hyperebenen, orthogonalität < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 23.08.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
1. eine Hyperebene durch null hat die Kodimension 1!
2. U [mm] \cap U^{\perp} [/mm] = [mm] \{0\}
[/mm]
3. a [mm] \not= [/mm] 0 ist ein Vektor dann bestehen die [mm] \{a\}^{\perp} [/mm] aus den Hyperebenen durch 0!
zuerst zu 2:
wenn U und [mm] U^{\perp} [/mm] zwei Hyperebenen sind dann haben sie doch eine Gerade gemeinsam ?????? oder eine Gerade und eine Ebene haben doch einen Punkt gemeinsam ??????
zu 1:
eine Hyperebene benötigt immer n-1 Vektoren um sie aufzuspannen, dass würde bedeuten, dass noch die Dimension des kompliments nur noch 1 sein kann, aber dass heißt ja dass das orthogonale Kompliment einer hyperebene durch 0 immer nur eine gerade sein kann und dass die Ebene und das Kompliment dann den n-dimensionalen raum aufspannen
zu 3:
das versteh ich leider auch überhaupt nicht, wenn ich einen vektor habe und alle betrachte dir auf diesem Senkrecht stehen wie komm ich dann auf alle ebene die durch null gehen ...
ich kann mir dass leider gar nicht vorstellen ... und brauche deshalb unbedingt hilfe ... vielen dank schonmal
gruß
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> 1. eine Hyperebene durch null hat die Kodimension 1!
> 2. U [mm]\cap U^{\perp}[/mm] = [mm]\{0\}[/mm]
> 3. a [mm]\not=[/mm] 0 ist ein Vektor dann bestehen die
> [mm]\{a\}^{\perp}[/mm] aus den Hyperebenen durch 0!
Hallo,
Du hast das Präludium zur Aufgabe vergessen.
Nun muß man raten, worum's geht und was U sein soll.
> zuerst zu 2:
>
> wenn U und [mm]U^{\perp}[/mm] zwei Hyperebenen sind
Aber wer sagt denn, daß das zwei Hyperebenen sind?
Wie ist [mm] U^{\perp} [/mm] definiert?
>
> zu 1:
>
> eine Hyperebene benötigt immer n-1 Vektoren um sie
> aufzuspannen, dass würde bedeuten, dass noch die Dimension
> des kompliments
Komplimente darfst Du mir gern machen - mit der Kodimension haben sie nichts zu tun.
"Komplement" meinst Du sicher.
> nur noch 1 sein kann, aber dass heißt ja
> dass das orthogonale Kompliment einer hyperebene durch 0
> immer nur eine gerade sein kann und dass die Ebene und das
> Kompliment dann den n-dimensionalen raum aufspannen
Ja und? Du sagst das so anklagend. Das stimmt doch.
Eine Frage noch: wie hattet Ihr Codimension definiert? Als Dimension des orthogonalen Komplements?
>
> zu 3:
>
> das versteh ich leider auch überhaupt nicht, wenn ich einen
> vektor habe und alle betrachte dir auf diesem Senkrecht
> stehen wie komm ich dann auf alle ebene die durch null
> gehen ...
Ich nehme ja ml ganz stark an, daß der zugrundeliegende VR v ein euklidischer VR ist.
Du kannst den Vektor a durch Vektoren [mm] b_2,...b_n [/mm] zu einer Orthogonalbasis von V ergänzen.
Betrachte nun den von [mm] b_2,...b_n [/mm] aufgespannten Raum.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 23.08.2008 | | Autor: | vivo |
erstmal danke für deine antwort.
es gibt keine aufgabe ...
V ist ein Vektorraum mit SKP, A [mm] \subset [/mm] V
[mm] A^{\perp} [/mm] := [mm] \{ x \in V : (x.a) = 0 für alle a \in A\}
[/mm]
ist A ein linearer Unterraum so nennen wir [mm] A^{\perp} [/mm] das orthogonale Komplement zu A in V. Ist dim A = n dann heißt n die Kodimension von [mm] A^{\perp}
[/mm]
1 . A [mm] \cap A^{\perp} [/mm] = [mm] \{0\}
[/mm]
so wenn jetzt aber das orthogonale komplement zu einer eben eine gerade ist dann haben die doch einen punkt gemeinsam, da wo die gerade sozusagen durch die ebene stößt, oder???
was stellt ich mir da falsch vor?
2. für [mm] \{a\}^{\perp} [/mm] schreiben wir kurz [mm] a^{\perp}, [/mm] wenn a [mm] \in [/mm] V dann sind also die [mm] a^{\perp} [/mm] für a [mm] \not= [/mm] 0 die Hyperebenen durch 0
warum die Hyperebenen durch 0 und nicht irgendwelche anderen woran sieht man das?
vielen Dank für antworten
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> V ist ein Vektorraum mit SKP, A [mm]\subset[/mm] V
>
> [mm]A^{\perp}[/mm] := [mm]\{ x \in V : (x.a) = 0 für alle a \in A\}[/mm]
>
> ist A ein linearer Unterraum so nennen wir [mm]A^{\perp}[/mm] das
> orthogonale Komplement zu A in V. Ist dim A = n dann heißt
> n die Kodimension von [mm]A^{\perp}[/mm]
>
> 1 . A [mm]\cap A^{\perp}[/mm] = [mm]\{0\}[/mm]
Hallo,
was soll A hier denn nun sein? Eine Teilmenge von V oder ein UVR?
Wenn A nämlich lediglich eine Teilmenge von V ist, stimmt die Aussage nicht.
(Du mußt sowas unbedingt dazuschreiben, und das sind Dinge, die Du Dir vorm Bearbeiten der Aufgabe auch klarmachen mußt. Sonst kann man solche Aufgaben nicht lösen.)
>
> so wenn jetzt aber das orthogonale komplement zu einer eben
> eine gerade ist
In welcher Dimension befinden wir uns gerade? Im [mm] \IR^5 [/mm] ist das Komplement zu einer Ebene keine Gerade.
Das orthogonale Element zu einer Hyperebene allerdings ist immer eine Gerade, das stimmt.
> dann haben die doch einen punkt gemeinsam,
> da wo die gerade sozusagen durch die ebene stößt, oder???
Ja, und das kann nirgends anders als im Nullpunkt sein, und das sagt doch auch Deine Behauptung.
>
> was stellt ich mir da falsch vor?
Ich weiß nicht genau. Vielleicht verwechselst Du [mm] \{0\} [/mm] mit [mm] \emptyset.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 23.08.2008 | | Autor: | vivo |
sorry ich meinte natürlich hyperebene, und A ist lin Unterraum von V ... es gibt keine aufgabe ... ich versuche nur das zu verstehen .-)
nehmen wir mal an wir befinden uns im [mm] R^3 [/mm] und haben eine ebene warum ist denn jetzt der "durchstoßpunkt" der orthogonalen gerade und der ebene in unbedingt im nullpunkt ????????
vielen dank für deine geduld
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> nehmen wir mal an wir befinden uns im [mm]R^3[/mm] und haben eine
> ebene warum ist denn jetzt der "durchstoßpunkt" der
> orthogonalen gerade und der ebene in unbedingt im nullpunkt
> ????????
Hallo,
gut, gehen wir in den [mm] \IR³.
[/mm]
Kannst Du mal sagen, welches die Unterräume des [mm] \IR³ [/mm] sind? Die null-, ein- und zweidimensionalen.
Oder anders gefragt: ist Dir klar, daß z.B. die Gerade in Richtung [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] durch den Punkt [mm] {1\\2\\3} [/mm] kein Untervektorraum ist?
Jetzt werden wir konkret: wir betrachten die xy-Ebene im [mm] \IR³. [/mm] Was meinst Du, welche Vektoren im orthogonalen Komplement sind?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Sa 23.08.2008 | | Autor: | vivo |
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> > nehmen wir mal an wir befinden uns im [mm]R^3[/mm] und haben eine
> > ebene warum ist denn jetzt der "durchstoßpunkt" der
> > orthogonalen gerade und der ebene in unbedingt im nullpunkt
> > ????????
>
> Hallo,
>
> gut, gehen wir in den [mm]\IR³.[/mm]
>
>
> Kannst Du mal sagen, welches die Unterräume des [mm]\IR³[/mm] sind?
> Die null-, ein- und zweidimensionalen.
sie müssen jeweils durch null gehen und werden aufgespannt von
[mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm]
[mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm]
[mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]
[mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
und dann eben noch die zweidimensionalen z.B [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] + [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> Oder anders gefragt: ist Dir klar, daß z.B. die Gerade in
> Richtung [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] durch den Punkt [mm]{1\\2\\3}[/mm] kein
> Untervektorraum ist?
da z.B. (2 2 3) + (0 2 3) = (2 4 6) [mm] \not\in [/mm] dem Unterraum
>
>
> Jetzt werden wir konkret: wir betrachten die xy-Ebene im
> [mm]\IR³.[/mm] Was meinst Du, welche Vektoren im orthogonalen
> Komplement sind?
>
ja, warum jetzt nur die die senkrecht darauf stehen und durch null gehen? weil das orthoganle Komplement auch ein linearer Unterraum sein muss und deshalb Null enthalten muss? dann wäre dass ja aber alles nur so weil es lineare Unterräume sind. denn es gibt doch auch vektoren die senkrecht zur ebene sind die nicht durch null gehen, natürlich sind die dann kein linearer unterraum, oder?
und dann hast du doch vorhin gesagt, dass das orthogonale komplement einer ebene im z.B [mm] R^5 [/mm] keine gerade ist, dann müssten aber doch ebene und o. Komplement mehr als einen punkt gemeinsam haben, oder ist eine ebene im [mm] R^5 [/mm] keine lin Unterraum?
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> >
> > > nehmen wir mal an wir befinden uns im [mm]R^3[/mm] und haben eine
> > > ebene warum ist denn jetzt der "durchstoßpunkt" der
> > > orthogonalen gerade und der ebene in unbedingt im nullpunkt
> > > ????????
> >
> > Hallo,
> >
> > gut, gehen wir in den [mm]\IR³.[/mm]
> >
> >
> > Kannst Du mal sagen, welches die Unterräume des [mm]\IR³[/mm] sind?
> > Die null-, ein- und zweidimensionalen.
>
> sie müssen jeweils durch null gehen
Haargenau!
> und werden aufgespannt
> von
>
> [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm]
> [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> und dann eben noch die zweidimensionalen z.B
> [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] , [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]
Naja, der von [mm] \vektor{4\\7\\11} [/mm] aufgespannte raum ist z.B. auch ein Unterraum.
Der [mm] \IR³ [/mm] hat ziemlich viele Unterräume:
[mm] \{0\},
[/mm]
sämtliche Geraden durch den Nullpunkt,
sämtliche Ebenen durch den Nullpunkt,
den Raum selber.
>
> > Oder anders gefragt: ist Dir klar, daß z.B. die Gerade in
> > Richtung [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] durch den Punkt [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] kein
> > Untervektorraum ist?
>
> da z.B. (2 2 3) + (0 2 3) = (2 4 6) [mm]\not\in[/mm] dem Unterraum
Die Argumentation verstehe ich nicht.
>
> >
> >
> > Jetzt werden wir konkret: wir betrachten die xy-Ebene im
> > [mm]\IR³.[/mm] Was meinst Du, welche Vektoren im orthogonalen
> > Komplement sind?
> >
[...]
> denn es gibt doch auch vektoren die
> senkrecht zur ebene sind die nicht durch null gehen,
Ich glaube, jetzt nähern wir uns dem Kern des Problems.
Wir nehmen die xy-Ebene, und wir stellen uns vor, daß da überall lauter kleine Pfeile gleicher Länge senkrecht draufstehen. Ungefähr so, wie beim Brett eines Fakirs.
Du sagst: all diese Pfeile sind doch im orthogonalen Komplement.
Ich sage: Du verwechselst den Vektor und seine Repräsentanten. Jeder dieser Pfeile repräsentiert denselben Vektor. Der Vektor umfaßt alle Pfeile derselben Länge und Richtung.
Im orthogonalen Element der xy-Ebene sind alle Vektoren, die in Richtung der z-Achse gehen, also alle Vektoren der Gestalt [mm] \lambda \vektor{0\\0\\1}, [/mm] und das ist doch dieGerade in Richtung der z-Achse durch den Nullpunkt.
> und dann hast du doch vorhin gesagt, dass das orthogonale
> komplement einer ebene im z.B [mm]R^5[/mm] keine gerade ist,
sondern ein dreidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^5
[/mm]
> dann
> müssten aber doch ebene und o. Komplement mehr als einen
> punkt gemeinsam haben, oder ist eine ebene im [mm]R^5[/mm] keine lin
> Unterraum?
Machen wir's konkret.
Wir betrachten im [mm] \IR^5 [/mm] die von [mm] \vektor{1\\2\\0\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\0\\1\\1} [/mm] aufgespannte Ebene.
das ist natürlcih ein Unterraum des [mm] \IR^5.
[/mm]
Das orthogonale Komplement wird aufgespannt von [mm] \vektor{2\\-1\\0\\0\\0},\vektor{0\\0\\0\\1\\-1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1\\0\\0}.
[/mm]
Du kannst nachrechnen, daß die beiden Räume nur den Nullpunkt gemeinsam haben.
Achtung: wir "wohnen" gerade im [mm] \IR^5, [/mm] das darfst Du nicht vergessen.
Im [mm] \IR³ [/mm] hätten ein Raum der Dim. 2 und einer der Dim 3 natürlich mehr als einen Punkt gemeinsam.
Gruß v. Angela
P.S.: Vielleicht solltest Du mal etwas im Profil eintragen. Es macht manchmal wirklich einen Unterschied, ob man jemandem, der fürs Sonderpädagogikstudium einen Mathepflichtschein braucht, antwortet, oder einem Physikstudenten. (Ich bin oben z.B. davon ausgegangen, das das Skalarprodukt das gewöhnliche ist, wie man es aus der Schule kennt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 23.08.2008 | | Autor: | vivo |
> > da z.B. (2 2 3) + (0 2 3) = (2 4 6) [mm]\not\in[/mm] dem Unterraum
>
> Die Argumentation verstehe ich nicht.
naja beider punkte sind elemente (x und y) des raumes der von dem von dir gegebenen vektor und dem punkt aufgespannt wird ...
aber x+y [mm] \not\in [/mm] des raumes also kein linearer unterraum, richtig?
> Gestalt [mm]\lambda \vektor{0\\0\\1},[/mm] und das ist doch
> dieGerade in Richtung der z-Achse durch den Nullpunkt.
aaaaaaahhhhh ! klack klack ...
> Du kannst nachrechnen, daß die beiden Räume nur den
> Nullpunkt gemeinsam haben.
>
> Achtung: wir "wohnen" gerade im [mm]\IR^5,[/mm] das darfst Du nicht
> vergessen.
Ok aber da es ja für alle [mm] R^{n} [/mm] gilt muss man doch auch irgendwie abstrakt argumentieren können dass A [mm] \cap A^{\perp} [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] ist also sie nur einen Punkt gemeinsam haben, in meinem Skript find ich leider nichts ...
nochmals vielen dank für die ausführlichen antworten
PS.: ich studier Wirtschaftsmathe im Grundstudium (wird auch noch ins Profil eingetragen)
>
> Im [mm]\IR³[/mm] hätten ein Raum der Dim. 2 und einer der Dim 3
> natürlich mehr als einen Punkt gemeinsam.
>
> Gruß v. Angela
>
> P.S.: Vielleicht solltest Du mal etwas im Profil eintragen.
> Es macht manchmal wirklich einen Unterschied, ob man
> jemandem, der fürs Sonderpädagogikstudium einen
> Mathepflichtschein braucht, antwortet, oder einem
> Physikstudenten. (Ich bin oben z.B. davon ausgegangen, das
> das Skalarprodukt das gewöhnliche ist, wie man es aus der
> Schule kennt.)
>
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> > > da z.B. (2 2 3) + (0 2 3) = (2 4 6) [mm]\not\in[/mm] dem Unterraum
> >
> > Die Argumentation verstehe ich nicht.
>
> naja beider punkte sind elemente (x und y) des raumes der
> von dem von dir gegebenen vektor und dem punkt aufgespannt
> wird ...
Ah! jetzt kapiere ich's.
> > Gestalt [mm]\lambda \vektor{0\\0\\1},[/mm] und das ist doch
> > dieGerade in Richtung der z-Achse durch den Nullpunkt.
>
> aaaaaaahhhhh ! klack klack ...
>
> > Du kannst nachrechnen, daß die beiden Räume nur den
> > Nullpunkt gemeinsam haben.
> >
> > Achtung: wir "wohnen" gerade im [mm]\IR^5,[/mm] das darfst Du nicht
> > vergessen.
>
> Ok aber da es ja für alle [mm]R^{n}[/mm] gilt muss man doch auch
> irgendwie abstrakt argumentieren können dass A [mm]\cap A^{\perp}[/mm]
> = [mm]\{0\}[/mm] ist also sie nur einen Punkt gemeinsam haben, in
> meinem Skript find ich leider nichts ...
Ja, natürlich kann man das beweisen.
Es kommt halt ein bißchen darauf an, was im Skript so alles drin steht.
Sei A ein m-dimensionaler UVR eines euklidischen Vektorraumes V.
Also gibt es eine Orthogonalbasis [mm] b_1,...b_m [/mm] von A.
Diese kann man durch Vektoren [mm] b_{m+1}, [/mm] ..., [mm] b_n [/mm] zu einer Orthogonalbasis des V ergänzen.
Es ist dann [mm] [/mm] das orthogonale Komplement von A.
Nimm nun an, daß A und [mm] A^{perp} [/mm] einen gemeinsamen Punkt haben.
Diesen kann man dann gleichermaßen als Linearkombination von [mm] (b_1,...b_m) [/mm] als auch von [mm] (b_{m+1}, [/mm] ..., [mm] b_n) [/mm] schreiben.
Es gibt also Koeffizienten [mm] \lambda_i [/mm] mit
[mm] \summe_{i=1}^{m}\lambda_ib_i=\summe_{m+1}^{n}\lambda_ib_i.
[/mm]
Nun bring das alles auf eine Seite und bedenke dann, daß [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] eine Basis von V ist, daß diese Vektoren also insbesondere linear unabhängig sind.
Hieraus kannst Du Schlüsse über die [mm] \lambda_i [/mm] ziehen, und damit kennst Du die gemeinsamen Punkte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 23.08.2008 | | Autor: | vivo |
vielen dank! jetzt ists klar ... die orthoganlbasis kommt zwar erst weiter hinten in dem skript und die bemerkung mit dem schnitt ist weiter vorne ...
aber es ist klar jetzt vielen dank !
gruß
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