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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - holom. Funktion, Beweis
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holom. Funktion, Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Mi 01.10.2008
Autor: Rutzel

Hallo,

hier soll es nur um die Kontrolle eines Beweises gehen. Zunächst die Aufgabe:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hier mein Beweis:

Stelle f(z) passend dar:
f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

[mm] \frac{d|f|^2}{dx}=\frac{d u^2}{dx}+\frac{d v^2}{dx} [/mm]
= 2 [mm] \frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx} [/mm]  (Produktregel)
= 0         (weil |f| const)

=>
[mm] 2\frac{du}{dx}=-2\frac{dv}{dx} [/mm]      [I]

[mm] \frac{d|f|^2}{dy}=\frac{d u^2}{dy}+\frac{d v^2}{dx} [/mm]
=2 [mm] \frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy} [/mm]
=0        (weil |f| const)

=>
[mm] 2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dy} [/mm]      [II]

Wegen Cauchy-Riemann-Diffgl. gilt:

[mm] 2\frac{du}{dx}=2\frac{dv}{dy} [/mm]
und
[mm] 2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dx} [/mm]

Es folgt mit [I] und [II] und den Cauchy-Riemann-Diffgl.:

[mm] \frac{du}{dx}=\frac{dv}{dx}=-\frac{dv}{dx}=\frac{du}{dy} [/mm]

Aber weil
[mm] 2\frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx} [/mm] = 0
und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0 sein:

=>
[mm] \frac{du}{dx} [/mm] = 0
[mm] \frac{dv}{dx} [/mm] = 0

Genauso weil
2 [mm] \frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy} [/mm] = 0
und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0 sein:

=>
[mm] \frac{du}{dy} [/mm] = 0
[mm] \frac{dv}{dy} [/mm] = 0

Für f'(z) gilt:

[mm] f'(z)=\frac{du}{dx} +i\frac{dv}{dx} [/mm]
    =0+0
     [mm] =\frac{dv}{dy}-i\frac{du}{dy} [/mm]
    =0+0
   =0

Was zu zeigen war.


Ist das ok?

Gruß,
Rutzel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
holom. Funktion, Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Do 02.10.2008
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> hier soll es nur um die Kontrolle eines Beweises gehen.
> Zunächst die Aufgabe:
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Hier mein Beweis:
>  
> Stelle f(z) passend dar:
>  f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
>  
> [mm]\frac{d|f|^2}{dx}=\frac{d u^2}{dx}+\frac{d v^2}{dx}[/mm]
>  = 2
> [mm]\frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx}[/mm]  (Produktregel)

Diese Ableitung ist falsch !!!!!

Richtig wäre [mm] 2uu_x [/mm] + [mm] 2vv_x [/mm]

Weiter unten , bei der Diff. nach y machst Du den gleichen Fehler


FRED



>  = 0         (weil |f| const)
>  
> =>
>  [mm]2\frac{du}{dx}=-2\frac{dv}{dx}[/mm]      [I]
>  
> [mm]\frac{d|f|^2}{dy}=\frac{d u^2}{dy}+\frac{d v^2}{dx}[/mm]
>  =2
> [mm]\frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy}[/mm]
>  =0        (weil |f| const)
>  
> =>
>  [mm]2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dy}[/mm]      [II]
>  
> Wegen Cauchy-Riemann-Diffgl. gilt:
>  
> [mm]2\frac{du}{dx}=2\frac{dv}{dy}[/mm]
>  und
>  [mm]2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dx}[/mm]
>  
> Es folgt mit [I] und [II] und den Cauchy-Riemann-Diffgl.:
>  
> [mm]\frac{du}{dx}=\frac{dv}{dx}=-\frac{dv}{dx}=\frac{du}{dy}[/mm]
>  
> Aber weil
>  [mm]2\frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx}[/mm] = 0
>  und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0
> sein:
>  
> =>
>  [mm]\frac{du}{dx}[/mm] = 0
>  [mm]\frac{dv}{dx}[/mm] = 0
>  
> Genauso weil
>  2 [mm]\frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy}[/mm] = 0
>  und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0
> sein:
>  
> =>
>  [mm]\frac{du}{dy}[/mm] = 0
>  [mm]\frac{dv}{dy}[/mm] = 0
>  
> Für f'(z) gilt:
>  
> [mm]f'(z)=\frac{du}{dx} +i\frac{dv}{dx}[/mm]
>      =0+0
>       [mm]=\frac{dv}{dy}-i\frac{du}{dy}[/mm]
>      =0+0
>     =0
>  
> Was zu zeigen war.
>  
>
> Ist das ok?
>  
> Gruß,
>  Rutzel


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