holomorphe fortsetzbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Do 11.06.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Für welche n [mm] \in \IZ [/mm] kann [mm] f_n [/mm] : [mm] \IC [/mm] \ {0} - > [mm] \IC, f_n(z) [/mm] := [mm] z^n(cos(z)-1) [/mm] in den Nullpunkt hinein holomorph fortgesetzt werden? Geben Sie die holomorphe Fortsetzung im Existenzfalle an. |
Ich habe mir folgendes überlegt.
Wenn der Grenzwert der Funktion existiert, dann habe ich doch holomorphe fortsetzbarkeit?
Bew.: [mm] \limes_{z\rightarrow 0} z^n(cos(z)-1) [/mm] = ?
Ich definiere mir eine Folge für z [mm] \to [/mm] (1/n)
[mm] \Rightarrow \limes_{z\rightarrow 0} z^n(cos(z)-1) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow 0} (\frac{1}{n})^n (cos(\frac{1}{n})-1) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow 0} (\frac{1}{n})^n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow 0} (cos(\frac{1}{n})-1) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 * 0 = 0
Grenzwert ex, damit holomorph fortsetzbar. Wenn ich mir den Cosinus aufmale, hat er ja als Grenzwerte 1 und -1 ... da stimmt doch irgendwas nicht...
Könnt ihr mir evtl weiterhelfen?
Danke und Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:47 Fr 12.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für welche n [mm]\in \IZ[/mm] kann [mm]f_n[/mm] : [mm]\IC[/mm] \ {0} - > [mm]\IC, f_n(z)[/mm]
> := [mm]z^n(cos(z)-1)[/mm] in den Nullpunkt hinein holomorph
> fortgesetzt werden? Geben Sie die holomorphe Fortsetzung im
> Existenzfalle an.
> Ich habe mir folgendes überlegt.
>
> Wenn der Grenzwert der Funktion existiert, dann habe ich
> doch holomorphe fortsetzbarkeit?
>
> Bew.: [mm]\limes_{z\rightarrow 0} z^n(cos(z)-1)[/mm] = ?
>
> Ich definiere mir eine Folge für z [mm]\to[/mm] (1/n)
Jetzt verwendest du $n$ doppelt!
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{z\rightarrow 0} z^n(cos(z)-1)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} (\frac{1}{n})^n (cos(\frac{1}{n})-1)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow 0} (\frac{1}{n})^n[/mm] *
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} (cos(\frac{1}{n})-1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 * 0 = 0
Nun: warum ist denn [mm] $\lim_{m\to\infty} (\frac{1}{m})^n [/mm] = 0$? Wenn z.B. $n = 0$ ist ist der Grenzwert 1, und fuer $n < 0$ ist der Grenzwert [mm] $\infty$.
[/mm]
Ausserdem: du hast hier genau eine Folge betrachtet.
> Grenzwert ex, damit holomorph fortsetzbar. Wenn ich mir den
> Cosinus aufmale, hat er ja als Grenzwerte 1 und -1 ... da
> stimmt doch irgendwas nicht...
Was verstehst du hier unter Grenzwert?
Setz doch mal die Reihenentwicklung vom Kosinus in [mm] $\cos(z) [/mm] - 1$ ein. Hier kannst du jetzt [mm] $z^2$ [/mm] ausklammern und erhaelst als Rest eine holomorphe Funktion, die in $z = 0$ keine Nullstelle hat. Nennen wir sie $h$.
Damit hast du also [mm] $z^n (\cos(z) [/mm] - 1) = [mm] z^{n + 2} [/mm] h(z)$.
Fuer [mm] $z_m \to [/mm] 0$ gilt [mm] $h(z_m) \to [/mm] h(0) [mm] \neq [/mm] 0$. Jetzt unterscheide zwischen $n + 2 > 0$, $n + 2 = 0$ und $n + 2 < 0$. Was stellst du fuer das Verhalten von [mm] $f(z_n)$ [/mm] fest?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 22.06.2010 | | Autor: | Doc1083 |
Hallo, ich buddel den nur wieder aus, da ich genau die gleiche Aufgabe habe :)
Hab mir das Ganze mal angeschaut und die Tipps beherzigt. Zunächst die Frage ob ich bei h(z) richtig liege:
[mm] cos(z)-1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^{2k}}{(2k)!}-1=z^2\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^{k}}{(2k)!}-1=z^2*h(z) [/mm] stimmt das so? Man könnte ja die -1 noch rein ziehen in die Summe, aber dann ist [mm] h(z)=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^{k}}{(2k)!} [/mm] und somit nicht mehr [mm] h(0)\not=0.
[/mm]
Wenn also gilt [mm] z^{n+2}*h(z) [/mm] und [mm] z_m\to0, [/mm] dann ist [mm] h(z_m) \to [/mm] h(0) [mm] \neq [/mm] 0
n+2>0 [mm] \Rightarrow f(z_m)\to0
[/mm]
n+2=0 [mm] \Rightarrow f(z_m)\neq0
[/mm]
n+2<0 [mm] \Rightarrow f(z_m)\to\infty
[/mm]
Hieße das für n=-2 ist die Funktion holomorph fortsetzbar?
Vielen Dank für Hilfen.
Doc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich buddel den nur wieder aus, da ich genau die
> gleiche Aufgabe habe :)
>
> Hab mir das Ganze mal angeschaut und die Tipps beherzigt.
> Zunächst die Frage ob ich bei h(z) richtig liege:
>
> [mm]cos(z)-1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^{2k}}{(2k)!}-1=z^2\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^{k}}{(2k)!}-1=z^2*h(z)[/mm]
Moment, seit wann ist [mm] $z^2 z^k [/mm] = [mm] z^{2 k}$?!
[/mm]
> stimmt das so? Man könnte ja die -1 noch rein ziehen in
> die Summe, aber dann ist
> [mm]h(z)=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^{k}}{(2k)!}[/mm] und
> somit nicht mehr [mm]h(0)\not=0.[/mm]
Gerade bei deinem $h$ ist $h(0) = 0$, da die Reihe keinen konstanten Term hat.
> Wenn also gilt [mm]z^{n+2}*h(z)[/mm] und [mm]z_m\to0,[/mm] dann ist [mm]h(z_m) \to[/mm]
> h(0) [mm]\neq[/mm] 0
>
> n+2>0 [mm]\Rightarrow f(z_m)\to0[/mm]
> n+2=0 [mm]\Rightarrow f(z_m)\neq0[/mm]
>
> n+2<0 [mm]\Rightarrow f(z_m)\to\infty[/mm]
>
> Hieße das für n=-2 ist die Funktion holomorph
> fortsetzbar?
Und ebenso fuer $n + 2 > 0$, also $n > -2$.
LG Felix
|
|
|
|
