homogenes lineares Gleichungss < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | folgendes lineare homogene Gleichungssystem soll gelöst werden:
[mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 6 & 4} \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
|
Hallo,
kann mir vielleicht jemand sagen, wie man dieses Gleichungssystem löst (nicht die triviale Lösung). Ich steh grad irgendwie auf dem Schlauch, weil ich weiß, dass ich das schonmal wußte. Aber ich bin grad etwas unter Zeitdruck und finde das nicht so richtig wieder. Also, es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
|
|
| |
|
> folgendes lineare homogene Gleichungssystem soll gelöst
> werden:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ 6 & 4} \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> Hallo,
>
Hey!
> kann mir vielleicht jemand sagen, wie man dieses
> Gleichungssystem löst (nicht die triviale Lösung). Ich steh
> grad irgendwie auf dem Schlauch, weil ich weiß, dass ich
> das schonmal wußte. Aber ich bin grad etwas unter Zeitdruck
> und finde das nicht so richtig wieder. Also, es wäre nett,
> wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Bringe die Matrix zuerst auf Zeilenstufenform mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Hier sieht man sofort, dass die untere Zeile das Doppelte von der oberen Zeile ist. Somit lautet die ZSF also: [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ 0 & 0} \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
Wenn du jetzt das Matrixvektorprodukt ausmultiplizierst erhälst du folgende Gleichung: [mm] 3x_1+2x_2=0. [/mm] Nun kannst du eine Variable frei wählen. Kommst du nun weiter?
Grüße Patrick
|
|
|
| |
|
Ok,
dann sind also, wenn ich z. B. [mm] x_1 [/mm] = t setzt die Vektoren der Form [mm] \vektor{t \\ -\bruch{3}{2}} [/mm] alle Lösungen des Gleichungssystems, richtig?
Und wie ist das, allgemein bei größeren homogenen linearen Gleichungssystemen. Wenn die Koeffizientenmatrix beispielsweise ein 3x3 Matrix ist? Wie gehe ich da nochmal vor. Muß man die Matrix in diesem Fall auch auf stufenform bringen. Und war da nicht irgendetwas, dass die Anzahl der frei wählbaren Unbekannten abhängig ist, vom Rang der Matrix und von der Anzahl der Unbekannten??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mi 18.06.2008 | | Autor: | wolfe |
Nein, das stimmt so nicht, denn
[mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 6 & 4 }*\vektor{t \\ -3/2} [/mm] = [mm] \vektor{3t -3 \\ 6t-6} \not= \vektor{0 \\ 0 } [/mm] für t = 2
Die richtige Lösung wäre [mm] \vektor{t \\ -3/2*t}
[/mm]
Warum?
Weil du [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] = 0 gegeben hast
also [mm] x_2 [/mm] = - 3/2 [mm] x_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{x_1 \\ -3/2 x_1} [/mm]
dann ersetzt man nur noch das [mm] x_1 [/mm] durch t und fertig.
übrigens ist
t [mm] \in \mathbb{R} [/mm]
|
|
|
| |
|
ok, danke. Habe mich wohl vertippt und das t vergessen. Meinte eigentlich schon das richtige.
Aber wie sieht es denn jetzt allgemein mit homogenen linearen größeren Gleichungssystemen aus??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Do 19.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
Du kannst immer das Gauß-Verfahren benutzen und die Matrix auf Zeilenstufenform bringen. Hast Du dies getan, gibt es im Prinzip drei verschiedene Möglichkeiten für homogene LGS:
1) Die letzte Zeile ist eine Nullzeile, dann kann eine Variable frei gewählt werden. Es können auch n letzte Zeilen Nullzeilen sein. Dann sind n Variablen frei wählbar, und der Rang der Matrix ist dementsprechend kleiner als die Matrixdimension.
2) Die letzte Zeile ist keine Nullzeile, dann ist die entsprechende Variable gleich Null.
Es gibt drei Sorten von Mathematikern: Solche, die bis drei zählen können, und die, die es nicht können.
Du hast natürlich nur zwei Möglichkeiten da oben. 
LG djmatey
|
|
|
|
