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| Aufgabe | Es sei [mm] \left. I = \left[ a,b \right] [/mm] und [mm] \left. f: \I \;\to \IR [/mm] eine beliebige beschränkte Funktion. Zeige: Dann gilt
[mm] \sup_I \left| f \right| - \inf_I \left| f \right| \le \sup_I f - \inf_I f [/mm]. |
Ich hab mich an der Aufgabe schon ein bisschen probiert und wenn ich Supremum und Infimum richtig verstanden habe, dann sollte zunächst gelten:
[mm] \sup_I \left| f \right| \ge \sup_I f [/mm] und
[mm] \inf_I \left| f\right| \ge \inf_I f [/mm].
Wenn ich das jetzt aber zusammenbastel, widerlege ich immer wieder die Ungleichung aus der Aufgabenstellung (ich komme immer wieder darauf, dass die linke Seite [mm] \ge [/mm] statt [mm] \le [/mm] ist.)
Hab ich vielleicht einen Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:18 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm]\left. I = \left[ a,b \right][/mm] und [mm]\left. f: \I \;\to \IR[/mm]
> eine beliebige beschränkte Funktion. Zeige: Dann gilt
> [mm]\sup_I \left| f \right| - \inf_I \left| f \right| \le \sup_I f - \inf_I f [/mm].
>
> Ich hab mich an der Aufgabe schon ein bisschen probiert und
> wenn ich Supremum und Infimum richtig verstanden habe, dann
> sollte zunächst gelten:
> [mm]\sup_I \left| f \right| \ge \sup_I f[/mm] und
> [mm]\inf_I \left| f\right| \ge \inf_I f [/mm].
> Wenn ich das jetzt
> aber zusammenbastel,
Wie willst du das zusammenbasteln? Das geht nicht wirklich...
Wenn du uns erzaehlst, wie du sie zusammengebastelt hast, koennen wir dir sagen an welcher Stelle du einen Fehler machst.
So, zur eigentlichen Aufgabe. Mach doch mal eine Fallunterscheidung:
a) $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] I$ (einfach);
b) $f(x) [mm] \le [/mm] 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] I$ (beachte [mm] $\sup [/mm] X = [mm] -\inf(-X)$ [/mm] fuer beschraenkte Mengen $X [mm] \subseteq \IR$, [/mm] dann ist es auch einfach);
c) es gibt $x, x' [mm] \in [/mm] I$ mit $f(x) > 0 > f(x')$.
Den letzten Fall kannst du nochmal unterteilen, naemlich in [mm] $\sup_I [/mm] f = [mm] \sup_I [/mm] |f|$ und [mm] $\sup_I [/mm] f < [mm] \sup_I [/mm] |f|$. Ueberleg dir in beiden Faellen, was fuer die Infima gelten muss und versuch daraus Schluesse zu ziehen ueber die Differenzen.
LG Felix
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