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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - homogene Differentialgl.
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homogene Differentialgl.: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Mi 14.07.2010
Autor: coffeee5000

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:

[mm] y' = 1 + \bruch{y}{t} + \bruch{y^2}{t^2} [/mm]

mit [mm] y\left(1\right) = 1 [/mm]

Hallo,

also ich habe diese Aufgabe nach diesem Ansatz gelöst:

[mm] y\left(t\right) [/mm] ist Lösung von

[mm] y' = g \left(\bruch{y}{t}\right) [/mm]

mit [mm] y\left(t_0\right) = y_0 [/mm]

genau dann, wenn

[mm] z := \bruch{y}{t} [/mm] mit [mm] z_0 := \bruch{y_0}{t_0} [/mm]

Lösung von

[mm] z' = \bruch{g\left(z\right)-z}{t} [/mm]

Okay, [mm] g\left(z\right) = 1 + z + z^2[/mm]

Also ist

[mm] \bruch{g\left(z\right)-z}{t} = \bruch{1+z^2}{t} [/mm]

Das Ganze löse ich nun nach dem Prinzip der getrennten Veränderlichen, mit:

[mm] h\left(t\right) = \bruch{1}{t}[/mm] und

[mm] g\left(z\right) = 1+z^2[/mm]

[mm] ln\left(t\right) - ln\left(1\right) = \integral_{1}^{t}\bruch{1}{s} ds}= \integral_{1}^{z}\bruch{1}{1+s^2} ds}= arctan\left(z\right)-arctan\left(1\right) [/mm]

Also:

[mm] ln\left(t\right) = arctan\left(z\right)[/mm]

und somit:

[mm] z = tan\left(ln\left(t\right)\right)[/mm]

und damit ist

[mm] y\left(t\right) = \bruch{tan\left(ln\left(t\right)\right)}{t}[/mm]

Das sieht für mich soweit alles richtig aus, nur ist hier

[mm] y\left(1\right) = 0[/mm]

Also wo ist der Fehler?

        
Bezug
homogene Differentialgl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mi 14.07.2010
Autor: MathePower

Hallo coffeee5000,


> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems:
>  
> [mm] y' = 1 + \bruch{y}{t} + \bruch{y^2}{t^2}[/mm]
>  
> mit [mm]y\left(1\right) = 1 [/mm]
>  Hallo,
>  
> also ich habe diese Aufgabe nach diesem Ansatz gelöst:
>  
> [mm]y\left(t\right)[/mm] ist Lösung von
>  
> [mm] y' = g \left(\bruch{y}{t}\right) [/mm]
>  
> mit [mm]y\left(t_0\right) = y_0 [/mm]
>  
> genau dann, wenn
>  
> [mm] z := \bruch{y}{t} [/mm] mit [mm] z_0 := \bruch{y_0}{t_0} [/mm]
>
> Lösung von
>  
> [mm] z' = \bruch{g\left(z\right)-z}{t} [/mm]
>  
> Okay, [mm] g\left(z\right) = 1 + z + z^2[/mm]
>  
> Also ist
>  
> [mm]\bruch{g\left(z\right)-z}{t} = \bruch{1+z^2}{t} [/mm]
>  
> Das Ganze löse ich nun nach dem Prinzip der getrennten
> Veränderlichen, mit:
>  
> [mm] h\left(t\right) = \bruch{1}{t}[/mm] und
>  
> [mm] g\left(z\right) = 1+z^2[/mm]
>  
> [mm] ln\left(t\right) - ln\left(1\right) = \integral_{1}^{t}\bruch{1}{s} ds}= \integral_{1}^{z}\bruch{1}{1+s^2} ds}= arctan\left(z\right)-arctan\left(1\right)[/mm]
>  
> Also:
>  
> [mm] ln\left(t\right) = arctan\left(z\right)[/mm]
>  
> und somit:
>  
> [mm] z = tan\left(ln\left(t\right)\right)[/mm]


Hier muss nach vorhergender Gleichung stehen:

[mm]z = tan\left( \ ln\left(t\right)\red{+\arctan\left(1\right)} \ \right)[/mm]

>  
> und damit ist
>  
> [mm] y\left(t\right) = \bruch{tan\left(ln\left(t\right)\right)}{t}[/mm]
>  


Hier muss doch stehen:

[mm]y\left(t\right)=\red{t}*z\left(t\right)=t*tan\left( \ ln\left(t\right)+\arctan\left(1\right)\ \right)[/mm]


> Das sieht für mich soweit alles richtig aus, nur ist hier
>  
> [mm] y\left(1\right) = 0[/mm]
>  
> Also wo ist der Fehler?



Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
homogene Differentialgl.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Mi 14.07.2010
Autor: coffeee5000

Ahja, also das

[mm]y\left(t\right)=t*z\left(t\right)=t*tan\left( \ ln\left(t\right)+\arctan\left(1\right)\ \right)[/mm]

hatte ich nur falsch eingegeben, jetz sehe ich meinen Fehler, ich hatte irgendwie
[mm]\arctan\left(1\right)\ \right) = 0[/mm] gesetzt.

Merci

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