implizite Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] F=k_1*y+k_2*y^{kexp}+k_3*x_1^2+k_4*x_1+k_5*x_1*x_2+k_6*x_2=0
[/mm]
[mm] f(y)=k_1+k_2*y^{kexp-1}
[/mm]
Gesucht ist [mm] df/dx_1 [/mm] und [mm] df/dx_2
[/mm]
[mm] k_1 [/mm] bis [mm] k_6 [/mm] sind Konstanten, kexp ist z.B 0.3 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Frage nach der impliziten Ableitung ergibt sich in meiner Diplomarbeit innerhalb einer Tylorreihenentwicklung bis zur ersten Ableitung, die ich zur Linearisierung einer DGL benutze. Ich bin etwas unschlüssig, wie man so ein Problem richtig lösen kann. Die Lösung von y(x1,x2) berechne ich mit der Regula Falsi Methode, also numerisch. Im Entwicklungspunkt brauche ich jedoch eine explizite Darstellung der Ableitung für die Taylorreihenentwicklung.
Mein Vorgehen:
[mm] df/dx_1=df/dy*dy/dx_1
[/mm]
[mm] df/dy=k_2*(kexp-1)*y^{kexp-2}
[/mm]
[mm] dy/dx_1=-F_{x1}/F_y
[/mm]
mit [mm] F_{x1}=k_3*2*x_1+k_4+k_5*x_2
[/mm]
und [mm] F_y=k_1+k_2*kexp*y^{kexp-1}
[/mm]
Ist das ansatzweise so richtig?
Ergebnis:
[mm] df/dx_1=k_2*(kexp-1)*y^{kexp-2}*(-F_{x1}/F_y)
[/mm]
Mein Ergebnis will einfach nicht so richtig Sinn machen.
Ich habe die Regel für implizites Ableiten benutzt:
Bronstein: F(x,y)=0; [mm] y'=-F_x/F_y
[/mm]
Wann darf man diese Gleichung anwenden?
Habe zur Probe Gleichungen, die man auch explizit ableiten kann mit dieser Formel getestet. Und falsche Ergebnisse erhalten. u.a. deshalb kommt mir die Lösung mit dem oben beschriebenen Lösungsweg nicht richtig vor.
Vielen Dank für die Hilfe
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> [mm]F=k_1*y+k_2*y^{kexp}+k_3*x_1^2+k_4*x_1+k_5*x_1*x_2+k_6*x_2=0[/mm]
> [mm]f(y)=k_1+k_2*y^{kexp-1}[/mm]
> Gesucht ist [mm]df/dx_1[/mm] und [mm]df/dx_2[/mm]
> [mm]k_1[/mm] bis [mm]k_6[/mm] sind Konstanten, kexp ist z.B 0.3
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Frage ist, welche der Variablen [mm] x_1, x_2 [/mm] und y beliebig variierbar sind. F legt eine Nebenbedingung fest, und wenn man z.B. x1 variiert, könnte es sein, dass sich nur y mitverändert, damit F=0 bleibt. Es könnte aber auch sein, dass man [mm] x_2 [/mm] und y ändern kann.
Genau ergibt sich Folgendes:
F ist eine Nebenbedingung, die immer 0 sein soll. Ändert man alle 3 Variablen beliebig um dy bzw. [mm] dx_1 [/mm] bzw. [mm] dx_2, [/mm] so ergibt
[mm]dF=k_1*dy+k_2*kexp*y^{kexp-1}dy+k_3*2*x_1*dx_1+k_4*dx_1+(k_5*dx_1*x_2+k_5*x_1*dx_2)+k_6*dx_2=0[/mm] (geklammert: Anwendung der Produktregel / dF =0, da F=0=konstant bleiben soll und deshalb dF=0 sein muss.
Daraus erhält man
[mm] k_1*dy+k_2*kexp*y^{kexp-1}dy=-(k_3*2*x_1*dx_1+k_4*dx_1+k_5*dx_1*x_2+k_5*x_1*dx_2+k_6*dx_2)
[/mm]
[mm] (k_1+k_2*kexp*y^{kexp-1})dy=-(k_3*2*x_1*dx_1+k_4*dx_1+k_5*dx_1*x_2+k_5*x_1*dx_2+k_6*dx_2)
[/mm]
[mm] dy=-(k_3*2*x_1*dx_1+k_4*dx_1+k_5*dx_1*x_2+k_5*x_1*dx_2+k_6*dx_2)/(k_1+k_2*kexp*y^{kexp-1})
[/mm]
[mm] dy/dx_1=-(k_3*2*x_1+k_4+k_5*x_2+k_5*x_1*dx_2/dx_1+k_6*dx_2/dx_1)/(k_1+k_2*kexp*y^{kexp-1})
[/mm]
sowie
[mm] dy/dx_2=(k_3*2*x_1*dx_1/dx_2+k_4*dx_1/dx_2+k_5*dx_1/dx_2*x_2+k_5*x_1+k_6)/(k_1+k_2*kexp*y^{kexp-1})
[/mm]
Wenn also [mm] x_1 [/mm] unabhängig von [mm] x_2 [/mm] geändert wird [mm] (x_2 [/mm] bleibt konstant, nur y ändert sich), so ist [mm] dx_2/dx_1=0 [/mm] und entsprechend umgekehrt. Dann gilt die Formel aus dem Bronstein (also nur partielle Ableitungen).
Ändert sich aber mit [mm] x_1 [/mm] auch [mm] x_2 [/mm] und / oder umgekehrt, so sind [mm] dx_1/dx_2 [/mm] bzw. [mm] dx_2/dx_1 [/mm] nicht 0 und verändern das Ergebnis.
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