)=\bruch{(x+2)²}{(x-2)(x+2)}[/mm]
> also so umformen, wie soll es dann weitergehen?
[mm] ...=\bruch{(x+2)}{(x-2)} [/mm] für [mm] x\not=-2.
[/mm]
Du interessierst Dich ja nun für den Grenzwert an den nichtdefinierten Stellen von f, also für [mm] \limes_{x\rightarrow 2}f(x) [/mm] und für [mm] \limes_{x\rightarrow -2}f(x).
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 2}f(x) =\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow -2}f(x) =\limes_{x\rightarrow -2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Do 06.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Aber dann stimmt das Ergebnis
> > nicht mehr, es müsste dann heissen +2/h und -2/h?
>
> Du brauchst jetzt den Grenzwert von [mm]-\bruch{2}{h}[/mm] + 2 und
> von [mm]\bruch{2}{h}[/mm] + 2 für [mm]h\to[/mm] 0.
aber ich hab doch schon 2 unterschiedliche ergebnisse wenn + und -, somit weiß ich doch schon, dass es ein nicht-hebbare lücke ist, oder?
was ist mit der aufgabe c, siehe oben, stimmt dies dann so?
> > > > d) [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}[/mm]
> > >
> > > Du könntest es Dir vereinfachen, wenn Du gleich in Zähler
> > > und Nenner binomische Formeln anwendest.
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4} = f(x)=\bruch{(x+2)²}{(x-2)(x+2)}[/mm]
> > also so umformen, wie soll es dann weitergehen?
>
> [mm]...=\bruch{(x+2)}{(x-2)}[/mm] für [mm]x\not=-2.[/mm]
>
> Du interessierst Dich ja nun für den Grenzwert an den
> nichtdefinierten Stellen von f, also für
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}f(x)[/mm] und für [mm]\limes_{x\rightarrow -2}f(x).[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}f(x) =\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
>
> und
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -2}f(x) =\limes_{x\rightarrow -2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
>
> Gruß v. Angela
wenn ich dann die ganzen möglichkeiten durchspiele mit -2 und +2 links und rechts, bekomm ich beide mal dies heraus, -h/4 +1 und h/4+1 bei +2 und -2, in der lösung steht, das nur -2 hebbar ist, oder sollte ich etwas anderes einsetzen?
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> Hallo,
>
> > > Aber dann stimmt das Ergebnis
> > > nicht mehr, es müsste dann heissen +2/h und -2/h?
> >
> > Du brauchst jetzt den Grenzwert von [mm]-\bruch{2}{h}[/mm] + 2 und
> > von [mm]\bruch{2}{h}[/mm] + 2 für [mm]h\to[/mm] 0.
>
> aber ich hab doch schon 2 unterschiedliche ergebnisse wenn
> + und -, somit weiß ich doch schon, dass es ein
> nicht-hebbare lücke ist, oder?
Hallo,
nein, Du mußt den Grenzwert wirklich berechnen.
Allein daraus, daß [mm] -\bruch{2}{h}+ [/mm] 2 [mm] \not= \bruch{2}{h}+ [/mm] 2 ist, kannst Du noch nicht schließen, daß der Grenzwert verschieden ist.
>
>
> was ist mit der aufgabe c, siehe oben, stimmt dies dann
> so?
Oh, das habe ich übersehen.
>>> $ [mm] f(0-h)=-\bruch{2}{0-h} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{0} [/mm] + [mm] \bruch{2}{h} [/mm] $, passt dann so?
Nee, es ist eine mittlere Katastrophe. Warum? Weil es bruch{2}{0} nicht gibt!!
Es ist auch völlig überflüssig: [mm] -\bruch{2}{0-h}=-\bruch{2}{-h}.
[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 2}f(x) =\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow -2}f(x) =\limes_{x\rightarrow -2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
>
> >
>
> wenn ich dann die ganzen möglichkeiten durchspiele
Welche Möglichkeiten meinst Du jetzt?
> mit -2
> und +2 links und rechts, bekomm ich beide mal dies heraus,
> -h/4 +1 und h/4+1 bei +2 und -2, in der lösung steht, das
> nur -2 hebbar ist, oder sollte ich etwas anderes einsetzen?
Rechne vor.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 06.09.2007 | | Autor: | itse |
> > Hallo,
> >
> > > > Aber dann stimmt das Ergebnis
> > > > nicht mehr, es müsste dann heissen +2/h und -2/h?
> > >
> > > Du brauchst jetzt den Grenzwert von [mm]-\bruch{2}{h}[/mm] + 2 und
> > > von [mm]\bruch{2}{h}[/mm] + 2 für [mm]h\to[/mm] 0.
> >
> > aber ich hab doch schon 2 unterschiedliche ergebnisse wenn
> > + und -, somit weiß ich doch schon, dass es ein
> > nicht-hebbare lücke ist, oder?
>
> Hallo,
>
> nein, Du mußt den Grenzwert wirklich berechnen.
> Allein daraus, daß [mm]-\bruch{2}{h}+[/mm] 2 [mm]\not= \bruch{2}{h}+[/mm] 2
> ist, kannst Du noch nicht schließen, daß der Grenzwert
> verschieden ist.
wenn h gegen 0 strebt, seze ich doch 0+h bringe es auf den gleichen nenner und kürze, nur dann drehe ich mich ich kreis und komm zum schluss wieder auf 2/h+2 wenn ich für h = 0+h einsetze, oder soll ich etwas anders damit tun?
> > was ist mit der aufgabe c, siehe oben, stimmt dies dann
> > so?
>
> Oh, das habe ich übersehen.
>
> >>> [mm]f(0-h)=-\bruch{2}{0-h} = -\bruch{2}{0} + \bruch{2}{h} [/mm],
> passt dann so?
>
> Nee, es ist eine mittlere Katastrophe. Warum? Weil es
> bruch{2}{0} nicht gibt!!
>
> Es ist auch völlig überflüssig:
> [mm]-\bruch{2}{0-h}=-\bruch{2}{-h}.[/mm]
dann kommt doch einmal -2/h und (+)2/h somit keine hebbare lücke, oder?
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 2}f(x) =\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
>
> >
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow -2}f(x) =\limes_{x\rightarrow -2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
>
> >
> > >
>
> >
> > wenn ich dann die ganzen möglichkeiten durchspiele
>
> Welche Möglichkeiten meinst Du jetzt?
ich kann im nenner +2 und -2 einsetzen und somit wird dieser null, das geht aber nicht, deshalb muss ich schauen was hierbei passiert, mich interessiern hierbei die grenzwerte. also 2+h und 2-h / -2+h und -2-h, diese 4 möglichkeiten.
> > mit -2
> > und +2 links und rechts, bekomm ich beide mal dies heraus,
> > -h/4 +1 und h/4+1 bei +2 und -2, in der lösung steht, das
> > nur -2 hebbar ist, oder sollte ich etwas anderes einsetzen?
>
> Rechne vor.
fürs vorrechnen hab ich leider keine zeit mehr. hierfür wäre ich für ein beispeil sehr dankbar.
> Gruß v. Angela
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> > nein, Du mußt den Grenzwert wirklich berechnen.
> > Allein daraus, daß [mm]-\bruch{2}{h}+[/mm] 2 [mm]\not= \bruch{2}{h}+[/mm]
> 2
> > ist, kannst Du noch nicht schließen, daß der Grenzwert
> > verschieden ist.
>
> wenn h gegen 0 strebt, seze ich doch 0+h bringe es auf den
> gleichen nenner und kürze,
???
Du willst [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{2}{h}+ [/mm] 2).
Du mußt Dir jetzt überlegen, was mit [mm] \bruch{2}{h} [/mm] passiert, wenn h immer dichter an die 0 herangeht. Probier's auf dem Taschenrechner. Die Werte werden immer größer, sie wachsen ins Unermeßliche.
Also ist [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{2}{h}+ 2)=-\infty [/mm] + [mm] 2=-\infty
[/mm]
Den anderen berechnest Du entsprechend.
> dann kommt doch einmal -2/h und (+)2/h somit keine hebbare
> lücke, oder?
S.o.: Grenzwert berechnen!
>
>
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow 2}f(x) =\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(2+h) =\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(2+h+2)}{(2+h-2)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(4+h)}{h}= \limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{(4)}{h}+1)=...
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(2-h) [/mm] =...
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow -2}f(x) =\limes_{x\rightarrow -2}\bruch{(x+2)}{(x-2)}=...[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(-2+h) =\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(-2+h+2)}{(-2+h-2)}= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{(-4+h}=\bruch{0}{(-4+0}=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 06.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Du willst [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{2}{h}+[/mm] 2).
> Du mußt Dir jetzt überlegen, was mit [mm]\bruch{2}{h}[/mm]
> passiert, wenn h immer dichter an die 0 herangeht.
> Probier's auf dem Taschenrechner. Die Werte werden immer
> größer, sie wachsen ins Unermeßliche.
>
> Also ist [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{2}{h}+ 2)=-\infty[/mm]
> + [mm]2=-\infty[/mm]
>
> Den anderen berechnest Du entsprechend.
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{2}{h}+ 2)=+\infty[/mm] + [mm]2=+\infty[/mm], passt dann so? somit x=1 nicht-hebbar, Pol, Asymptote=1?
c) $ [mm] f(x)=-\bruch{2}{x} [/mm] $
$ [mm] f(0+h)=-\bruch{2}{0+h} [/mm] $
$ [mm] f(0+h)=-\bruch{2}{h} [/mm] $
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{2}{h})=-\infty[/mm]
$ [mm] f(0-h)=-\bruch{2}{0-h} [/mm] $
$ [mm] f(0-h)=-\bruch{2}{-h} [/mm] $
wegen minus und minus = plus
$ [mm] f(0-h)=\bruch{2}{h} [/mm] $
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{2}{h})=+\infty[/mm]
somit x=0 nicht hebbar, Pol, Asymptote y-Achse wegen x=0, passt das dann so?
d) $ [mm] f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4} [/mm] $
[mm] $f(x)=\bruch{x+2}{x-2}$
[/mm]
[mm] $f(2+h)=\bruch{x+2}{x-2} [/mm] = [mm] \bruch{2+h+2}{2+h-2} [/mm] = [mm] \bruch{4+h}{h} [/mm] = [mm] \bruch{4}{h} [/mm] + [mm] \bruch{h}{h} [/mm] = [mm] \bruch{4}{h}+1$
[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{4}{h}+1)=+\infty + 1 = +\infty[/mm]
[mm] $f(2-h)=\bruch{2-h+2}{2-h-2} [/mm] = [mm] \bruch{4-h}{-h} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{h} [/mm] = [mm] \bruch{4}{h} [/mm] + [mm] \bruch{h}{h} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{h}+1$
[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{4}{h}+1)=-\infty + 1 = -\infty[/mm]
[mm] $f(-2+h)=\bruch{-2+h+2}{-2+h-2} [/mm] = [mm] \bruch{h}{-4+h} [/mm] = [mm] -\bruch{h}{4} [/mm] + [mm] \bruch{h}{h} [/mm] = [mm] -\bruch{h}{4} [/mm] + 1$
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{h}{4}+1)= -0 + 1 = 1[/mm]
[mm] $f(-2-h)=\bruch{-2-h+2}{-2-h-2} [/mm] = [mm] \bruch{-h}{-4-h} [/mm] = [mm] \bruch{h}{4} [/mm] - [mm] \bruch{h}{h} [/mm] = [mm] \bruch{h}{4} [/mm] - 1$
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{h}{4}-1)= 0 - 1 = -1[/mm]
oder kann man dies [mm]\bruch{h}{-4+h}[/mm] nicht so [mm]-\bruch{h}{4} + \bruch{h}{h}[/mm] aufteilen sondern so [mm]\bruch{0}{-4+0}[/mm], wenn ja warum? wenn dies so gilt, wäre x=-2 hebbar und x=+2 nicht hebbar, Pol, Asymptote x=2
Vielen Dank Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 06.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ersten 2 sind richtig, nur sollte man nicht schreiben Assymptote= 1 sondern Assymptote: x=1
3. Aufgabe:
>
> d) [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{x+2}{x-2}[/mm]
so darfst du nicht schreiben, richtig ist :
[mm]f(x)=\bruch{x+2}{x-2}[/mm] für [mm] x\ne [/mm] -2 bei x=-2 hebbare Lücke mit f(-2)=0
> [mm]f(2+h)=\bruch{x+2}{x-2} = \bruch{2+h+2}{2+h-2} = \bruch{4+h}{h} = \bruch{4}{h} + \bruch{h}{h} = \bruch{4}{h}+1[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{4}{h}+1)=+\infty + 1 = +\infty[/mm]
>
> [mm]f(2-h)=\bruch{2-h+2}{2-h-2} = \bruch{4-h}{-h} = -\bruch{4}{h} = \bruch{4}{h} + \bruch{h}{h} = -\bruch{4}{h}+1[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{4}{h}+1)=-\infty + 1 = -\infty[/mm]
richtig!
Warum untersuchst du den Pkt x=-2 noch?
wenn du ihn untersuchen willst, dann für die ursprüngliche fkt [mm]f(x)=\bruch{x+2}{x-2}*\bruch{x+2}{x+2}[/mm]
also ist das folgende ohne Belang.
Ich zeig dir aber noch deinen Fehler in der Rechnung:
> [mm]f(-2+h)=\bruch{-2+h+2}{-2+h-2} = !
das nächst ist falsch:
\bruch{h}{-4+h} \ne >-\bruch{h}{4} + \bruch{h}{h}
\bruch{2}{1+2}\ne \bruch{2}{1}+\bruch{2}{2}!!!
Du kannst direkt h gegen 0 und hast dann 0/-4=0
>-\bruch{h}{4} + \bruch{h}{h} = -\bruch{h}{4} + 1[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{h}{4}+1)= -0 + 1 = 1[/mm]
>
> [mm]f(-2-h)=\bruch{-2-h+2}{-2-h-2} = \bruch{-h}{-4-h} = \bruch{h}{4} - \bruch{h}{h} = \bruch{h}{4} - 1[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{h}{4}-1)= 0 - 1 = -1[/mm]
>
> oder kann man dies [mm]\bruch{h}{-4+h}[/mm] nicht so [mm]-\bruch{h}{4} + \bruch{h}{h}[/mm]
> aufteilen sondern so [mm]\bruch{0}{-4+0}[/mm], wenn ja warum? wenn
> dies so gilt, wäre x=-2 hebbar und x=+2 nicht hebbar, Pol,
> Asymptote x=2
Die Folgerungen sind richtig, aber du hast ja durch (x+2) gekürzt, da ist schon vorher klar, dass bei -2 nix mehr passiert. da die von dir behandelte fkt ja keine Nullstelle im Nenner hat.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Do 06.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> 3. Aufgabe:
>
> >
> > d) [mm]f(x)=\bruch{x²+4x+4}{x²-4}[/mm]
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x+2}{x-2}[/mm]
> so darfst du nicht schreiben, richtig ist :
> [mm]f(x)=\bruch{x+2}{x-2}[/mm] für [mm]x\ne[/mm] -2 bei x=-2 hebbare Lücke
> mit f(-2)=0
> > [mm]f(2+h)=\bruch{x+2}{x-2} = \bruch{2+h+2}{2+h-2} = \bruch{4+h}{h} = \bruch{4}{h} + \bruch{h}{h} = \bruch{4}{h}+1[/mm]
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> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{4}{h}+1)=+\infty + 1 = +\infty[/mm]
>
> >
> > [mm]f(2-h)=\bruch{2-h+2}{2-h-2} = \bruch{4-h}{-h} = -\bruch{4}{h} = \bruch{4}{h} + \bruch{h}{h} = -\bruch{4}{h}+1[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{4}{h}+1)=-\infty + 1 = -\infty[/mm]
>
> richtig!
> Warum untersuchst du den Pkt x=-2 noch?
> wenn du ihn untersuchen willst, dann für die ursprüngliche
> fkt [mm]f(x)=\bruch{x+2}{x-2}*\bruch{x+2}{x+2}[/mm]
> also ist das folgende ohne Belang.
> Ich zeig dir aber noch deinen Fehler in der Rechnung:
> > [mm]f(-2+h)=\bruch{-2+h+2}{-2+h-2} = ![/mm]
>das nächst ist falsch:
> [mm] \bruch{h}{-4+h} \ne >-\bruch{h}{4} [/mm] + [mm] \bruch{h}{h}
[/mm]
> [mm] \bruch{2}{1+2}\ne \bruch{2}{1}+\bruch{2}{2}!!!
[/mm]
> Du kannst direkt h gegen 0 und hast dann 0/-4=0
hieraus werde ich nicht schlau, also muss ich doch [mm]\bruch{0}{-4+0}[/mm] schreiben, somit gleich 0 und bei dem anderen auch. wenn ich es nämlich so schreibe [mm]\bruch{h}{-4+h}[/mm] und h gegen 0 laufen lasse bekomme ich einmal +1 und -1, die Ergebnisse müssen doch übereinstimmen, damit die Lücke hebbar ist?
[mm] >-\bruch{h}{4} [/mm] + [mm] \bruch{h}{h} [/mm] = [mm] -\bruch{h}{4} [/mm] + 1[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{h}{4}+1)= -0 + 1 = 1[/mm]
> >
> > [mm]f(-2-h)=\bruch{-2-h+2}{-2-h-2} = \bruch{-h}{-4-h} = \bruch{h}{4} - \bruch{h}{h} = \bruch{h}{4} - 1[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{h}{4}-1)= 0 - 1 = -1[/mm]
> >
> > oder kann man dies [mm]\bruch{h}{-4+h}[/mm] nicht so [mm]-\bruch{h}{4} + \bruch{h}{h}[/mm]
> > aufteilen sondern so [mm]\bruch{0}{-4+0}[/mm], wenn ja warum? wenn
> > dies so gilt, wäre x=-2 hebbar und x=+2 nicht hebbar, Pol,
> > Asymptote x=2
> Die Folgerungen sind richtig, aber du hast ja durch (x+2)
> gekürzt, da ist schon vorher klar, dass bei -2 nix mehr
> passiert. da die von dir behandelte fkt ja keine Nullstelle
> im Nenner hat.
Daraus werd ich auch nicht ganz schlau, wenn es oben nicht stimmt, dann dürften doch die ergebnisse hier auch nicht stimmen, oder?
Mfg
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Do 06.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
> > Ich zeig dir aber noch deinen Fehler in der Rechnung:
> > > [mm]f(-2+h)=\bruch{-2+h+2}{-2+h-2} = ![/mm]
>
> >das nächst ist falsch:
> > [mm]\bruch{h}{-4+h} \ne >-\bruch{h}{4}[/mm] + [mm]\bruch{h}{h}[/mm]
> > [mm]\bruch{2}{1+2}\ne \bruch{2}{1}+\bruch{2}{2}!!![/mm]
>
> > Du kannst direkt h gegen 0 und hast dann 0/-4=0
>
> hieraus werde ich nicht schlau, also muss ich doch
> [mm]\bruch{0}{-4+0}[/mm] schreiben, somit gleich 0 und bei dem
> anderen auch. wenn ich es nämlich so schreibe
> [mm]\bruch{h}{-4+h}[/mm] und h gegen 0 laufen lasse bekomme ich
> einmal +1 und -1, die Ergebnisse müssen doch
> übereinstimmen, damit die Lücke hebbar ist?
Die Frage versteh ich nicht; wenn du in [mm]\bruch{h}{-4+h}[/mm] h gegen 0 laufen lässt kommt doch immer [mm]\bruch{0}{-4+0}=0[/mm] raus, wenn du was winziges für h einstzt also etwa [mm] \pm [/mm] 1/100000
dann kommt doch etwa [mm] \pm [/mm] 1/400000 raus also beinahe 0
Wenn h nicht als einziges im Nenner steht, kannst dus immer gleich gleich Null setzen.
> [mm]>-\bruch{h}{4}[/mm] + [mm]\bruch{h}{h}[/mm] = [mm]-\bruch{h}{4}[/mm] + 1[/mm]
ich hatte doch geschrieben, dass man so nicht mit Brüchen umgehen kann, der Ausdruck ist einfach SCHRECKLICH falsch, das sollte mein Zahlenbeispiel oben zeigen , gucks nochmal an!
> >
> > >
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(-\bruch{h}{4}+1)= -0 + 1 = 1[/mm]
> >
> >
> > > [mm]f(-2-h)=\bruch{-2-h+2}{-2-h-2} = \bruch{-h}{-4-h} = \bruch{h}{4} - \bruch{h}{h} = \bruch{h}{4} - 1[/mm]
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> > >
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{h}{4}-1)= 0 - 1 = -1[/mm]
> >
> >
> > > oder kann man dies [mm]\bruch{h}{-4+h}[/mm] nicht so [mm]-\bruch{h}{4} + \bruch{h}{h}[/mm]
> > > aufteilen sondern so [mm]\bruch{0}{-4+0}[/mm], wenn ja warum? wenn
> > > dies so gilt, wäre x=-2 hebbar und x=+2 nicht hebbar, Pol,
> > > Asymptote x=2
> > Die Folgerungen sind richtig, aber du hast ja durch
> (x+2)
> > gekürzt, da ist schon vorher klar, dass bei -2 nix mehr
> > passiert. da die von dir behandelte fkt ja keine Nullstelle
> > im Nenner hat.
>
> Daraus werd ich auch nicht ganz schlau, wenn es oben nicht
> stimmt, dann dürften doch die ergebnisse hier auch nicht
> stimmen, oder?
Du hattest einen Fehler gemacht, und damit nen falschen Grenzwert -1 rausgekriegt, aber deine Folgerungen waren richtig, (falls -1 der Funktionswert bei x=-2 wäre.)
Also, wenn du die hebbare Stelle nicht einfach durch kürzen wegkriegen darfst, musst du die echte Fkt , so wie ichs im letzten post geschrieben hab, an der Stelle x=-2 untersuchen, aber da ja da dann [mm] \bruch{x+2}{x+2}
[/mm]
als Faktor steht und der Vordere Teil bei x=2 0 ist, denk ich nicht, dass man das muss.
grundsätzlich:
Wenn der Nenner ne Nullstelle hat, und der Zähler nicht dieselbe, sodass man kürzen kann hat man IMMER einen Pol
Wenn Zähler und Nenner die gleiche Nst. haben kann man durch x-Nst kürzen und hat eine hebbare Lücke.
den Funktionswert an der Lücke kann man dann einfach als den Funktionswert der gekürzten Funktion angeben.
Gruss leduart
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