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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - induktionsbeweis
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induktionsbeweis: binominalkoeffizienten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Di 11.11.2008
Autor: doener

Aufgabe
man soll zeigen, dass [mm] \vektor{N+M \\ k+M} =\summe_{i=0}^{M} \vektor{N \\ k+i}\vektor{M \\ i} [/mm]

zuerst also M=1: das ist einfach, da bekanntlich [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] gilt.



nun also für M+1:

[mm] \summe_{i=0}^{M+1} \vektor{N \\ k+i} \vektor{M+1 \\ i} [/mm] =  [mm] \vektor{N \\ k+M+1} [/mm] +  [mm] \summe_{i=0}^{M} \vektor{N \\ k+i} \Bigg[\vektor{M \\ i} [/mm] +  [mm] \vektor{M \\ i-1}\Bigg] [/mm]

das wieder wegen der eigenschaft, die schon für M=1 angewendet wurde

=  [mm] \vektor{N \\ k+M+1} [/mm] +  [mm] \summe_{i=0}^{M} \vektor{N \\ k+i}\vektor{M \\ i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{M}\vektor{N \\ k+i} \vektor{M \\ i-1} [/mm]

das ist auch klar, nun aber:

=  [mm] \vektor{N \\ k+M+1} [/mm] +   [mm] \vektor{N+M \\ k+M}+\summe_{i=0}^{M-1} \vektor{N \\ k+i+1}\vektor{M \\ i} [/mm]

habe keine ahnung, was hier genau umgeformt wurde, ebenso im nächsten schritt:

=  [mm] \vektor{N \\ k+M+1} [/mm] +   [mm] \vektor{N+M \\ k+M} [/mm] + [mm] \vektor{N+M\\k+1+M}-\vektor{N \\ k+M+1} [/mm]

der rest ist dann einfach. danke im voraus!



        
Bezug
induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Do 13.11.2008
Autor: otto.euler

Von der zweiten zur dritten Zeile wurde im mittleren Term die Induktionsvoraussetzung verwendet. Im hinteren Term wurde der Index i verschoben, also i+1 statt i nach der Summe. Dadurch läuft i nicht mehr von 0 bis M, sondern von -1 bis M-1. Den Summand für i=-1 hat man weggelassen, weil er 0 ergibt: [mm] \vektor{M \\ -1} [/mm] = 0

Von der dritten zur vierten Zeile hat man in Gedanken die letzte Summe um den Summanden für i=M erweitert, dieser wird in der vierten Zeile wieder abgezogen. Und für die dann entstehende Summe die Induktionsvoraussetzung mit k+1 angewendet.

Bezug
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