implizite Funktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mo 13.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Durch die Gleichung [mm] $x^3 [/mm] - [mm] 2y^2 [/mm] - [mm] 2z^3 [/mm] +2xy + 3xz - 2=0$ ist eine Fläche im Raum gegeben. Berechnen Sie im Punkt $P=(1;1;1)$
a) Den Gradienten für die (x,y)-Richtung und
b) die Gleichung der Tangentialebene an diese Fläche. |
Es handelt sich bei der gegebenen Gleichung ja um eine Gleichung in impliziter Form.
zu a)
Ich habe hier einfach mal versucht den Gradienten auszurechnen, allerdings glaube ich, dass das was ich gemacht habe falsch ist.
[mm] $f_x(x;y;z)=3x^2+2y+3z$
[/mm]
[mm] $f_y(x;y;z)=-4y+2x$
[/mm]
[mm] $f_z(x;y;z)=-6z^2+3x$
[/mm]
[mm] $grad\phi=(3x^2+2y+3z)*\vec e_x [/mm] + [mm] (-4y+2x)*\vec e_y [/mm] + [mm] (-6z^2+3x)*\vec e_z$
[/mm]
[mm] $grad\phi [/mm] = [mm] \vektor{3x^2+2y+3z \\ -4y+2x \\ -6z^2+3x}$
[/mm]
[mm] $(grad\phi)_0=\vektor{8\\-2\\-3}$
[/mm]
zu b)
Die Formel zur Berechnung einer Tangentialebene im Punkt [mm] $P(x_0;y_0;z_0)$ [/mm] ist:
[mm] $z-z_0=f_x(x_0;y_0)*(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)*(y-y_0)$
[/mm]
Allerdings kann ich diese Formel nicht auf diese implizite Gleichung anwenden.
Hat jemand einen Tipp wie ich diese Aufgabe angehen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mo 13.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Dein Ansatz ist völlig falsch !
Durch die Gleichung
$ [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2y^2 [/mm] - [mm] 2z^3 [/mm] +2xy + 3xz - 2=0 $
wird implizit eine Funktion z: U [mm] \to \IR [/mm] definiert (U eine Umgebung von (1,1), U [mm] \subseteq \IR^2), [/mm] also
$ [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2y^2 [/mm] - [mm] 2z(x,y)^3 [/mm] +2xy + 3xz(x,y) - 2=0 $ für alle (x,y) [mm] \in [/mm] U.
Weiter ist z(1,1)=1.
Mit dem Satz über implizit definierte Funktionen kannst Du das beweisen.
In a) sollst Du den Gradienten von z berechnen.
In b) sollst Du die Gleichung der Tangentialebene in (1,1) an den Graphen von z bestimmen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mo 13.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Ich forste hier schon seit über einer Stunde den Papula Band 2 durch und finde rein garnichts zum Thema Gradienten- und Tangentialebenenbildung von impliziten Funktionen.
Folglich habe ich mal google.de gefragt und ich finde einfach nichts was mich annähernd lässt schlau werden.
Die Infos zum Satz impliziter Funktionen, die Wikipedia mir ausspuckt verstehe ich einfach nicht.
Kann mir jemand eine Internetseite empfehlen, die mich schlauer werden lässt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hilft dir das etwas weiter? ![[]](/images/popup.gif) KLICK
Ansonsten kann man, wenn man bei impliziten Funktionen "drauf losrechnen" will, einfach die ganze Gleichung ableiten. Hier hast du also die Variablen x und y, z fasst du als Funktion z(x,y) auf, wie fred schon sagte.
Dann kannst du deine Gleichung mal nach x und dann nach y ableiten und dann kriegst du damit recht schnell die partiellen Ableitungen [mm] z_x [/mm] und [mm] z_y [/mm] raus.
Beispiel: Du kennst ja die Einheitskugelgleichung [mm] x^2+y^2+z^2=1. [/mm] Willst du hier den Gradienten bestimmen, musst du also partiell nach x und y ableiten. Nach x wäre das [mm] 2x+2zz_x=0, [/mm] weil du z hier als Funktion z(x,y) auffassen musst und diese gemäß Kettenregel ableiten musst. Das kannst du dann leicht nach [mm] z_x [/mm] umstellen. [mm] z_x=-\bruch{x}{z}. [/mm] Analog erhält man [mm] z_y=-\bruch{y}{z}. [/mm] (Jetzt kann man z.B. auch schauen, was an der Stelle x=y=0 passiert. Dort ist [mm] z_x=z_y=0, [/mm] wie man es bei der Einheitskugel auch erwarten würde.) Bei deiner Funktion kannst du auf alle Fälle auch so vorgehen. Du musst eben nur aufpassen, dass du z immer wie eine Funktion behandelst (bei 3xz musst du eben auch die Produktregel anwenden).
Wie man die Tangentialebene aufstellt, steht fast ganz unten in der PDF.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 13.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Super, danke!
Damit kann ich schon viel mehr was anfangen!
Also ich habe das Prinzip jetzt verstanden und mich mal daran versucht.
Wär schön, wenn sich das jemand mal anschauen könnte.
[mm] $f_x: 3x^2 -6z^2*z_x+2y+3z+3x*z_x=0$
[/mm]
[mm] $z_x*(-6z^2+3x)=-3x^2-2y-3z$
[/mm]
[mm] $z_x=\bruch{3x^2+2y+3z}{6z^2-3x}$
[/mm]
[mm] $f_y: -4y-6z^2*z_y+2x+3x*z_y=0$
[/mm]
[mm] $z_y*(-6z^2+3x)=4y-2x$
[/mm]
[mm] $z_y=\bruch{4y-2x}{-6z^2+3x}$
[/mm]
In dem von dir geposteten Link kann man folgendes lesen:
Der Gradient einer Funktion ist definiert als der ”Vektor“ der partiellen Ableitungen.
Somit könnte ich den Gradienten aufstellen.
[mm] $\Delta f(x,y)=\vektor{\bruch{3x^2+2y+3z}{6z^2-3x} \\ \bruch{4y-2x}{-6z^2+3x}}$
[/mm]
Bezogen auf $P(1;1;1)$ folgt:
[mm] $\Delta f(1,1)=\vektor{\bruch{8}{3} \\ -\bruch{2}{3}}$
[/mm]
Um die Tangentialebene zu ermitteln, kann ich, wenn ich mich nicht irre auch einfach die Gleichung benutzen, die bereits in meiner ersten Frage gepostet habe.
$ [mm] z-z_0=z_x(x_0;y_0;z_0)\cdot{}(x-x_0)+z_y(x_0;y_0;z_0)\cdot{}(y-y_0) [/mm] $
Bezogen auf $P(1;1;1)$ ergibt die Formel somit:
[mm] $z-1=\bruch{8}{3}*(x-1)-\bruch{2}{3}*(y-1)$
[/mm]
[mm] $z=\bruch{8}{3}x-\bruch{2}{3}y-1$
[/mm]
Ist das jetzt so in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Oh, ja, glatt übersehen, dass du schon eine Formel hattest. Ist alles richtig!
Teufel
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