indirekter Beweis u volls Ind. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Beweisen Sie indirekt: es gibt unendlich viele Primzahlen.
b) Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}. [/mm] |
Hallo liebe Mathegemeinde,
wir sind gerade an der Bearbeitung der oberen Aufgabe.
a) stellt kein Problem da, haben wir ganz gut hin bekommen.
Was uns allerdings Kopfschmerzen bereitet ist Teilaufgabe b)
Als Induktionsanfang hätten wir:
n=3; => [mm] 1+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\ge\wurzel{3}
[/mm]
was ja stimmt!
Das Problem beginnt beim Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung: [mm] 1+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}+\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}
[/mm]
ok wäre auch abgehakt, also geht klar :D
Induktionsbehauptung: wir sind schon die ganze zeit am Überlegen, aber was könnte man hier behaupten, sodass man den nötigen Ind.schritt einleiten könnte?
wären für jeden Tipp dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> a) Beweisen Sie indirekt: es gibt unendlich viele
> Primzahlen.
> b) Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
>
> für alle natürlichen Zahlen [mm]n\ge1[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}.[/mm]
> Hallo liebe Mathegemeinde,
>
> wir sind gerade an der Bearbeitung der oberen Aufgabe.
> a) stellt kein Problem da, haben wir ganz gut hin
> bekommen.
>
> Was uns allerdings Kopfschmerzen bereitet ist Teilaufgabe
> b)
>
> Als Induktionsanfang hätten wir:
>
> n=3; =>
> [mm]1+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\ge\wurzel{3}[/mm]
Wieso machst Du den Induktionsanfang bei n=3 ?????
Zeige, dass $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n} [/mm] $ für n=1 richtig ist.
>
> was ja stimmt!
>
> Das Problem beginnt beim Induktionsschritt:
>
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]1+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}+\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}[/mm]
> ok wäre auch abgehakt, also geht klar :D
Sag mal ? Wo bin ich ? O.k. abgehakt, geht klar ? Was soll das ?
Induktionsvoraussetzung: sei n [mm] \in \IN [/mm] und
(*) $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}. [/mm] $
>
> Induktionsbehauptung: wir sind schon die ganze zeit am
> Überlegen, aber was könnte man hier behaupten, sodass man
> den nötigen Ind.schritt einleiten könnte?
Zeige mit Hilfe von (*):
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n+1}. [/mm] $
FRED
>
> wären für jeden Tipp dankbar :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wieso machst Du den Induktionsanfang bei n=3 ?????
>
> Zeige, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}[/mm] für
> n=1 richtig ist.
Ich dachte es ist anschaulicher, wenn ich es bei n=3 mache, da mehr zu sehn ist.
> Sag mal ? Wo bin ich ? O.k. abgehakt, geht klar ? Was soll
> das ?
Sie müssen mich entschuldigen. Diese Äußerung sollte auf keinen Fall respektlos sein. Ich dachte das Forum wird hauptsächlich von Studenten betreut. Wir haben nach Hilfe gesucht und sind auf dieses Forum gestoßen, wofür wir dankbar sind, aber dass mir ein Dr. in der Mathematik weiterhilft habe ich schon gar nicht geahnt.
Wir haben nun ausführlich weitere Überlegungen getätigt uns sind auf diesen Induktionsschritt gekommen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\ge\wurzel{n+1}=\bruch{n}{\wurzel{n}}+\bruch{n+1}{\wurzel{n}}\ge\wurzel{n+1}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{n}}\ge\wurzel{n+1} [/mm] | quadrieren
[mm] \bruch{4n^2+1}{\wurzel{n}}\ge [/mm] n+1 | *n
[mm] 4n^3+n\ge [/mm] n+1 ist das somit der Beweis? weil theoretisch, kann die linke Seite nie kleiner werden als die rechte Seite, was ja aus der Formel herausgeht.
Was uns große Kopfschmerzen bereitet ist eigentlich nur das [mm] \ge\wurzel{n+1} [/mm] , denn ohne wäre es ja eigentlich ganz einfach, zur Induktionsvoraussetzung die Behauptung hinzuaddieren.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mo 21.11.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo und willkommen im Matheraum,
> > Wieso machst Du den Induktionsanfang bei n=3 ?????
> >
> > Zeige, dass
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}[/mm] für
> > n=1 richtig ist.
>
> Ich dachte es ist anschaulicher, wenn ich es bei n=3 mache,
> da mehr zu sehn ist.
den Induktionsanfang zeigt man immer für die als erste in Frage kommende natürliche Zahl n, die die (Un-)Gleichung erfüllt. In diesem Fall gilt die Ungleichung bereits für n=1.
>
>
> > Sag mal ? Wo bin ich ? O.k. abgehakt, geht klar ? Was soll
> > das ?
> Sie müssen mich entschuldigen. Diese Äußerung sollte auf
> keinen Fall respektlos sein. Ich dachte das Forum wird
> hauptsächlich von Studenten betreut. Wir haben nach Hilfe
> gesucht und sind auf dieses Forum gestoßen, wofür wir
> dankbar sind, aber dass mir ein Dr. in der Mathematik
> weiterhilft habe ich schon gar nicht geahnt.
Jetzt versuche ich dir zu helfen, bin auch Student. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Hier bekommt man Hilfe von Studenten, Lehrern, usw. und eben auch von Doktoren. Und du trittst hier auch keinem auf den Schlips, wenn du jemanden "duzt".
> Wir haben nun ausführlich weitere Überlegungen getätigt
> uns sind auf diesen Induktionsschritt gekommen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\ge\wurzel{n+1}=\bruch{n}{\wurzel{n}}+\bruch{n+1}{\wurzel{n}}\ge\wurzel{n+1}[/mm]
Schön, dass du den Formeleditor benutzt. Vielleicht hast du bei der Eingabe Teile vergessen, denn so stimmt das leider nicht.
Es ist doch [mm]\wurzel{n+1}\red{\neq}\bruch{n}{\wurzel{n}}+\bruch{n+1}{\wurzel{n}}[/mm]
z.B. für n=1: [mm]\wurzel{1+1}=\wurzel{2}\red{\neq}\bruch{1}{\wurzel{1}}+\bruch{1+1}{\wurzel{1}}=3[/mm]
Da ist irgendwas schief gelaufen. Und das zweite Ungleichheitszeichen bringt dich nicht wirklich weiter.
Betrachten wir mal
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
Jetzt nutze die
Induktionsvoraussetzung: Sei n [mm] \in \IN [/mm] und
(*) [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}. [/mm]
> Vielen Dank.
Viel Erfolg.
Gruß
barsch
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> > Wir haben nun ausführlich weitere Überlegungen getätigt
> > uns sind auf diesen Induktionsschritt gekommen:
> >
> >
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\ge\wurzel{n+1}=\bruch{n}{\wurzel{n}}+\bruch{n+1}{\wurzel{n}}\ge\wurzel{n+1}[/mm]
>
> Schön, dass du den Formeleditor benutzt. Vielleicht hast
> du bei der Eingabe Teile vergessen, denn so stimmt das
> leider nicht.
Oh ja, habe den ganzen vorderen Teil der Formel im Formelsalat vergessen.
richtig wäre:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n+1}
[/mm]
Das ist die Induktionsbehauptung, richtig??
@ Barsch:
der restliche Teil von dir erübrigt sich demnach, da du von der falschen Ausgangsgleichung ausgegangen bist. Sorry! :)
> Betrachten wir mal
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
> Jetzt nutze die
>
> Induktionsvoraussetzung: Sei n [mm]\in \IN[/mm] und
>
> (*) [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}.[/mm]
>
Das sieht interessant aus: soll das der Induktionsschritt sein, also von A(n) => zu A(n+1) ? Aber wo ist denn dann das Ungleicheitszeichen hin? Das kann doch nicht so einfach weg?(obere Formel)
Dieses Ungleichzeichen stellt mein größtes Problem dar. Sorry, aber ich verstehs einfach nicht...
Und außerdem inwiefern nutze? Die Induktionsbehauptung wird doch der Induktionsvoraussetzung hinzuaddiert, richtig?
Dementsprechend:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n} [/mm] +
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n+1}
[/mm]
=> [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{2n+1}
[/mm]
Und das ist das Ergebnis? Kann ich mir gar nicht vorstellen, es muss doch am Ende wieder die Induktionsbehauptung rauskommen und durch die 2 Variablen, kann man da auch nicht viel tun. Ich komm mit der Aufgabe gar nicht mehr klar.
> > Vielen Dank.
>
> Viel Erfolg.
>
> Gruß
> barsch
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Kurz und knapp:
Induktionsvoraussetzung: Sei n $ [mm] \in \IN [/mm] $ und
(*) $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}. [/mm] $
Jetzt mußt Du mit Hilfe von (*) zeigen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n+1}. [/mm] $
FRED
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Tut mir leid, ich verstehe es einfach nicht.
Somit wäre da Ergebnis ja:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{2n+1}
[/mm]
bewiesen, habe ich damit aber doch nichts.
Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mi 23.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im Induktionsschritt zeige, dass
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n+1}. [/mm] $
Verwenden darfst du dabei die Indnktionsvoraussetzung:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\wurzel{n}. [/mm] $
Es gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}
[/mm]
Min der Induktionsvoraussetzung:
[mm] \ge\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\sqrt{n}
[/mm]
Zeige nun mit geschickten Abschätzungen oder Umformungen, dass
$ [mm] \frac{1}{\sqrt{n+1}}+\sqrt{n}\stackrel{\ge}{=}\sqrt{n+1} [/mm] $
Marius
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erstmal Danke an M.Rex, deine Schritte leuchten mir nun ein und ich weiß, was ich machen soll :)
Ich habe nun 3Jahre keine Mathematik mehr gehabt (aufgrund einer Ausbildung) und merke wie schlecht ich darin geworden bin und da habe ich mir auch noch ein Ing.wissenschafftliches Studium ausgesucht...
Ich habe nun versucht, das ganze auszurechnen, wobei ich nicht glaube, dass das richtig ist:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n}\ge\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\bruch{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}}\ge\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1+\wurzel{n^2+n}}{\wurzel{n+1}}\ge\wurzel{n+1} [/mm] |* [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] \bruch{1+\wurzel{n^2+n}}{n+1}\ge [/mm] n+1
[mm] (1+\wurzel{n^2+n})(n+1)\ge n^2+2n+1
[/mm]
[mm] (1+n\wurzel{n})(n+1)\ge n^2+2n+1
[/mm]
[mm] n+1+n^2\wurzel{n}+n\wurzel{n}\ge n^2+2n+1
[/mm]
und jetzt weiß ich nicht weiter... Wenn mir jmd seinen Lösungsweg aufzeigen könnte, dann wäre ich zu großem Dank verpflichtet...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> erstmal Danke an M.Rex, deine Schritte leuchten mir nun ein
> und ich weiß, was ich machen soll :)
>
> Ich habe nun 3Jahre keine Mathematik mehr gehabt (aufgrund
> einer Ausbildung) und merke wie schlecht ich darin geworden
> bin und da habe ich mir auch noch ein
> Ing.wissenschafftliches Studium ausgesucht...
>
> Ich habe nun versucht, das ganze auszurechnen, wobei ich
> nicht glaube, dass das richtig ist:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n}\ge\wurzel{n+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\bruch{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}}\ge\wurzel{n+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1+\wurzel{n^2+n}}{\wurzel{n+1}}\ge\wurzel{n+1}[/mm]
> |* [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1+\wurzel{n^2+n}}{n+1}\ge[/mm] n+1
Das stimmt doch nicht. Es folgt:
[mm] 1+\wurzel{n^2+n} \ge [/mm] n+1
Und daraus: [mm] \wurzel{n^2+n} \ge [/mm] n,
folglich: [mm] n^2+n \ge n^2
[/mm]
Schreibs aber sauber auf mit [mm] \gdw
[/mm]
FRED
>
> [mm](1+\wurzel{n^2+n})(n+1)\ge n^2+2n+1[/mm]
>
> [mm](1+n\wurzel{n})(n+1)\ge n^2+2n+1[/mm]
>
> [mm]n+1+n^2\wurzel{n}+n\wurzel{n}\ge n^2+2n+1[/mm]
>
> und jetzt weiß ich nicht weiter... Wenn mir jmd seinen
> Lösungsweg aufzeigen könnte, dann wäre ich zu großem
> Dank verpflichtet...
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Ich glaube es nicht, nach 2Tagen habe "ich" es nun geschafft :)
Vielen Dank an alle, aber v.a. an Fred, seine Betreuung hier im Forum ist nicht selbstverständlich.
Um sicherzugehen, dass alles richtig ist, wollte ich euch nun meinen ganzen Weg aufschreiben, wie es später auf dem Blatt steht und eine letzte Verständlichkeitsfrage stellen:
Induktionsanfang:
n=1
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1}}\ge1
[/mm]
[mm] 1\ge1 [/mm] stimmt
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{n} [/mm] , n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{n+1}
[/mm]
Induktionsschritt:
es gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}=\bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}
[/mm]
mit der Voraussetzung:
[mm] \ge \bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n}
[/mm]
==> [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n}\ge\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw 1+\wurzel{n^2+n} \ge [/mm] n+1
[mm] \gdw \wurzel{n^2+n} \ge [/mm] n
[mm] \gdw n^2+n \ge n^2 [/mm] q.e.d.
Und nun zu meiner letzten Frage:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n}\ge\wurzel{n+1}
[/mm]
warum ist es [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n} [/mm] und nicht lediglich nur [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] ?
es heißt ja: A(n)=>A(n+1)
Also wird n+1 zu n (Anfangssituation) addiert, oder nicht?
Danke :)
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Hallo!
> warum ist es [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n}[/mm] und nicht
> lediglich nur [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm] ?
>
> es heißt ja: A(n)=>A(n+1)
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{k}}=\bruch{1}{\wurzel{n+1}}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}} \[/mm]
Hier "ziehst" du dir doch die n+1 aus deiner Summe heraus.
um das zu tun, musst du eben k durch n+1 ersetzen.
gruß
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Euer Induktionsschritt ist für mich völlig unverständlich! Tippfehler? Macht Euch klar, was die Induktionsvoraussetzung und was die Induktionsbehauptung ist, und schreibt das mal auf. Tipp: Das hat FRED schon mal gemacht.
OK?
Wolfgang
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