identität von f in Komposition < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 So 07.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Es seine V ein K-vektorraum und f: V-> V eine lineare Abbildung mit f °f=f. Zeigen Sie:
a) V=Kern f [mm] \oplus [/mm] Bild f
b) f surjektiv <=> f injektiv <=> f= [mm] id_v [/mm] |
bei a) weiß ich, dass ich zwei inclusionen zeigen muss, die Frage ist bloß, wie ich das bei so allgemeinen Abb. mache?
und bei b) werd ich das per Ringschluss machen, nur wie kann ich dann aus f surj. f inj. schließen, von 2. aufs 3. und vom 3. auf 1. ? mir fehlen da jegliche Ansätze zu.
Danke schon mal im Voraus.
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> Es seine V ein K-vektorraum und f: V-> V eine lineare
> Abbildung mit f °f=f. Zeigen Sie:
>
> a) V=Kern f [mm]\oplus[/mm] Bild f
>
> b) f surjektiv <=> f injektiv <=> f= [mm]id_v[/mm]
> bei a) weiß ich, dass ich zwei inclusionen zeigen muss,
Hallo,
wenn Du auch verraten würdest, welche Du meinst, wäre das sehr erhellend, Du mußt damit rechnen, daß wir nicht alle Deine Gedanken erraten können.
Zeigen mußt Du hier zweierlei:
1. Man kann jedes [mm] v\in [/mm] V schreiben als v=b+k mit [mm] b\in [/mm] Bild f und [mm] k\in [/mm] Kern f (also V=Kern f + Bild f)
2. Bildf [mm] \cap [/mm] kern f [mm] =\{0\} [/mm] (die Summe ist direkt)
> die
> Frage ist bloß, wie ich das bei so allgemeinen Abb. mache?
Die allgemeine Abbildung hat ja eine sehr spezielle Eigenschaft, die muß natürlich ausgespielt werden.
Hast Du Dir denn schonmal eine (von der Identität verschiedene) Abildung überlegt, für die [mm] f\circ [/mm] f=f ist? Hieran geprüft, ob die Eigenschaften stimmen? Wenn man die Sache mal konkret durchgespielt hat, flutscht der Beweis meist besser.
>
> und bei b)
Ist eigentlich vorausgesetzt, daß der VR V endlichdimensional ist?
Gruß v. Angela
werd ich das per Ringschluss machen, nur wie
> kann ich dann aus f surj. f inj. schließen, von 2. aufs 3.
> und vom 3. auf 1. ? mir fehlen da jegliche Ansätze zu.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Hi, leider eben nicht, das ist ja grad mein Problem, wäre das endlich dimensional, könnte ich einfach einen bewiesenen Satz aus dem Skript anwenden...
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> Hi, leider eben nicht, das ist ja grad mein Problem, wäre
> das endlich dimensional, könnte ich einfach einen
> bewiesenen Satz aus dem Skript anwenden...
Hallo,
der Weg zum Glück ist hier dann die Zerlegung in die 4 zu beweisenden Aussagen, hast Du das schon getan?
Wie weit bist Du denn mit den Beweisen gekommen, an welchen Stellen hängst Du warum?
i) f surjektiv ==> f injektiv.
Voraussetzung: f surjektiv, dh. f(V)=V
zu zeigen: f injektiv, dh. ??? Was ist hier zu zeigen? Bedenke, daß f linear ist.
Beweis: ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
In welche 4 Aussagen...? ich kann doch auch von F surj. => f inj. [mm] =>f=id_v [/mm] => F surj. pr Ringschluss schließen, oder?
Ich habe auch nach langem suchen keinen Ansatz mit f surj. => f inj. , wobei ich f linear einschließe...
Knnst du mir nicht noch einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an, Du hättest schon gezeigt, dass
V=Kern f $ [mm] \oplus [/mm] $ Bild f .
ist.
Sei f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Bild f = V [mm] \Rightarrow [/mm] kern f ={0} [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv. Sei x [mm] ¸\in [/mm] V . V = Bildf, also ex y [mm] \in [/mm] V: x = f(y). Dann f(x) = f(f(y)) = f(y) = x. Fazit: f = id.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Danke. Das hat mir geholfen...da war ich ja ganz schön blind....
Kannst du mir denn vll auch einen ANSATZ für den ertsen Teil mitgeben? Möchte es dann noch selbst versuchen...
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu zeigen:
V=Kern f $ [mm] \oplus [/mm] $ Bild f
Sei y [mm] \in [/mm] V . Dann : y = f(y) +(y-f(y))
Zeige: der 1. Summand liegt im Bildf, der 2. in Kernf
Dann hast Du schon: V=Kern f + Bild f .
Zeige noch: Kern f [mm] \cap [/mm] Bild f = {0}
Dann bist Du fertig
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Danke, hat mir echt gut geholfen...Hab die aufgabe fertig..
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