induzierte Bijektion < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 So 04.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | zeige:
ein homöomorphismus [mm] $f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2)$ [/mm] induziert durch [mm] $O\mapsto [/mm] f(O)$ eine Bijektion [mm] $\mathcal{O}_1\to \mathcal{O}_2$.
[/mm]
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hierbei gilt:
eine bijektive abb. [mm] $f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2)$ [/mm] zwischen topologischen räumen heißt homöomorphismus , wenn f und [mm] $f^{-1}$ [/mm] stetig sind. |
hallo!
muss ich jetzt zeigen, daß diese funktion bijektiv ist? also injektiv und surjektiv?
(1) injektivität:
seien [mm] $O,O'\in\mathcal{O}_1$ [/mm] und $f(O)=f(O')$.
weil f bijektiv ist, gilt $O=O'$.
(2) surjektivität:
also weil f stetig ist, gilt für jedes [mm] $O\in\mathcal{O}_2: f^{-1}(O)\in\mathcal{O}_1$. [/mm] dann ht doch auch jedes [mm] $f(O)\in\mathcal{O}_2$ [/mm] mindestens ein urbild in [mm] $\mathcal{O}_1$.
[/mm]
irgendwie weiß ich nicht, ob es das schon sein kann...
ich benutz ja nur die stetigkeit von f, aber nicht die stetigkeit von [mm] f^{-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 So 04.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> ich benutz ja nur die stetigkeit von f, aber nicht die
> stetigkeit von [mm]f^{-1}[/mm]
Ja, denn du ignorierst eine Frage: ist die Abb. den wohldefiniert?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 04.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Was bedeutet hier Wohldefiniertheit, was muss ich dafür zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 So 04.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> Was bedeutet hier Wohldefiniertheit,
Das gleiche, wie sonst auch. (!)
> was muss ich dafür
> zeigen?
Du hast eine Abbildung zwischen Mengen(systemen) - von der einen, in die andere Topologie. Ist die Abb.vorschrift [m]O\mpasto f(O)[/m] denn kompatibel mit den Def.- und Wertebreichen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 04.03.2012 | | Autor: | mikexx |
So ganz habe ich es noch nicht verstanden.
Ich weiß nur, daß f stetig ist, das bedeutet
[mm] $f^{-1}(O)\in\mathcal{O}_1~\forall O\in\mathcal{O}_2$
[/mm]
Und [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist uch stetig.
Das heißt [mm] $f(O')\in \mathcal{O}_2~\forall O'\in\mathcal{O}_1$
[/mm]
Aber was das jetzt mit Wohldefiniertheit zu tun hat, weiß ich noch nicht.
edit: achso, meint man damit, ob man hier wirklich als definitionsbereich die ganze topologie [mm] $\mathcal{O}_1$ [/mm] und als wertebereich die ganze topologie [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] nehmen darf?
das erste darf man, weil halt wegen der stetigkeit von f das urbild eines jeden [mm] $O\in\mathcal{O}_2$ [/mm] in [mm] $\mathcal{O}_1$ [/mm] liegt und das zweite darf man, weil in der tat jedes [mm] $O'\in\mathcal{O}_1$ [/mm] das bild in [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] hat aufgrund der stetigkeit von [mm] $f^{-1}$.
[/mm]
ists so gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> So ganz habe ich es noch nicht verstanden.
>
> Ich weiß nur, daß f stetig ist, das bedeutet
>
> [mm]f^{-1}(O)\in\mathcal{O}_1~\forall O\in\mathcal{O}_2[/mm]
>
> Und [mm]f^{-1}[/mm] ist uch stetig.
>
> Das heißt [mm]f(O')\in \mathcal{O}_2~\forall O'\in\mathcal{O}_1[/mm]
>
>
> Aber was das jetzt mit Wohldefiniertheit zu tun hat, weiß
> ich noch nicht.
Wenn $O [mm] \in \mathcal{O}_1$, [/mm] so muß doch sichergestellt sein, dass $f(O) [mm] \in \mathcal{O}_2$
[/mm]
Aber das liefert Dir die Stetigkeit der Umkehrfunktion.
Es geht also darum, dass f offene Mengen auf offene Mengen abbildet.
Bei nur stetigem f ist das i.a. nicht der Fall
Bsp.: g: [mm] \IR \to \IR [/mm] , [mm] g(x):=x^2
[/mm]
Es ist [mm] g(\IR) [/mm] = [0, [mm] \infty) [/mm] nicht offen.
FRED
>
>
> edit: achso, meint man damit, ob man hier wirklich als
> definitionsbereich die ganze topologie [mm]\mathcal{O}_1[/mm] und
> als wertebereich die ganze topologie [mm]\mathcal{O}_2[/mm] nehmen
> darf?
>
> das erste darf man, weil halt wegen der stetigkeit von f
> das urbild eines jeden [mm]O\in\mathcal{O}_2[/mm] in [mm]\mathcal{O}_1[/mm]
> liegt und das zweite darf man, weil in der tat jedes
> [mm]O'\in\mathcal{O}_1[/mm] das bild in [mm]\mathcal{O}_2[/mm] hat aufgrund
> der stetigkeit von [mm]f^{-1}[/mm].
>
> ists so gemeint?
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Jetzt habe ich es verstanden, danke.
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