hinreichendes Kriterium Extrem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mo 25.10.2004 | | Autor: | matsch |
Hi!
Ich suche einen Ansatz zum Beweis des hinreichenden Kriteriums von Extremas in [mm] \IR.
[/mm]
Das heisst aus f(k)(x)=0 fuer k=1,...,n-1 und f(n)(x) [mm] \not=0 [/mm] folgt bei n gerade x ist Extremstelle.
Naja hoffe das mit einruecken hat geklappt (erster Beitrag).
mfG
matsch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mo 25.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
habt ihr schon taylor-entwicklung gemacht?
wenn ja, dann entwickle die funktion $f$ mal bis zum $n$-ten glied in eine taylorreihe und du siehst, dass $x$ ein lokales extremum von $f$ ist (das restglied muss in einer kleinen umgebung geeigenet abgeschätzt werden).
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Di 26.10.2004 | | Autor: | matsch |
Danke schon mal. Ich probiere das mal aus!
Allerdings weiss ich nicht ob ich Taylor schon anwenden darf. Hab Analysis 2 schon bestanden und wiederhol es jetzt noch mal. Aber deshalb ist es auch net so wichtig ob wir Taylor schon hatten oder nicht. Hauptsache ich bekomm den Beweis hin... 
matsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo matsch,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich suche einen Ansatz zum Beweis des hinreichenden
> Kriteriums von Extremas in [mm]\IR.
[/mm]
> Das heisst aus f(k)(x)=0 fuer k=1,...,n-1 und f(n)(x)
> [mm]\not=0[/mm] folgt bei n gerade x ist Extremstelle.
> Naja hoffe das mit einruecken hat geklappt (erster
> Beitrag).
eine andere Idee (die aber gar nicht so anders wie der Weg über die Taylorformel ist, dieses Wort aber nicht benutzt) ist vielleicht diese:
Wegen der Differenzierbarkeit von f'(x) an der Stelle a gibt es eine Funktion [mm] g_1 [/mm] mit [mm] $f'(x)=(x-a)*g_1(x)$
[/mm]
Da f n-mal diffbar ist, gibt es auch eine Darstellung [mm] $f'(x)=(x-a)^{n-1}*g_{n-1}(x)$ [/mm] (das folgt hoffentlich per Induktion [mm] (g_1 [/mm] ist wieder diffbar, deswegen gibt es [mm] $g_2$ [/mm] mit [mm] $g_1(x)=(x-a)*g_2(x)$ [/mm] usw.).
Es ist aber [mm] $f^{(n)}(x)=g_{n-1}(x)+\Box*(x-a)*\Box+\Box*(x-a)^2*\Box+\ldots+\Box*(x-a)^{n-1}*\Box$ [/mm] (die Quadrate sollen für irgendwelche Ausdrücke stehen), wir haben deswegen [mm] $0\not=f^{(n)}(a)=g_{n-1}(a)$.
[/mm]
Nun geht es so weiter: Wegen der Stetigkeit von [mm] g_{n-1} [/mm] hat [mm] g_{n-1} [/mm] in einer Umgebung von a keine Nullstelle, ist dort also entweder positiv oder negativ.
Damit ist aber der Vorzeichenwechsel von f'(x) an der Stelle a gesichert, denn [mm] $(x-a)^{n-1}$ [/mm] wechselt dort sicher das Vorzeichen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Di 26.10.2004 | | Autor: | matsch |
Hi!
Auch Dir vielen Dank marc!
Hab meinen Beweis gerade eben fertig bekommen. Mit Taylor ging das echt gut! Die Restgliedabschätzung hab ich natürlich auch mit der Stetigkeit wie du gemacht.
In deinem Beweis war mir allerdings noch nicht klarm, warum es die Fkt f'(x)=(x-a) [mm] g_{1}(x) [/mm] gibt. Ist zwar nicht sehr wichtig, aber falls du Lust hast und es ist wenig Aufwand kannste es ja noch mal schreiben.
mfG
matsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo matsch,
> In deinem Beweis war mir allerdings noch nicht klarm,
> warum es die Fkt f'(x)=(x-a) [mm]g_{1}(x)[/mm] gibt. Ist zwar nicht
> sehr wichtig, aber falls du Lust hast und es ist wenig
> Aufwand kannste es ja noch mal schreiben.
Na gut 
Also, wenn eine Funktion f an der Stelle a differenzierbar ist, dann gibt es ein c und eine Funktion g(x) mit:
f(x)=f(a)+c*(x-a)+g(x)*(x-a) (mit g ist in a stetig und g(a)=0) ("Lineare Approximierbarkeit")
So, nun wende ich das auf die Funktion f:=f' an (f' ist ja ebenfalls differenzierbar):
f'(x)=f'(a)+c*(x-a)+g(x)*(x-a)
f'(a)=0 nach Voraussetzung, (x-a) ausklammern:
f'(x)=(x-a)*(c+g(x))
Also lautet meine Funktion [mm] g_1 [/mm] von oben [mm] $g_1(x)=c+g(x)$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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